Споры по поводу теории Кантора

В математической логике теорию бесконечных множеств впервые разработал Георг Кантор . Хотя эта работа стала стандартом классической теории множеств , она подвергалась критике в нескольких областях со стороны математиков и философов.

Теорема Кантора подразумевает, что существуют множества, мощность которых превышает бесконечную мощность множества натуральных чисел . Аргументация Кантора в пользу этой теоремы представлена ​​с одним небольшим изменением. Этот аргумент можно улучшить, используя определение, которое он дал позже. Полученный аргумент использует только пять аксиом теории множеств.

Теория множеств Кантора поначалу вызывала споры, но позже получила широкое признание. Большинство современных учебников по математике неявно используют взгляды Кантора на математическую бесконечность . Например, линия обычно представляется как бесконечное множество ее точек, и обычно учат, что действительных чисел больше, чем рациональных (см. Мощность континуума ).

Аргумент Кантора

Первое доказательство Кантора того, что бесконечные множества могут иметь разную мощность, было опубликовано в 1874 году. Это доказательство показывает, что множество натуральных чисел и множество действительных чисел имеют разную мощность. Он использует теорему о том, что ограниченная возрастающая последовательность действительных чисел имеет предел , который можно доказать, используя Кантора или Ричарда Дедекинда конструкцию иррациональных чисел . Поскольку Леопольд Кронекер не принял эти конструкции, Кантору захотелось разработать новое доказательство.

В 1891 году он опубликовал «гораздо более простое доказательство... которое не зависит от рассмотрения иррациональных чисел». Его новое доказательство использует диагональный аргумент, чтобы доказать, что существует бесконечное множество с большим количеством элементов (или большей мощностью), чем множество натуральных чисел N = {1, 2, 3, ...}. Этот больший набор состоит из элементов ( x ₁ , x ₂ , x ₃ , ...), где каждый x _n равен m или w . Каждый из этих элементов соответствует подмножеству N , а именно, элемент ( x ₁ , x ₂ , x ₃ , ...) соответствует { n ∈ N : x _n = w }. Таким образом, аргумент Кантора подразумевает, что множество всех подмножеств N имеет большую мощность, чем N . Набор всех подмножеств обозначается P ( N ) , набором мощности N N .

Кантор обобщил свой аргумент на произвольное множество A и множество, состоящее из всех функций от A до {0, 1}. Каждая из этих функций соответствует подмножеству A его обобщенного аргумента следует теорема: набор степеней P ( A ) имеет большую мощность, чем A. , поэтому из Это известно как теорема Кантора .

Приведенный ниже аргумент представляет собой современную версию аргумента Кантора, в которой используются наборы степеней (его первоначальный аргумент см. в разделе « Диагональный аргумент Кантора »). Представив современный аргумент, можно увидеть, какие предположения аксиоматической теории множеств используются. Первая часть аргумента доказывает, что N и P ( N ) имеют разные мощности:

• Существует хотя бы одно бесконечное множество. Это предположение (формально не определенное Кантором) фиксируется в формальной теории множеств аксиомой бесконечности . Эта аксиома подразумевает, что N , множество всех натуральных чисел, существует.
• P ( N ), набор всех подмножеств N , существует. В формальной теории множеств это подразумевается аксиомой степенного множества , которая гласит, что для каждого множества существует множество всех его подмножеств.
• Понятие «иметь одинаковое число» или «иметь одинаковую мощность» можно выразить идеей взаимно однозначного соответствия . Это (чисто дефиниционное) предположение иногда называют принципом Юма . Как сказал Фреге : «Если официант желает быть уверенным, что на столе будет лежать ровно столько же ножей, сколько тарелок, ему нет необходимости считать ни один из них; все, что ему нужно сделать, это положить сразу справа от каждой тарелки нож, следя за тем, чтобы каждый нож на столе лежал сразу справа от тарелки. Тарелки и ножи соотносятся таким образом один к одному». Множества в такой корреляции называются равночисленными , а корреляция — взаимно-однозначным соответствием.
• Множество не может быть приведено во взаимно однозначное соответствие со своим степенным множеством. Это означает, что N и P ( N ) имеют разные мощности. Он зависит от очень немногих предположений теории множеств и, как Джон П. Мэйберри , представляет собой «простой и красивый аргумент», «чреватый последствиями». выразился Вот аргумент:

  Позволять $A$ быть набором и $P(A)$ быть его набором мощности. Будет доказана следующая теорема: если $f$ это функция от $A$ к $P(A),$ тогда это не на . Из этой теоремы следует, что между ними нет взаимно однозначного соответствия. $A$ и $P(A)$ так как такая переписка должна быть на. Доказательство теоремы: определим диагональное подмножество $D=\{x\in A:x\notin f(x)\}.$ С $D\in P(A),$ доказывая это всем $x\in A,\,D\neq f(x)$ будет означать, что $f$ не на. Позволять $x\in A.$ Затем $x\in D\Leftrightarrow x\notin f(x),$ что подразумевает $x\notin D\Leftrightarrow x\in f(x).$ Итак, если $x\in D,$ затем $x\notin f(x);$ и если $x\notin D,$ затем $x\in f(x).$ Поскольку одно из этих множеств содержит $x$ а другой нет, $D\neq f(x).$ Поэтому, $D$ не образе в $f$, так $f$ не на.

Далее Кантор показывает, что $A$ равнозначно подмножеству $P(A)$. Из этого и того факта, что $P(A)$ и $A$ имеют разные мощности, он заключает, что $P(A)$ имеет большую мощность, чем $A$. В этом выводе используется его определение 1878 года: если A и B имеют разные мощности, то либо B равнозначно с подмножеством A (в этом случае B имеет меньшую мощность, чем A ), либо A равнозначно с подмножеством B (в этом случае , B имеет большую мощность, чем A ). Это определение исключает случай, когда A и B равнозначны с подмножеством другого множества, то есть A равнозначен с подмножеством B , а B равнозначен с подмножеством A . Поскольку Кантор неявно предположил, что мощности линейно упорядочены , этот случай не может произойти. Используя свое определение 1878 года, Кантор заявил, что в статье 1883 года он доказал, что мощности хорошо упорядочены , что означает, что они упорядочены линейно. В этом доказательстве использовался его принцип упорядоченности «каждое множество может быть упорядочено», который он назвал «законом мышления». Принцип хорошего порядка эквивалентен аксиоме выбора .

Примерно в 1895 году Кантор начал рассматривать принцип хорошего порядка как теорему и попытался доказать ее. В 1895 году Кантор также дал новое определение понятия «больше», которое правильно определяет это понятие без помощи его принципа упорядоченности. Используя новое определение Кантора, современный аргумент о том, что P ( N ) имеет большую мощность, чем N, может быть дополнен с использованием более слабых предположений, чем его первоначальный аргумент:

• Понятие «большей мощности» можно отразить в определении Кантора 1895 года: B имеет большую мощность, чем , если (1) A равнозначен подмножеству B и (2) B не равнозначен подмножеству A. A В пункте (1) говорится, что B по крайней мере такого же размера, как A , что согласуется с нашим определением «иметь ту же мощность». Из пункта (2) следует, что случай, когда A и B равнозначны подмножеству другого множества, является ложным. Поскольку в пункте (2) говорится, что A не так же велик, как B , оба пункта вместе говорят, что B больше (имеет большую мощность), чем A .
• Набор мощности $P(A)$ имеет большую мощность, чем $A,$ из чего следует, что P ( N имеет большую мощность, чем N. ) Вот доказательство:
  1. Определите подмножество $P_{1}=\{\,y\in P(A):\exists x\in A\,(y=\{x\})\,\}.$ Определять $f(x)=\{x\},$ какие карты $A$ на $P_{1}.$ С $f(x_{1})=f(x_{2})$ подразумевает $x_{1}=x_{2},\,f$ это переписка один на один с $A$ к $P_{1}.$ Поэтому, $A$ равнозначно подмножеству $P(A).$
  2. Используя доказательство от противного , предположим, что $A_{1},$ подмножество $A,$ равнозначен с $P(A).$. Дальше идет переписка один в один $g$ от $A_{1}$ к $P(A).$ Определять $h$ от $A$ к $P(A){\text{:}}$ если $x\in A_{1},$ затем $h(x)=g(x);$ если $x\in A\setminus A_{1},$ затем $h(x)=\{\,\}.$ С $g$ карты $A_{1}$ на $P(A),\,h$ карты $A$ на $P(A),$ что противоречит приведенной выше теореме о том, что функция из $A$ к $P(A)$ не на. Поэтому, $P(A)$ не равнозначно подмножеству $A.$

Помимо аксиом бесконечности и набора мощности, аксиомы разделения , экстенсиональности и спаривания в современной аргументации использовались . Например, аксиома разделения использовалась для определения диагонального подмножества. $D,$ аксиома экстенсиональности была использована для доказательства $D\neq f(x),$ а аксиома спаривания использовалась при определении подмножества $P_{1}.$

Прием аргумента

Первоначально теория Кантора вызвала споры среди математиков и (позже) философов. Как утверждал Леопольд Кронекер : «Я не знаю, что преобладает в теории Кантора – философия или теология, но я уверен, что математики там нет». Многие математики согласились с Кронекером в том, что завершенная бесконечность может быть частью философии или теологии , но ей нет подходящего места в математике. Логик Уилфрид Ходжес ( 1998 ) прокомментировал энергию, потраченную на опровержение этого «маленького безобидного аргумента» (т.е. диагонального аргумента Кантора ), спрашивая: «Что это сделало с кем-либо, что разозлило его?» Математик Соломон Феферман назвал теории Кантора «просто не имеющими отношения к повседневной математике».

До Кантора понятие бесконечности часто воспринималось как полезная абстракция, которая помогала математикам рассуждать о конечном мире; например, использование бесконечных предельных случаев в исчислении . Считалось, что бесконечное имеет в лучшем случае потенциальное существование, а не реальное существование. «Настоящей бесконечности не существует. То, что мы называем бесконечностью, — это всего лишь бесконечная возможность создания новых объектов, независимо от того, сколько их уже существует». Взгляды Карла Фридриха Гаусса на этот предмет можно перефразировать так: «Бесконечность — это не что иное, как фигура речи, которая помогает нам говорить о пределах. Понятие завершенной бесконечности не принадлежит математике». Другими словами, единственный доступ к бесконечному, который у нас есть, — это понятие пределов, и, следовательно, мы не должны относиться к бесконечным множествам так, как будто их существование точно сравнимо с существованием конечных множеств.

Идеи Кантора в конечном итоге были широко приняты, их решительно поддержал Дэвид Гильберт , среди прочих, . Гильберт предсказал: «Никто не изгонит нас из Кантор ». рая, который создал для нас На что Витгенштейн ответил: «Если один человек может рассматривать это как рай для математиков, почему бы другому не воспринимать это как шутку?» Отказ от идей бесконечности Кантора повлиял на развитие таких школ математики, как конструктивизм и интуиционизм .

Витгенштейн не возражал против математического формализма в целом, но имел финитистский взгляд на то, что означает доказательство Кантора. Философ утверждал, что вера в бесконечность возникает из-за смешения интенсиональной природы математических законов с экстенсиональной природой множеств, последовательностей, символов и т. д. По его мнению, серия символов конечна: По словам Витгенштейна: «…Кривая не является состоит из точек, это закон, который указывает подчиняться или, опять же, закону, согласно которому могут быть построены точки».

Он также назвал диагональный аргумент «фокус-покусом», а не доказательством того, для чего он предназначен.

Возражение против аксиомы бесконечности

Дополнительная информация: Финитизм.

Распространенное возражение против теории бесконечного числа Кантора связано с аксиомой бесконечности (которая на самом деле является аксиомой, а не логической истиной ). Мэйберри отмечал, что «... теоретико-множественные аксиомы, лежащие в основе современной математики, в разной степени самоочевидны. Одна из них — действительно, самая важная из них, а именно аксиома Кантора, так называемая аксиома бесконечности — почти никаких претензий на самоочевидность вообще…»

Другое возражение состоит в том, что использование бесконечных множеств недостаточно обосновано аналогией с конечными множествами. Герман Вейль писал:

...классическая логика была абстрагирована от математики конечных множеств и их подмножеств…. Забыв об этом ограниченном происхождении, впоследствии эту логику приняли за нечто выше и предшествующее всей математике и, наконец, безосновательно применили ее к математике бесконечных множеств. Это грехопадение и первородный грех теории множеств [Кантора]...»

Трудность с финитизмом заключается в разработке основ математики с использованием финитистских предположений, которые включают в себя то, что каждый разумно считает математикой (например, включает реальный анализ ).

См. также

• Преинтуиционизм

Ссылки

• Бишоп, Эрретт ; Бриджес, Дуглас С. (1985), Конструктивный анализ , Основы математических наук, Springer, ISBN  978-0-387-15066-6
• Кантор, Георг (1878), «Вклад в теорию многообразий» , Журнал чистой и прикладной математики , 84 : 242–248.
• Кантор, Георг (1891), «К элементарному вопросу теории многообразия» (PDF) , Годовой отчет Ассоциации немецких математиков , 1 : 75–78
• Кантор, Георг (1895), «Вклад в обоснование теории трансфинитных множеств (1)» , Mathematical Annals , 46 (4): 481–512, doi : 10.1007/bf02124929 , S2CID   177801164 , заархивировано из оригинала 23 апреля, 2014 год
• Кантор, Георг; Филип Журден (пер.) (1954) [1915], Вклад в создание теории трансфинитных чисел , Дувр, ISBN  978-0-486-60045-1
• Добен, Джозеф (1979), Георг Кантор: его математика и философия бесконечного , издательство Гарвардского университета, ISBN  0-674-34871-0
• Данэм, Уильям (1991), Путешествие через гения: Великие теоремы математики , Penguin Books, ISBN  978-0140147391
• Эвальд, Уильям Б., изд. (1996), От Иммануила Канта до Дэвида Гильберта: Справочник по основам математики, Том 2 , Oxford University Press, ISBN  0-19-850536-1
• Фреге, Готтлоб ; Дж. Л. Остин (пер.) (1884), Основы арифметики (2-е изд.), Northwestern University Press, ISBN  978-0-8101-0605-5
• Халлетт, Майкл (1984), Канторианская теория множеств и ограничение размера , Clarendon Press, ISBN  0-19-853179-6
• Гильберт, Дэвид (1926), «О бесконечности», Mathematical Annals , vol. 95, стр. 161–190, doi : 10.1007/BF01206605 , JFM   51.0044.02 , S2CID   121888793

« Никто не должен иметь возможности изгнать нас из рая, который создал для нас Кантор » .

Переведено на Ван Хейеноорт, Джин , О бесконечности , издательство Гарвардского университета.

• Клайн, Моррис (1982), Математика: потеря уверенности , Оксфорд, ISBN  0-19-503085-0 {{citation}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
• Мэйберри, Дж. П. (2000), Основы математики в теории множеств , Энциклопедия математики и ее приложений, том. 82, Издательство Кембриджского университета
• Мур, Грегори Х. (1982), Аксиома выбора Цермело: ее истоки, развитие и влияние , Springer, ISBN  978-1-4613-9480-8
• Пуанкаре, Анри (1908), Будущее математики (PDF) , Revue Generale des Sciences pures et appliques, vol. 23, заархивировано из оригинала (PDF) 29 июня 2003 г. (обращение к Четвертому Международному конгрессу математиков)
• Сэйнсбери, RM (1979), Рассел , Лондон {{citation}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
• Вейль, Герман (1946), «Математика и логика: краткий обзор, служащий предисловием к обзору философии Бертрана Рассела », American Mathematical Monthly , vol. 53, стр. 2–13, номер документа : 10.2307/2306078 , JSTOR   2306078.
• Витгенштейн, Людвиг ; AJP Кенни (пер.) (1974), Философская грамматика , Оксфорд {{citation}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
• Витгенштейн; Р. Харгривз (пер.); Р. Уайт (пер.) (1964), Философские заметки , Оксфорд {{citation}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
• Витгенштейн (2001), Заметки об основах математики (3-е изд.), Оксфорд {{citation}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

Внешние ссылки

• 68-е мнение Дорона Зейлбергера
• Аргумент философа Хартли Слейтера против идеи «числа», лежащей в основе теории множеств Кантора.
• Вольфганг Мюкенхайм: Трансфинити - Справочник
• Ходжес «Редактор вспоминает некоторые безнадежные статьи»