История древних систем счисления
| Часть серии о |
| Системы счисления |
|---|
| Список систем счисления |
Системы счисления продвинулись от использования пальцев и меток , возможно, более 40 000 лет назад, к использованию наборов символов , способных эффективно представлять любое мыслимое число. Самые ранние известные однозначные обозначения чисел появились в Месопотамии около 5000 или 6000 лет назад.
Предыстория [ править ]
В счете сначала участвуют пальцы, [1] учитывая, что подсчет цифр является обычным явлением в появляющихся сегодня системах счисления, как и использование рук для выражения чисел пять и десять. [2] Кроме того, большинство мировых систем счисления организованы по десяткам, пятёркам и двадцаткам, что предполагает использование рук и ног при счёте, а с межлингвистической точки зрения термины для этих сумм этимологически основаны на руках и ногах. [3] [4] Наконец, существуют неврологические связи между частями мозга, которые оценивают количество, и частью, которая «знает» пальцы (гнозия пальцев), и это позволяет предположить, что люди неврологически предрасположены к использованию рук при счете. [5] [6] Хотя подсчет пальцев, как правило, не сохраняется археологически, некоторые доисторические ручные трафареты интерпретируются как счет пальцев, поскольку из 32 возможных узоров, которые могут создавать пальцы, обнаружено только пять (те, которые обычно используются при счете от одного до пяти). в пещере Коскер, Франция. [7]
Поскольку возможности и устойчивость пальцев ограничены, счет пальцев обычно дополняется с помощью устройств с большей емкостью и устойчивостью, в том числе бирок, изготовленных из дерева или других материалов. [8] Возможные метки , сделанные путем вырезания насечек в дереве, кости и камне, появляются в археологических записях по крайней мере сорок тысяч лет назад. [9] [10] Эти метки могли использоваться для подсчета времени, например, количества дней или лунных циклов , или для ведения учета количества, например, количества животных или других ценных товаров . Однако в настоящее время не существует диагностического метода, который мог бы надежно определить социальную цель или использование доисторических линейных знаков, начертанных на поверхностях, а современные этнографические примеры показывают, что подобные артефакты изготавливаются и используются для нечисловых целей. [11]
— Кость Лебомбо это малоберцовая кость павиана с вырезанными отметинами, обнаруженная в горах Лебомбо , расположенных между Южной Африкой и Эсватини . Кость была датирована 42 000 лет назад. [12] Согласно «Универсальной книге математики» , : п. 184 29 насечек на кости Лебомбо позволяют предположить, что «она, возможно, использовалась в качестве счетчика лунных фаз, и в этом случае африканские женщины, возможно, были первыми математиками, поскольку для отслеживания менструальных циклов требуется лунный календарь ». Однако кость явно сломана на одном конце, поэтому 29 насечек могут представлять собой лишь часть более крупной последовательности. [12] Подобные артефакты из современных обществ, например, из Австралии, также предполагают, что такие насечки могут выполнять мнемонические или условные функции, а не обозначать числа. [11]
Кость Ишанго представляет собой артефакт с острым куском кварца , прикрепленным к одному концу, возможно, для гравировки. Оно датировано 25 000 лет назад. [13] Сначала предполагалось, что артефакт представляет собой счетную палку , поскольку на нем имеется ряд того, что было интерпретировано как счетные отметки, вырезанные в три ряда по всей длине инструмента. Первая строка была интерпретирована как простые числа от 10 до 20 (т. е. 19, 17, 13 и 11), тогда как вторая строка, по-видимому, добавляет и вычитает 1 из 10 и 20 (т. е. 9, 19, 21, и 11); третья строка содержит суммы, которые могут быть половинными или удвоенными, хотя они и несовместимы. [14] Отмечая статистическую вероятность случайного получения таких чисел, такие исследователи, как Жан де Хайнцелин, предположили, что группировки меток указывают на математическое понимание, выходящее далеко за рамки простого подсчета. Также было высказано предположение, что отметки могли быть сделаны с утилитарной целью, например, для лучшего захвата рукоятки, или по какой-то другой нематематической причине. Назначение и значение насечек продолжают обсуждаться в академической литературе. [15]
Глиняные жетоны [ править ]
Самая ранняя известная письменность для ведения учета возникла в системе бухгалтерского учета, в которой использовались небольшие глиняные жетоны. Самые ранние артефакты, которые, как утверждается, являются жетонами, находятся в Телль-Абу-Хурейре , месте в долине Верхнего Евфрата в Сирии, датируемом 10-м тысячелетием до нашей эры. [16] и Гандж-и-Даре Тепе , место в регионе Загрос в Иране, датируемое 9-м тысячелетием до нашей эры. [17]
Для создания записи, обозначающей «две овцы», использовались два жетона, каждый из которых представлял одну единицу. Различные типы объектов также учитывались по-разному. В системе счета, используемой для большинства дискретных объектов (включая животных, таких как овцы), существовал один жетон для одного предмета (единиц), другой жетон для десяти предметов (десяток), другой жетон для шести десятков (шестидесяток) и т. д. разных размеров и форм использовались для записи более высоких групп по десять или шесть человек в шестидесятеричной системе счисления. Различные комбинации форм и размеров жетонов кодировали разные системы счета. [18] Археолог Дениз Шмандт-Бессера утверждала, что простые геометрические жетоны, используемые для чисел, сопровождались сложными жетонами, которые идентифицировали перечисляемые товары. Для копытных, таких как овцы, этот сложный знак представлял собой плоский диск, отмеченный разрезанным на четыре части кругом. Однако предполагаемое использование сложных токенов также подверглось критике по ряду причин. [19]
Используйте с буллами и числовыми отпечатками [ править ]
Чтобы жетоны не терялись и не менялись в своем типе или количестве, их помещали в глиняные конверты в форме полых шаров, известных как буллы (булла ) . На поверхности булл наносились печати владельца и свидетеля, которые также можно было оставить простыми. Если жетоны необходимо было проверить после того, как булла, содержащая их, была запечатана, буллу нужно было вскрыть. Примерно в середине четвертого тысячелетия до нашей эры жетоны начали вдавливать во внешнюю поверхность буллы, а затем запечатывать внутри, предположительно, чтобы избежать необходимости вскрывать буллу, чтобы увидеть их. В результате этого процесса на поверхности булл создавались внешние отпечатки, которые по размерам, форме и количеству соответствовали вложенным жетонам. В конце концов, избыточность, создаваемая жетонами внутри и отпечатками снаружи буллы, похоже, была признана, и отпечатки на плоских табличках стали предпочтительным методом записи числовой информации. Соответствия между впечатлениями и знаками, а также хронология входящих в них форм были первоначально замечены и опубликованы такими учеными, как Пьер Амье. [20] [21] [22] [23]
К тому времени, когда числовые впечатления позволили понять древние числа, шумеры уже разработали сложную арифметику . [24] Вычисления, вероятно, производились либо с помощью жетонов, либо с помощью счетов или счетной доски . [25] [26]
Числовые знаки и цифры [ править ]
Протоклинопись [ править ]
В середине-конце четвертого тысячелетия до нашей эры числовые отпечатки, используемые с буллами, были заменены цифровыми табличками с протоклинописными цифрами, отпечатанными в глине с помощью круглого стилуса , удерживаемого под разными углами для создания различных форм, используемых для числовых знаков. [27] Как и в случае жетонов и числовых отпечатков на внешней стороне булл, каждый числовой знак представлял как подсчитываемый товар, так и количество или объем этого товара. Эти цифры вскоре сопровождались небольшими изображениями, обозначавшими перечисляемый товар. Шумеры по-разному считали разные типы предметов. Как стало ясно благодаря анализу ранних протоклинописных обозначений из города Урук , существовало более дюжины различных систем счета. [18] включая общую систему подсчета большинства дискретных объектов (таких как животные, инструменты и люди) и специализированные системы подсчета сыра и зерновых продуктов, объемов зерна (включая дробные единицы), земельных площадей и времени. Подсчет с указанием объекта не является чем-то необычным и был задокументирован у современных народов по всему миру; такие современные системы дают хорошее представление о том, как, вероятно, функционировали древние шумерские системы счисления. [28]
Клинопись [ править ]
Около 2700 г. до н. э. круглые стилусы начали заменяться тростниковыми, которые создавали клиновидные отпечатки, давшие клинописным знакам свое название. Как и в случае с жетонами, числовыми отпечатками и протоклинописными цифрами, клинописные цифры сегодня иногда неоднозначны в числовых значениях, которые они представляют. Эта двусмысленность отчасти объясняется тем, что базовая единица объектно-определяемой системы счисления не всегда понятна, а отчасти потому, что в шумерской системе счисления не было такого соглашения, как десятичная точка, позволяющего отличать целые числа от дробей или более высокие показатели степени от младших. Около 2100 г. до н. э. была разработана общая шестидесятеричная система счисления с разрядными значениями , которая использовалась для облегчения преобразований между системами счета, определяемыми объектами. [29] [30] [31] Десятичная версия шестидесятеричной системы счисления, сегодня называемая Ассиро-вавилонской общей, возникла во втором тысячелетии до нашей эры, отражая возросшее влияние семитских народов, таких как аккадцы и эблаиты; хотя сегодня она менее известна, чем ее шестидесятеричный аналог, в конечном итоге она стала доминирующей системой, используемой во всем регионе, особенно когда шумерское культурное влияние начало ослабевать. [32] [33]
Шестидесятеричные цифры представляли собой смешанную систему счисления , сохранявшую чередующиеся основания 10 и 6, которые характеризовали лексемы, числовые отпечатки и протоклинописные числовые знаки. Шестидесятеричные цифры использовались в торговле, а также для астрономических и других расчетов. В арабских цифрах шестидесятеричная система до сих пор используется для отсчета времени (секунда в минуту; минуты в час) и углов ( градусы ).
Римские цифры [ править ]
Римские цифры произошли от этрусских символов примерно в середине I тысячелетия до нашей эры. [34] В этрусской системе символ 1 представлял собой одиночную вертикальную метку, символ 10 — две перпендикулярно скрещенные метки, а символ 100 — три скрещенных метки (по форме похожие на современную звездочку *); хотя 5 (форма перевернутой буквы V) и 50 (перевернутая буква V, разделенная одной вертикальной отметкой), возможно, произошли от нижних половин знаков 10 и 100, нет убедительного объяснения того, как римский символ 100, C произошел от своего этрусского предшественника в форме звездочки. [35]
См. также [ править ]
- Алфавитная система счисления - Тип системы счисления.
- Счетные стержни - восточноазиатская система счисления.
- Клинописные цифры и пунктуация — блок Юникода (U+12400-1247F), содержащий цифры и знаки препинания для древнего клинописного письма.
- История арифметики — раздел элементарной математики.
- История математики
- История чисел – используется для подсчета, измерения и маркировки
- История письма
- Жетон - счетный жетон, похожий на монету.
- Список тем о системах счисления
- Список систем счисления
- Связь между математикой и физикой - изучение того, как математика и физика связаны друг с другом.
- Теория чисел - Математика целочисленных свойств
- Хронология математики
- Хронология цифр и арифметики
Ссылки [ править ]
- ^ Ифра (2000) , с. 47–61, гл. 3, «Самая ранняя вычислительная машина – рука».
- ^ Эппс (2006) .
- ^ Оверманн (2021b) .
- ^ Эппс и др. (2012) .
- ^ Пеннер-Вилгер и др. (2007) , стр. 1385–1390, гл. «Основы счета: суббитизация, гнозия пальцев и мелкая моторика».
- ^ Деэн (2011) , с. 176.
- ^ Руийон (2006) .
- ^ Оверманн (2018) .
- ^ Ифра (2000) , с. 64–67, гл. 5, «Счетчики: учет для начинающих».
- ^ Маршак (1972) , с. 81 и след.
- ^ Перейти обратно: а б Келли (2020) .
- ^ Перейти обратно: а б Д'Эррико и др. (2012) .
- ^ Брукс и Смит (1987) .
- ^ Де Хайнцелин (1962) .
- ^ Плецер и Хайлебрук (2015) .
- ^ Мур и Танье (2000) , стр. 165–186, гл. «Камень и другие артефакты».
- ^ Шмандт-Бессерат (1989) , стр. 27–41, гл. «Два предшественника письменности: простые и сложные токены».
- ^ Перейти обратно: а б Ниссен, Дамеров и Энглунд (1993) , стр. 25–29.
- ^ Зиманский (1993) .
- ^ Амиет (1966) .
- ^ Амиет (1972a) .
- ^ Амиет (1972b) .
- ^ Амиет (1987) .
- ^ Ниссен, Дамеров и Энглунд (1993) , стр. 125–127.
- ^ Вудс (2017) , стр. 416–478, гл. «Счеты в Месопотамии: соображения со сравнительной точки зрения».
- ^ Ниссен, Дамеров и Энглунд (1993) , стр. 144–145.
- ^ Шмандт-Бессерат (1996) , с. 55–62, гл. 4, «Впечатленные таблетки».
- ^ Оверманн (2021a) .
- ^ Робсон (2007) , стр. 57–186, гл. «Месопотамская математика».
- ^ Хойруп (2002) .
- ^ Ниссен, Дамеров и Энглунд (1993) , стр. 142–143.
- ^ Хризомалис (2010) , с. 247-249.
- ^ Тюро-Семья (1939) .
- ^ Хризомалис (2010) , с. 109.
- ^ Кейзер (1988) , стр. 542–543.
Библиография [ править ]
- Амье, Пьер (1966). «5000 лет назад эламиты изобрели письменность». Археология . 12 :6–23.
- Амье, Пьер (1972a). Мемуары археологической делегации в Иране, Том XLIII, Миссия Сусианы. Сузианская глиптика от истоков персидской эпохи Ахеменидов. Антикварные марки, цилиндрические печати и отпечатки, обнаруженные в Сузах с 1913 по 1967 год. Том. Я – Текст. Мемуары делегации в Персии (МДП) 43 . Париж: Восточная библиотека Поля Гютнера. OCLC 310593689 .
- Амье, Пьер (1972b). Мемуары археологической делегации в Иране, Том XLIII, Миссия Сусианы. Сузианская глиптика истоков ахеменидского персидского периода. Антикварные марки, цилиндрические печати и отпечатки, обнаруженные в Сузах с 1913 по 1967 год. Том. II – Доски. Мемуары делегации в Персии (МДП) 43 . Париж: Восточная библиотека Поля Гетнера. OCLC 310593694 .
- Амье, Пьер (1987). «Физический подход к бухгалтерскому учету в эпоху Урука: пузыри-конверты Суз». В Юоте, Жан-Луи (ред.). Предыстория Месопотамии: Доисторическая Месопотамия и недавнее исследование Джебель-Хамрина . Париж: Éditions du Centre National de la Recherche Scientifique. стр. 331–334. ISBN 9782222038542 .
- Брукс, Элисон С .; Смит, Кэтрин К. (1987). «Возвращение к Ишанго: определения нового века и культурные интерпретации». Африканский археологический обзор . 5 (1): 65–78. дои : 10.1007/BF01117083 . S2CID 129091602 .
- Хрисомалис, Стивен (2010). Числовые обозначения: Сравнительная история . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780511683305 .
- Эппс, Терпение (2006). «Развитие системы счисления: историческое развитие цифр в амазонской языковой семье». Диахроника . 23 (2): 259–288. doi : 10.1075/dia.23.2.03epp .
- Д'Эррико, Франческо ; Бэквелл, Люсинда ; Вилла, Паола; Дегано, Илария; Лусейко, Жанетт Дж.; Бэмфорд, Мэрион К .; Хайэм, Томас Ф.Г .; Коломбини, Мария Перла; Бомонт, Питер Б. (2012). «Ранние свидетельства материальной культуры сан, представленные органическими артефактами из пещеры Бордер, Южная Африка» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 109 (33): 13214–13219. Бибкод : 2012PNAS..10913214D . дои : 10.1073/pnas.1204213109 . ПМК 3421171 . ПМИД 22847420 .
- Де Хайнцелин, Жан (1962). «Ишанго». Научный американец . 206 (6): 105–116. Бибкод : 1962SciAm.206f.105D . doi : 10.1038/scientificamerican0662-105 .
- Деэн, Станислас (2011). Чувство числа: как разум создает математику . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 9780199753871 .
- Эппс, Терпение ; Бауэрн, Клэр ; Хансен, Синтия А.; Хилл, Джейн Х .; Зентц, Джейсон (2012). «О сложности чисел в языках охотников-собирателей» . Лингвистическая типология . 16 (1): 41–109. дои : 10.1515/лити-2012-0002 . hdl : 1885/61320 . S2CID 120776759 .
- Хойруп, Йенс (2002). «Заметка о древневавилонских вычислительных методах» . История Математики . 29 (2): 193–198. дои : 10.1006/hmat.2002.2343 . Проверено 7 июля 2022 г.
- Ифра, Жорж (2000) [1981]. Всеобщая история чисел: от предыстории до изобретения компьютера . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-37568-3 .
- Келли, Пирс (2020). «Австралийское послание остается неизменным: старые вопросы, новые направления» . Журнал материальной культуры . 25 (2): 133–152. дои : 10.1177/1359183519858375 . hdl : 21.11116/0000-0003-FDF8-9 . S2CID 198687425 .
- Кейзер, Пол (1988). «Происхождение латинских цифр от 1 до 1000». Американский журнал археологии . 92 (4): 529–546. дои : 10.2307/505248 . JSTOR 505248 . S2CID 193086234 .
- Маршак, Александр (1972). Корни цивилизации: когнитивные начала первого искусства, символов и обозначений человека . Нью-Йорк: МакГроу Хилл. ISBN 9781559210416 .
- Мур, Эндрю; Танье, Майкл (2000). «Камень и другие артефакты». В Мур, Эндрю; Танье, Майкл; Хиллман, Гордон С; Легг, Энтони Дж. (ред.). Деревня на Евфрате: от собирательства к земледелию в Абу-Хурейре . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. стр. 165–186. ISBN 9780195108071 .
- Ниссен, Ханс Дж.; Дамероу, Питер; Инглунд, Роберт К. (1993). Архаичная бухгалтерия: Ранняя письменность и методы экономического управления на древнем Ближнем Востоке . Чикаго, Иллинойс: Издательство Чикагского университета. ISBN 0-226-58659-6 . OCLC 469457678 .
- Оверманн, Каренли А. (2018). «Построение понятия числа» . Журнал числового познания . 4 (2): 464–493. дои : 10.5964/jnc.v4i2.161 . S2CID 52197209 . Проверено 10 июля 2022 г.
- Оверманн, Каренли А. (2021a). «Новый взгляд на старые числа и что он говорит о нумерации» . Журнал ближневосточных исследований . 80 (2): 291–321. дои : 10.1086/715767 . S2CID 239028709 .
- Оверманн, Каренли А. (2021b). «Счет пальцев и числовая структура» . Границы в психологии . 12 : 723492. doi : 10.3389/fpsyg.2021.723492 . ПМЦ 8506119 . ПМИД 34650482 .
- Пеннер-Вилгер, Марси; Быстро, Лиза; ЛеФевр, Жо-Анн ; Смит-Чант, Бренда Л.; Скварчук, Шери-Линн ; Камавар, Дипти; Бисанц, Джеффри (2007). «Основы счета: суббитизация, гнозия пальцев и мелкая моторика». В Макнамаре, Д.С.; Трафтон, Дж. Г. (ред.). Труды двадцать девятого ежегодного собрания Общества когнитивных наук . Лоуренс Эрлбаум Ассошиэйтс. стр. 1385–1390. ISBN 9780976831839 .
- Плецер, Владимир ; Хайлебрук, Дирк (2015). «Противоречия и узость взглядов в «Баснях Ишанго, или непреодолимое искушение математической фантастики», ответы и разъяснения». arXiv : 1607.00860 [ math.HO ].
- Робсон, Элеонора (2007). «Месопотамская математика». В Каце, Виктор (ред.). Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: справочник . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 9780691235394 .
- Руийон, Андре (2006). «В Граветте, в пещере Коскер (Марсель, Буш-дю-Рон), полагался ли человек на свои пальцы?» . Антропология . 110 (4): 500–509. дои : 10.1016/j.anthro.2006.07.003 .
- Шмандт-Бессера, Дениз (1989). «Два предшественника письменности: простые и сложные токены». В Сеннере, Уэйн М. (ред.). Истоки письменности . Издательство Университета Небраски. стр. 27–41. ISBN 9780803242029 .
- Шмандт-Бессера, Дениз (1996). Как возникла письменность . Остин, Техас: Издательство Техасского университета. ISBN 0-292-77704-3 .
- Тюро-Данжен, Франсуа (1939). «Очерк истории шестидесятеричной системы» . Осирис . 7 : 95–141. дои : 10.1086/368503 . S2CID 144051854 . Проверено 11 июля 2022 г.
- Вудс, Кристофер (2017). «Счеты в Месопотамии: соображения со сравнительной точки зрения». Ин Фелиу, Луис; Карахаши, Фуми; Рубио, Гонсало (ред.). Первые девяносто лет: шумерский праздник в честь Мигеля Сивила . Бостон: Уолтер де Грюйтер. стр. 416–478. ISBN 9781501503726 .
- Зиманский, Пол (1993). «Обзор книги Дениз Шмандт-Бессера перед написанием , тома I и II». Журнал полевой археологии . 20 (4): 513–517. дои : 10.2307/530080 . JSTOR 530080 .
Дальнейшее чтение [ править ]
- Шмандт-Бессера, Дениз (1978). «Первоначальный предшественник письменности» . Научный американец . 238 (6): 50–59. Бибкод : 1978SciAm.238f..50S . doi : 10.1038/scientificamerican0678-50 . ISSN 0036-8733 . JSTOR 24955753 . S2CID 121339828 . Проверено 24 сентября 2022 г.
- Шмандт-Бессера, Дениз (1982). «Появление звукозаписи» . Американский антрополог . Новая серия. 84 (4): 871–878. дои : 10.1525/aa.1982.84.4.02a00110 . JSTOR 676498 . Проверено 24 сентября 2022 г.
Внешние ссылки [ править ]
- «История систем счета и цифр» . Проверено 11 декабря 2005 г.
