История аксиом разделения
| Аксиомы разделения в топологических пространствах | |
|---|---|
| Колмогорова Классификация | |
| Т 0 | (Kolmogorov) |
| Т 1 | (Фреше) |
| Т 2 | (Хаусдорф) |
| T 2 ½ | (Урысон) |
| полностью Т 2 | (полностью Хаусдорф) |
| TТ3 | (обычный Хаусдорф) |
| T 3½ | (Тихонов) |
| Т 4 | (обычно Хаусдорф) |
| TТ5 | (совершенно нормально Хаусдорф) |
| TТ6 | (совершенно нормально Хаусдорф) |
 | Эта статья включает список общих ссылок , но в ней отсутствуют достаточные соответствующие встроенные цитаты . ( Октябрь 2014 г. ) |
История аксиом разделения в общей топологии была запутанной: множество значений конкурировали за одни и те же термины, а множество терминов конкурировали за одно и то же понятие.
Происхождение [ править ]
До нынешнего общего определения топологического пространства предлагалось множество определений, некоторые из которых предполагали (то, что мы сейчас называем) некоторыми аксиомами разделения. Например, определение, данное Феликсом Хаусдорфом в 1914 году, эквивалентно современному определению плюс аксиома разделения Хаусдорфа .
Аксиомы разделения, как группа, стали важными при изучении метризуемости : вопроса о том, каким топологическим пространствам можно придать структуру метрического пространства . Метрические пространства удовлетворяют всем аксиомам разделения; но на самом деле изучение пространств, удовлетворяющих лишь некоторым аксиомам, помогает прийти к понятию полной метризуемости.
Аксиомами разделения, которые впервые изучались вместе таким образом, были аксиомы для достижимых пространств , хаусдорфовых пространств , регулярных пространств и нормальных пространств . Топологи присвоили этим классам пространств названия Т 1 , Т 2 , Т 3 и Т 4 . Позже эта система нумерации была расширена и теперь включает T 0 , T 2½ , T 3½ (или T π ), T 5 и T 6 .
Но в этой последовательности были свои проблемы. Идея заключалась в том, что каждое пространство T i является особым видом пространства T j, если i > j . Но это не обязательно так, поскольку определения различаются. Например, регулярное пространство (называемое T 3 ) не обязательно должно быть хаусдорфовым пространством (называемое T 2 ), по крайней мере, согласно простейшему определению регулярных пространств.
Различные определения [ править ]
Все авторы согласились с Т 0 , Т 1 и Т 2 . Однако для других аксиом разные авторы могли использовать существенно разные определения в зависимости от того, над чем они работали. Эти различия могут возникнуть потому, что если предположить, что топологическое пространство удовлетворяет аксиоме T 1 , то различные определения (в большинстве случаев) эквивалентны. Таким образом, если кто-то собирается сделать такое предположение, то следует использовать самое простое определение. Но если не сделать этого предположения, то самое простое определение может оказаться неподходящим для самой полезной концепции; в любом случае это разрушило бы (транзитивное) следствие Ti . посредством T j , допуская (например) нехаусдорфовые регулярные пространства
Топологи, работающие над проблемой метризации, обычно предполагали T 1 ; в конце концов, все метрические пространства являются T 1 . Таким образом, они использовали простейшие определения Ti . Затем, в тех случаях, когда они не предполагали Т 1 , они использовали слова («обычный» и «нормальный») для более сложных определений, чтобы противопоставить их более простым. Этот подход был использован еще в 1970 году, когда Линн А. Стин и Дж. Артур Сибах-младший опубликовали книгу « . Контрпримеры в топологии »
Напротив, общие топологи во главе с Джоном Л. Келли в 1955 году обычно не предполагали Т 1 , поэтому они с самого начала изучали аксиомы разделения в наибольшей общности. Они использовали более сложные определения для Ti , чтобы всегда иметь хорошее свойство, связывающее Ti с Tj . Затем для более простых определений использовали слова (опять же «обычный» и «нормальный»). Можно сказать, что обе конвенции следуют «исходному» значению; разные значения одинаковы для пространств T 1 , которые были исходным контекстом. Но в результате разные авторы использовали разные термины совершенно противоположными способами. Вдобавок к путанице, в некоторой литературе будет наблюдаться четкое различие между аксиомой и пространством, которое удовлетворяет аксиоме, так что может T3 должно удовлетворять аксиомам T3 пространство и T0 (например, в Энциклопедическом словаре математики , 2-е изд.).
С 1970 года популярность терминов общей топологии растет, в том числе и в других разделах математики, например в анализе . Но использование по-прежнему не является последовательным.
Полностью Хаусдорф, Урысон и Т 2 1 ⁄ пробела [ править ]
Стин и Зеебах определяют пространство Урысона как «пространство с функцией Урысона для любых двух точек». Уиллард называет это полностью хаусдорфовым пространством. Стин и Зеебах определяют полностью Хаусдорфово пространство или T 2. 1 ⁄ 2 пространства как пространство, в котором каждые две точки разделены замкнутыми окрестностями, которое Уиллард называет пространством Урысона или T 2 1/2 помещения .
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- Джон Л. Келли ; Общая топология ; ISBN 0-387-90125-6
- Стин, Линн Артур ; Зеебах, Дж. Артур младший (1995) [1978], Контрпримеры в топологии ( Дуврское переиздание издания 1978 года), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3 , МР 0507446
- Стивен Уиллард, Общая топология , Аддисон-Уэсли, 1970. Перепечатано Dover Publications, Нью-Йорк, 2004. ISBN 0-486-43479-6 (Дуврское издание).
- Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология . Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7 . OCLC 115240 .
