Исчисление

Эта статья о разделе математики. Чтобы узнать о других значениях, см. Исчисление (значения) .

Исчисление — это математическое исследование непрерывных изменений, точно так же, как геометрия — это изучение формы, а алгебра — это изучение обобщений арифметических операций .

Первоначально называемое исчислением бесконечно малых или «исчислением бесконечно малых », оно имеет два основных направления: дифференциальное исчисление и интегральное исчисление . Первое касается мгновенных скоростей изменений и наклонов кривых , тогда как второе касается накопления величин и площадей под или между кривыми. Эти две ветви связаны друг с другом основной теоремой исчисления . Они используют фундаментальные понятия сходимости бесконечных последовательностей и бесконечных рядов к четко определенному пределу .

Исчисление бесконечно малых было независимо разработано в конце 17 века Исааком Ньютоном и Готфридом Вильгельмом Лейбницем . Более поздние работы, в том числе систематизация идеи ограничений , поставили эти разработки на более прочную концептуальную основу. Сегодня исчисление широко используется в науке , технике и социальных науках .

Этимология

В математическом образовании исчисление обозначает курсы элементарного математического анализа , которые в основном посвящены изучению функций и пределов. Слово «исчисление» на латыни означает «маленький камешек» ( уменьшительное от «calx » , что означает «камень»), и это значение до сих пор сохраняется в медицине . Поскольку такие камешки использовались для отсчета расстояний, подсчитывая голоса и производя арифметические действия на счетах , это слово стало означать метод вычислений. В этом смысле оно использовалось в английском языке по крайней мере еще в 1672 году, за несколько лет до публикаций Лейбница и Ньютона.

Помимо дифференциального и интегрального исчисления, этот термин также используется для обозначения конкретных методов вычислений и связанных с ними теорий, которые стремятся смоделировать определенную концепцию с точки зрения математики. Примеры этого соглашения включают исчисление высказываний , исчисление Риччи , вариационное исчисление , лямбда-исчисление , секвенциальное исчисление и исчисление процессов . Более того, термин «исчисление» по-разному применялся в этике и философии для таких систем, как Бентама исчисление счастья и этическое исчисление .

История

Основная статья: История исчисления

Современное исчисление было разработано в Европе 17-го века Исааком Ньютоном и Готфридом Вильгельмом Лейбницем (независимо друг от друга, первые публикации примерно в одно и то же время), но его элементы сначала появились в Древнем Египте, а затем в Греции, затем в Китае и на Ближнем Востоке. и еще позже в средневековой Европе и Индии.

Древние предшественники

Египет

Вычисления объема и площади , одна из целей интегрального исчисления, можно найти в египетском московском папирусе ( ок. 1820 г. до н. э.), но формулы представляют собой простые инструкции без указания того, как они были получены.

Греция

Смотрите также: греческая математика

Архимед использовал метод истощения для вычисления площади под параболой в своей работе «Квадратура параболы» .

Закладывая основы интегрального исчисления и предвосхищая концепцию предела, древнегреческий математик Евдокс Книдский ( ок. 390 – 337 до н.э.) разработал метод исчерпывания для доказательства формул для объемов конуса и пирамиды.

В эллинистический период этот метод был далее развит Архимедом ( ок. 287 – ок. 212 до н. э. ), который объединил его с концепцией неделимых — предшественником бесконечно малых — что позволило ему решить несколько задач, которые сейчас решаются с помощью интегрального исчисления. В «Методе механических теорем» он описывает, например, вычисление центра тяжести твердого полушария , центра тяжести усеченного конуса круглого параболоида и площади области, ограниченной параболой и одной из ее секущих линий. .

Китай

Метод истощения был позже независимо открыт в Китае в Лю Хуэем III веке нашей эры для определения площади круга. В V веке нашей эры Цзу Гэнчжи , сын Цзу Чунчжи , разработал метод это позже будет названо принципом Кавальери по нахождению объема сферы .

Средневековый

Средний Восток

Ибн аль-Хайсам, арабский математик и физик XI века.

На Ближнем Востоке Хасан ибн аль-Хайсам , латинизированный как Альхазен ( ок. 965 – ок. 1040 г. н.э.), вывел формулу суммы четвертых степеней . Он использовал результаты для выполнения того, что сейчас будет называться интегрированием этой функции, где формулы для сумм целых квадратов и четвертых степеней позволили ему вычислить объем параболоида .

Индия

Бхаскара II был знаком с некоторыми идеями дифференциального исчисления и предположил, что «дифференциальный коэффициент» обращается в нуль при экстремальном значении функции. В своей астрономической работе он предложил процедуру, которая выглядела предшественником методов бесконечно малых величин. А именно, если $x\approx y$ затем $\sin(y)-\sin(x)\approx (y-x)\cos(y).$ Это можно интерпретировать как открытие того, что косинус является производной синуса . В 14 веке индийские математики предложили нестрогий метод, напоминающий дифференцирование, применимый к некоторым тригонометрическим функциям. Мадхава из Сангамаграмы и Школа астрономии и математики Кералы заявили о компонентах исчисления, но, по словам Виктора Дж. Каца, они не смогли «объединить множество различных идей в рамках двух объединяющих тем производной и интеграла , показать связь между во-вторых, и превратить исчисление в великий инструмент решения проблем, который у нас есть сегодня».

Современный

Иоганна Кеплера Работа Stereometrica Doliorum легла в основу интегрального исчисления. Кеплер разработал метод расчета площади эллипса путем сложения длин множества радиусов, взятых из фокуса эллипса.

Значительной работой стал трактат, источником которого послужили методы Кеплера. написанный Бонавентурой Кавальери , который утверждал, что объемы и площади следует вычислять как суммы объемов и площадей бесконечно тонких поперечных сечений. Идеи были похожи на идеи Архимеда в «Методе » , но этот трактат, как полагают, был утерян в 13 веке и был заново открыт только в начале 20 века, поэтому Кавальери был неизвестен. Работа Кавальери не пользовалась большим уважением, поскольку его методы могли привести к ошибочным результатам, а введенные им бесконечно малые величины поначалу вызывали дурную репутацию.

Формальное изучение исчисления объединило бесконечно малые Кавальери с исчислением конечных разностей, разработанным в Европе примерно в то же время. Пьер де Ферма , утверждая, что он заимствовал у Диофанта , ввёл понятие адекватности , которое представляло собой равенство с точностью до бесконечно малого члена ошибки. Комбинация была достигнута Джоном Уоллисом , Исааком Барроу и Джеймсом Грегори , причем двое последних оказались предшественниками второй фундаментальной теоремы исчисления около 1670 года.

Правило продукта и правило цепочки . понятия высших производных и рядов Тейлора , и аналитических функций были использованы Исааком Ньютоном в своеобразных обозначениях, которые он применял для решения задач математической физики . В своих работах Ньютон перефразировал свои идеи в соответствии с математической идиомой того времени, заменив вычисления с бесконечно малыми эквивалентными геометрическими аргументами, которые считались безупречными. Он использовал методы исчисления для решения проблемы движения планет, формы поверхности вращающейся жидкости, сжатия Земли, движения груза, скользящего по циклоиде , и многих других проблем, обсуждавшихся в его Principia Mathematica (Principia Mathematica ). 1687). В другой работе он разработал разложение в ряды функций, включая дробные и иррациональные степени, и было ясно, что он понимает принципы ряда Тейлора . Он не опубликовал все эти открытия, и в то время бесконечно малые методы все еще считались порочными.

Готфрид Вильгельм Лейбниц был первым, кто четко сформулировал правила исчисления.

Исаак Ньютон развил использование исчисления в своих законах движения и всемирного тяготения .

Эти идеи были преобразованы в настоящее исчисление бесконечно малых Готфридом Вильгельмом Лейбницем первоначально обвинил в плагиате . , которого Ньютон Сейчас его считают независимым изобретателем и вкладчиком в исчисление. Его вклад заключался в том, чтобы предоставить четкий набор правил для работы с бесконечно малыми величинами, позволяющий вычислять вторые и более высокие производные, а также обеспечивать правило произведения и цепное правило в их дифференциальной и интегральной формах. В отличие от Ньютона, Лейбниц приложил кропотливые усилия к выбору обозначений.

Сегодня Лейбницу и Ньютону обычно приписывают независимое изобретение и развитие исчисления. Ньютон был первым, кто применил математический анализ к общей физике . Лейбниц разработал большую часть обозначений, используемых сегодня в исчислении. Основными идеями, которые предоставили и Ньютон, и Лейбниц, были законы дифференцирования и интегрирования, подчеркивающие, что дифференцирование и интегрирование являются обратными процессами, вторыми и высшими производными, а также понятие аппроксимирующего полиномиального ряда.

Когда Ньютон и Лейбниц впервые опубликовали свои результаты, возник большой спор по поводу того, какой математик (и, следовательно, какая страна) заслуживает похвалы. Ньютон первым получил свои результаты (позже они были опубликованы в его « Методе флюксий »), но Лейбниц первым опубликовал свой « Новый метод про максимы и минимисы ». Ньютон утверждал, что Лейбниц украл идеи из его неопубликованных заметок, которыми Ньютон поделился с несколькими членами Королевского общества . Этот спор на протяжении многих лет отделял англоязычных математиков от математиков континентальной Европы в ущерб английской математике. Внимательное изучение работ Лейбница и Ньютона показывает, что они пришли к своим результатам независимо: Лейбниц начал сначала с интегрирования, а Ньютон — с дифференцирования. Однако именно Лейбниц дал название новой дисциплине. Ньютон назвал свое исчисление « наукой о флюксиях » — этот термин сохранился в английских школах до 19 века. Первый полный трактат по математическому анализу, написанный на английском языке и использующий обозначения Лейбница, был опубликован только в 1815 году.

Мария Гаэтана Аньези

Со времен Лейбница и Ньютона многие математики внесли свой вклад в дальнейшее развитие исчисления. Одна из первых и наиболее полных работ по исчислению бесконечно малых и интегралов была написана в 1748 году Марией Гаэтаной Аньези .

Фонды

В исчислении под «основами» подразумевается тщательное развитие предмета на основе аксиом и определений. В раннем исчислении использование бесконечно малых величин считалось нестрогим и подвергалось резкой критике со стороны нескольких авторов, в первую очередь Мишеля Ролля и епископа Беркли . Беркли знаменито описал бесконечно малые величины как призраки ушедших величин в своей книге «Аналитик» в 1734 году. Разработка строгих основ исчисления занимала математиков на протяжении большей части столетия после Ньютона и Лейбница и до сих пор в некоторой степени является активной областью исследований.

Несколько математиков, в том числе Маклорен , пытались доказать правильность использования бесконечно малых величин, но только 150 лет спустя благодаря работам Коши и Вейерштрасса был наконец найден способ избежать простых «представлений» о бесконечно малых величинах. . Были заложены основы дифференциального и интегрального исчисления. » Коши В «Курсе анализа мы находим широкий спектр основополагающих подходов, включая определение непрерывности в терминах бесконечно малых и (несколько неточный) прототип (ε, δ)-определения предела в определении дифференцирования. В своей работе Вейерштрасс формализовал концепцию предела и исключил бесконечно малые числа (хотя его определение может подтвердить бесконечно малые значения nilsquare ). После работ Вейерштрасса в конечном итоге стало обычным основывать исчисление на пределах, а не на бесконечно малых количествах, хотя этот предмет до сих пор иногда называют «исчислением бесконечно малых». Бернхард Риман использовал эти идеи, чтобы дать точное определение интеграла. Именно в этот период идеи исчисления были обобщены на комплексную плоскость с развитием комплексного анализа .

В современной математике основы исчисления входят в область реального анализа , содержащую полные определения и доказательства теорем исчисления. Область применения исчисления также значительно расширилась. Анри Лебег изобрел теорию меры , основанную на более ранних разработках Эмиля Бореля , и использовал ее для определения интегралов всех функций, кроме наиболее патологических . Лоран Шварц ввел распределения , которые можно использовать для получения производной любой функции.

Пределы — не единственный строгий подход к основам исчисления. Другой способ – использовать Абрахама Робинсона нестандартный анализ . Подход Робинсона, разработанный в 1960-х годах, использует технические механизмы математической логики для дополнения системы действительных чисел бесконечно малыми и бесконечными числами, как в оригинальной концепции Ньютона-Лейбница. Полученные числа называются гипердействительными числами , и их можно использовать для развития обычных правил исчисления в духе Лейбница. Существует также гладкий анализ бесконечно малых величин , который отличается от нестандартного анализа тем, что требует пренебрежения бесконечно малыми значениями более высокой степени во время вывода. Основываясь на идеях Ф. В. Лоувера и используя методы теории категорий , гладкий бесконечно малый анализ рассматривает все функции как непрерывные и неспособные быть выраженными через дискретные сущности. Одним из аспектов этой формулировки является то, что закон исключенного третьего не выполняется. Закон исключенного третьего также отвергается в конструктивной математике — разделе математики, который настаивает на том, что доказательства существования числа, функции или другого математического объекта должны давать конструкцию объекта. Переформулировки исчисления в конструктивных рамках обычно являются частью предмета конструктивного анализа .

Значение

Хотя многие идеи исчисления были развиты ранее в Греции , Китае , Индии , Ираке, Персии и Японии , использование исчисления началось в Европе в 17 веке, когда Ньютон и Лейбниц опирались на работы более ранних математиков, чтобы представить ее основные принципы. Венгерский эрудит Джон фон Нейман писал об этой работе:

Исчисление было первым достижением современной математики, и его значение трудно переоценить. Я думаю, что оно более однозначно, чем что-либо другое, определяет зарождение современной математики, а система математического анализа, являющаяся ее логическим развитием, до сих пор представляет собой величайшее техническое достижение точного мышления.

Приложения дифференциального исчисления включают вычисления, включающие скорость и ускорение , наклон кривой и оптимизацию . Приложения интегрального исчисления включают вычисления, включающие площадь, объем , длину дуги , центр масс , работу и давление . Более продвинутые приложения включают степенные ряды и ряды Фурье .

Исчисление также используется для более точного понимания природы пространства, времени и движения. На протяжении веков математики и философы боролись с парадоксами, связанными с делением на ноль или суммой бесконечного числа чисел. Эти вопросы возникают при изучении движения и площади. Древнегреческий привел несколько знаменитых философ Зенон Элейский примеров подобных парадоксов . Исчисление предоставляет инструменты, особенно предел и бесконечный ряд , которые разрешают парадоксы.

Принципы

Пределы и бесконечно малые

Основные статьи: Предел функции и бесконечно малая

Исчисление обычно разрабатывается при работе с очень малыми величинами. Исторически первым способом сделать это было использование бесконечно малых величин . Это объекты, с которыми можно обращаться как с действительными числами, но которые в некотором смысле «бесконечно малы». Например, бесконечно малое число может быть больше 0, но меньше любого числа в последовательности 1, 1/2, 1/3... и, следовательно, меньше любого положительного действительного числа . С этой точки зрения исчисление представляет собой набор методов манипулирования бесконечно малыми числами. Символы $dx$ и $dy$ считались бесконечно малыми, а производная $dy/dx$ было их соотношение.

Подход бесконечно малых вышел из моды в 19 веке, потому что было трудно сделать понятие бесконечно малого точным. В конце 19-го века бесконечно малые были заменены в академических кругах эпсилон-дельта- подходом к пределам . Пределы описывают поведение функции на определенном входе с точки зрения ее значений на соседних входах. Они фиксируют мелкомасштабное поведение, используя внутреннюю структуру системы действительных чисел (как метрическое пространство со свойством наименьшей верхней границы ). В этом подходе исчисление представляет собой набор методов манипулирования определенными пределами. Бесконечно малые заменяются последовательностями все меньших и меньших чисел, а бесконечно малое поведение функции находится путем принятия предельного поведения для этих последовательностей. Считалось, что пределы обеспечивают более строгую основу для исчисления, и по этой причине они стали стандартным подходом в 20 веке. Однако концепция бесконечно малых была возрождена в 20 веке с введением нестандартный анализ и плавный анализ бесконечно малых , которые обеспечили прочную основу для манипуляций с бесконечно малыми.

Дифференциальное исчисление

Основная статья: Дифференциальное исчисление

Касательная линия в точке ( x ₀ , f ( x ₀ ) ) . Производная f' ( x ) кривой в точке — это наклон (подъём по длине) линии, касательной к этой кривой в этой точке.

Дифференциальное исчисление — это изучение определения, свойств и применения производной функции . Процесс нахождения производной называется дифференцированием . Учитывая функцию и точку в области, производная в этой точке является способом кодирования мелкомасштабного поведения функции вблизи этой точки. Найдя производную функции в каждой точке ее области определения, можно создать новую функцию, называемую производной функцией или просто производной исходной функции. Формально производная — это линейный оператор , который принимает на вход функцию и производит вторую функцию на выходе. Это более абстрактно, чем многие процессы, изучаемые в элементарной алгебре, где функции обычно вводят число и выводят другое число. Например, если функция удвоения получает входные данные три, то она выводит шесть, а если функция возведения в квадрат получает входные данные три, то она выводит девять. Однако производная может принимать в качестве входных данных функцию возведения в квадрат. Это означает, что производная берет всю информацию функции возведения в квадрат (например, двойка передается четырем, тройка передается девяти, четыре передается шестнадцати и т. д.) и использует эту информацию для создания другой функции. Функция, полученная в результате дифференцирования функции возведения в квадрат, оказывается функцией удвоения.

В более явных терминах «функция удвоения» может быть обозначена как g ( x ) = 2 x , а «функция возведения в квадрат» - как f ( x ) = x. ² . «Производная» теперь принимает функцию f ( x ) , определенную выражением « x ² ", то есть вся информация — например, два отправляются четырем, три — девяти, четыре — шестнадцати и т. д. — и использует эту информацию для вывода другой функции, функции g ( x ) = 2 x , как окажется.

В обозначениях Лагранжа символом производной является знак, похожий на апостроф, называемый штрихом . Таким образом, производная функции под названием f обозначается f′ , произносится как «f prime» или «f тире». Например, если f ( x ) = x ² – функция возведения в квадрат, то f′ ( x ) = 2 x – ее производная (функция удвоения g сверху).

Если входные данные функции представляют время, то производная представляет изменение относительно времени. Например, если f — это функция, которая принимает время в качестве входных данных и выдает положение шара в этот момент в качестве выходных данных, то производная от f — это то, как положение меняется во времени, то есть это скорость мяча. .

Если функция линейна (то есть если график функции представляет собой прямую линию), то функцию можно записать как y = mx + b , где x — независимая переменная, y — зависимая переменная, b — y. -перехват, и:

$m={\frac {\text{rise}}{\text{run}}}={\frac {{\text{change in }}y}{{\text{change in }}x}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}.$

Это дает точное значение наклона прямой линии. Однако если график функции не является прямой линией, то изменение y, деленное на изменение x, меняется. Производные придают точное значение понятию изменения выпуска относительно изменения затрат. Чтобы быть более конкретным, пусть f — функция и зафиксируем точку a в области определения f . ( a , f ( a )) — точка на графике функции. Если h — число, близкое к нулю, то a + h — число, близкое к a . Следовательно, ( a + h , f ( a + h )) близко к ( a , f ( a )) . Наклон между этими двумя точками равен

$m={\frac {f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a}}={\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.$

Это выражение называется разностным коэффициентом . Линия, проходящая через две точки кривой, называется секущей линией , поэтому m — это наклон секущей линии между ( a , f ( a )) и ( a + h , f ( a + h )) . Вторая строка является лишь приближением к поведению функции в точке a, поскольку она не учитывает то, что происходит между a и a + h . Невозможно обнаружить поведение a, установив h равным нулю, поскольку это потребует деления на ноль , который не определен. Производная определяется путем достижения предела , когда h стремится к нулю, что означает, что она учитывает поведение f для всех малых значений h и извлекает согласованное значение для случая, когда h равно нулю:

$\lim _{h\to 0}{f(a+h)-f(a) \over {h}}.$

Геометрически производная — это наклон касательной к графику f в точке a . Касательная линия является пределом секущих, так же как производная является пределом разностных отношений. По этой причине производную иногда называют наклоном функции f .

Вот частный пример, производная возводящей в квадрат функции на входе 3. Пусть f ( x ) = x ² быть функцией возведения в квадрат.

Производная f' ( x ) кривой в точке — это наклон линии, касательной к этой кривой в этой точке. Этот наклон определяется с учетом предельного значения наклонов вторых линий. Здесь задействованная функция (отмечена красным) равна f ( x ) = x ³ - х . Касательная линия (зеленого цвета), проходящая через точку (-3/2, -15/8), имеет наклон 23/4. Вертикальный и горизонтальный масштабы на этом изображении различны.

${\begin{aligned}f'(3)&=\lim _{h\to 0}{(3+h)^{2}-3^{2} \over {h}}\\&=\lim _{h\to 0}{9+6h+h^{2}-9 \over {h}}\\&=\lim _{h\to 0}{6h+h^{2} \over {h}}\\&=\lim _{h\to 0}(6+h)\\&=6\end{aligned}}$

Наклон касательной к функции возведения в квадрат в точке (3, 9) равен 6, то есть она движется вверх в шесть раз быстрее, чем вправо. Только что описанный предельный процесс может быть выполнен для любой точки области определения функции возведения в квадрат. Это определяет производную функцию возведения в квадрат или просто производную функции возведения в квадрат для краткости. Вычисление, подобное приведенному выше, показывает, что производная функции возведения в квадрат является функцией удвоения.

Обозначения Лейбница

Основная статья: обозначения Лейбница

Общепринятое обозначение производной в приведенном выше примере, введенное Лейбницем:

${\begin{aligned}y&=x^{2}\\{\frac {dy}{dx}}&=2x.\end{aligned}}$

В подходе, основанном на ограничениях, символ dy / dx следует интерпретировать не как частное двух чисел, а как сокращение предела, вычисленного выше. Лейбниц, однако, намеревался представить частное двух бесконечно малых чисел, причем dy — это бесконечно малое изменение y, вызванное бесконечно малым изменением dx, примененным к x . Мы также можем подумать о d / dx как оператор дифференцирования, который принимает на вход функцию и выдает на выходе другую функцию, производную. Например:

${\frac {d}{dx}}(x^{2})=2x.$

В этом случае dx в знаменателе читается как «по отношению к x ». Другим примером правильных обозначений может быть:

${\begin{aligned}g(t)&=t^{2}+2t+4\\{d \over dt}g(t)&=2t+2\end{aligned}}$

Даже когда исчисление разрабатывается с использованием пределов, а не бесконечно малых, обычно манипулируют такими символами, как dx и dy, как если бы они были действительными числами; хотя таких манипуляций можно избежать, они иногда удобны для выражения таких операций, как полная производная .

Интегральное исчисление

Основная статья: Интеграл

Интегрирование можно рассматривать как измерение площади под кривой, определяемой f ( x ) , между двумя точками (здесь a и b ).

Последовательность средних точек Римана суммируется по регулярному разделению интервала: общая площадь прямоугольников сходится к интегралу функции.

Интегральное исчисление — это изучение определений, свойств и применений двух связанных понятий: неопределенного интеграла и определенного интеграла . Процесс нахождения значения интеграла называется интегрированием . Неопределенный интеграл, также известный как первообразная , представляет собой операцию, обратную производной. F — неопределенный интеграл от f, f — производная от F. если (Такое использование строчных и прописных букв для обозначения функции и ее неопределенного интеграла часто встречается в исчислении.) Определенный интеграл вводит функцию и выводит число, которое дает алгебраическую сумму площадей между графиком входных данных и графиком входных данных. ось х . Техническое определение определенного интеграла включает предел суммы площадей прямоугольников, называемый суммой Римана .

Мотивирующим примером является расстояние, пройденное за заданное время. Если скорость постоянна, необходимо только умножение:

$\mathrm {Distance} =\mathrm {Speed} \cdot \mathrm {Time}$

Но если скорость меняется, необходим более мощный метод определения расстояния. Один из таких методов состоит в том, чтобы аппроксимировать пройденное расстояние, разбив время на множество коротких интервалов времени, затем умножив время, прошедшее в каждом интервале, на одну из скоростей в этом интервале, а затем взяв сумму ( сумму Римана ) приблизительное расстояние, пройденное в каждом интервале. Основная идея заключается в том, что если пройдет совсем немного времени, то скорость останется более или менее той же самой. Однако сумма Римана дает лишь приблизительное представление о пройденном расстоянии. Мы должны взять предел всех таких сумм Римана, чтобы найти точное пройденное расстояние.

Когда скорость постоянна, общее расстояние, пройденное за данный интервал времени, можно вычислить путем умножения скорости и времени. Например, при движении со скоростью 50 миль в час в течение 3 часов общее расстояние составит 150 миль. Построение графика зависимости скорости от времени дает прямоугольник с высотой, равной скорости, и шириной, равной прошедшему времени. Следовательно, произведение скорости и времени также рассчитывает прямоугольную площадь под кривой (постоянной) скорости. Эту связь между площадью под кривой и пройденным расстоянием можно распространить на любую область неправильной формы, демонстрирующую колеблющуюся скорость в течение заданного периода. Если f ( x ) представляет скорость, изменяющуюся во времени, расстояние, пройденное между моментами времени, представленными a и b, представляет собой площадь области между f ( x ) и осью x , между x = a и x = b .

Чтобы аппроксимировать эту область, интуитивным методом было бы разделить расстояние между a и b на несколько равных сегментов, длина каждого сегмента обозначается символом Δ x . Для каждого небольшого отрезка мы можем выбрать одно значение функции f ( x ) . Назовите это значение h . Тогда площадь прямоугольника с основанием Δx и высотой h дает расстояние (время Δx , умноженное на скорость h ), пройденное на этом отрезке. С каждым сегментом связано среднее значение функции над ним f ( x ) = h . Сумма всех таких прямоугольников дает аппроксимацию площади между осью и кривой, которая является аппроксимацией общего пройденного расстояния. Меньшее значение Δ x даст больше прямоугольников и в большинстве случаев лучшее приближение, но для точного ответа нам нужно взять предел, когда Δ x приближается к нулю.

Символом интеграции является $\int$, удлиненная буква S, выбранная для обозначения суммирования. Определенный интеграл записывается как:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx.$

и читается как «интеграл от a до b от f -of- x по x ». Обозначение Лейбница dx призвано предложить разделить область под кривой на бесконечное количество прямоугольников так, чтобы их ширина стала Δx бесконечно малой dx .

Неопределенный интеграл, или первообразная, записывается:

$\int f(x)\,dx.$

Функции, различающиеся только константой, имеют одну и ту же производную, и можно показать, что первообразная данной функции представляет собой семейство функций, различающихся только константой. Поскольку производная функции y = x ² + C , где C — любая константа, равна y′ = 2 x , первообразная последней определяется выражением:

$\int 2x\,dx=x^{2}+C.$

Неуказанная константа C, присутствующая в неопределенном интеграле или первообразной, известна как константа интегрирования .

Основная теорема

Основная статья: Основная теорема исчисления

Основная теорема исчисления гласит, что дифференцирование и интегрирование являются обратными операциями. Точнее, он связывает значения первообразных с определенными интегралами. Поскольку обычно легче вычислить первообразную, чем применить определение определенного интеграла, фундаментальная теорема исчисления обеспечивает практический способ вычисления определенных интегралов. Это также можно интерпретировать как точное утверждение того факта, что дифференциация является обратной интеграцией.

Основная теорема исчисления гласит: если функция f непрерывна F на интервале [ a , b ] и если — функция, производная которой равна f на интервале ( a , b ) , то

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).$

того, для каждого x в интервале ( a , b ) Кроме

${\frac {d}{dx}}\int _{a}^{x}f(t)\,dt=f(x).$

Это осознание, сделанное как Ньютоном, так и Лейбницем , стало ключом к распространению аналитических результатов после того, как их работа стала известна. (Степень, в которой Ньютон и Лейбниц находились под влиянием непосредственных предшественников, и особенно то, что Лейбниц, возможно, почерпнул из работ Исаака Барроу , трудно определить из-за спора о приоритетах между ними. ) Основная теорема обеспечивает алгебраический метод вычисления многих определенных интегралов — без выполнения предельных процессов — путем нахождения формул для первообразных . Это также прототип решения дифференциального уравнения . Дифференциальные уравнения связывают неизвестную функцию с ее производными и широко распространены в науке.

Приложения

Логарифмическая спираль раковины Наутилуса — это классический образ, используемый для изображения роста и изменений, связанных с исчислением.

Исчисление используется во всех отраслях физических наук. актуарная наука , информатика , статистика , инженерное дело , экономика , бизнес , медицина , демография и в других областях, где проблема может быть математически смоделирована и оптимальное решение. желательно Это позволяет перейти от (непостоянной) скорости изменения к полному изменению или наоборот, и часто при изучении проблемы мы знаем одно и пытаемся найти другое. Исчисление можно использовать в сочетании с другими математическими дисциплинами. Например, его можно использовать с линейной алгеброй , чтобы найти «наилучшее» линейное приближение для набора точек в области. Или его можно использовать в теории вероятностей для определения математического ожидания непрерывной случайной величины с учетом функции плотности вероятности . В аналитической геометрии , изучении графиков функций, исчисление используется для нахождения высоких и низких точек (максимумов и минимумов), наклона, вогнутости и точек перегиба . Исчисление также используется для поиска приближенных решений уравнений; на практике это стандартный способ решения дифференциальных уравнений и поиска корней в большинстве приложений. Примерами являются такие методы, как метод Ньютона , итерация с фиксированной точкой и линейная аппроксимация . Например, космические корабли используют вариант метода Эйлера для аппроксимации изогнутых курсов в условиях невесомости.

Физика особенно использует исчисление; все понятия классической механики и электромагнетизма связаны посредством исчисления. Массу момент объекта известной плотности , инерции объектов и потенциальную энергию гравитационных и электромагнитных сил можно найти с помощью математических вычислений. Примером использования исчисления в механике является второй закон движения Ньютона объекта , который гласит, что производная импульса по времени равна результирующей силе, действующей на него. В качестве альтернативы второй закон Ньютона можно выразить, сказав, что результирующая сила равна произведению массы объекта на его ускорение , которое является производной скорости по времени и, следовательно, второй производной по времени пространственного положения. Зная, как объект ускоряется, мы используем математические вычисления, чтобы определить его путь.

Максвелла Теория электромагнетизма и относительности Эйнштейна теория общая также выражены на языке дифференциального исчисления. Химия также использует математический анализ для определения скорости реакций. и при изучении радиоактивного распада. В биологии динамика населения начинается с воспроизводства и смертности для моделирования изменений численности населения.

Теорема Грина , которая дает связь между линейным интегралом вокруг простой замкнутой кривой C и двойным интегралом по плоской области D, ограниченной C, применяется в приборе, известном как планиметр , который используется для расчета площади квартиры. поверхность на рисунке. Например, его можно использовать для расчета площади, занимаемой клумбой неправильной формы или бассейном при проектировании планировки объекта недвижимости.

В сфере медицины математический анализ можно использовать для определения оптимального угла разветвления кровеносного сосуда для максимизации кровотока. Расчеты можно применить, чтобы понять, насколько быстро лекарство выводится из организма или как быстро растет раковая опухоль.

В экономике исчисление позволяет определить максимальную прибыль, предоставляя способ легко рассчитать как предельные издержки , так и предельный доход .

См. также

Основная статья: Краткое описание исчисления

• Глоссарий исчисления
• Список тем по исчислению
• Список производных и интегралов в альтернативных исчислениях
• Список идентичностей дифференциации
• Публикации по исчислению
• Таблица интегралов

Дальнейшее чтение

• Адамс, Роберт А. (1999). Исчисление: Полный курс . Аддисон-Уэсли. ISBN  978-0-201-39607-2 .
• Альберс, Дональд Дж.; Андерсон, Ричард Д.; Лофтсгаарден, Дон О., ред. (1986). Программы бакалавриата по математике и информатике: обзор 1985–1986 годов . Математическая ассоциация Америки.
• Антон, Ховард; Бивенс, Ирландия; Дэвис, Стивен (2002). Исчисление . Джон Уайли и сыновья Pte. ООО ISBN  978-81-265-1259-1 .
• Апостол, Том М. (1967). Исчисление, Том 1, Исчисление с одной переменной и введение в линейную алгебру . Уайли. ISBN  978-0-471-00005-1 .
• Апостол, Том М. (1969). Исчисление, Том 2, Исчисление с несколькими переменными и линейная алгебра с приложениями . Уайли. ISBN  978-0-471-00007-5 .
• Белл, Джон Лейн (1998). Букварь бесконечно малого анализа . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-62401-5 . Использует синтетическую дифференциальную геометрию и нильпотентные бесконечно малые.
• Боелкинс, М. (2012). Active Calculus: бесплатный открытый текст (PDF) . Архивировано из оригинала 30 мая 2013 года . Проверено 1 февраля 2013 г.
• Бойер, Карл Бенджамин (1959) [1949]. История исчисления и его концептуальное развитие (изд. Дувра). Хафнер. ISBN  0-486-60509-4 .
• Каджори, Флориан (сентябрь 1923 г.). «История обозначений исчисления». Анналы математики . 2-я серия. 25 (1): 1–46. дои : 10.2307/1967725 . hdl : 2027/mdp.39015017345896 . JSTOR   1967725 .
• Курант, Ричард (3 декабря 1998 г.). Введение в исчисление и анализ 1 . ISBN  978-3-540-65058-4 .
• Гоник, Ларри (2012). Мультяшное руководство по исчислению . Уильям Морроу. ISBN  978-0-061-68909-3 . OCLC   932781617 .
• Кейслер, HJ (2000). Элементарное исчисление: подход с использованием бесконечно малых . Получено 29 августа 2010 г. с http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html. Архивировано 1 мая 2011 г. в Wayback Machine.
• Ландау, Эдмунд (2001). Дифференциальное и интегральное исчисление . Американское математическое общество . ISBN  0-8218-2830-4 .
• Лебедев Леонид П.; Клауд, Майкл Дж. (2004). «Инструменты исчисления». Приближение к совершенству: путешествие математика в мир механики . Издательство Принстонского университета. Бибкод : 2004apmj.book.....L .
• Ларсон, Рон ; Эдвардс, Брюс Х. (2010). Исчисление (9-е изд.). Брукс Коул Сенгедж Обучение. ISBN  978-0-547-16702-2 .
• МакКуорри, Дональд А. (2003). Математические методы для ученых и инженеров . Университетские научные книги. ISBN  978-1-891389-24-5 .
• Пиковер, Клифф (2003). Исчисление и пицца: кулинарная книга по математике для голодного ума . Джон Уайли и сыновья. ISBN  978-0-471-26987-8 .
• Салас, Сатурнино Л.; Хилле, Эйнар ; Этген, Гаррет Дж. (2007). Исчисление: одна и несколько переменных (10-е изд.). Уайли . ISBN  978-0-471-69804-3 .
• Спивак, Майкл (сентябрь 1994 г.). Исчисление . Публикация или гибель. ISBN  978-0-914098-89-8 .
• Стин, Линн Артур , изд. (1988). Исчисление для нового века; Насос, а не фильтр . Математическая ассоциация Америки . ISBN  0-88385-058-3 .
• Стюарт, Джеймс (2012). Исчисление: ранние трансценденталисты (7-е изд.). Брукс Коул Сенгедж Обучение. ISBN  978-0-538-49790-9 .
• Томас, Джордж Бринтон ; Финни, Росс Л.; Вейр, Морис Д. (1996). Исчисление и аналитическая геометрия. Часть 1 . Эддисон Уэсли. ISBN  978-0-201-53174-9 .
• Томас, Джордж Б .; Вейр, Морис Д.; Хасс, Джоэл ; Джордано, Фрэнк Р. (2008). Исчисление (11-е изд.). Аддисон-Уэсли. ISBN  978-0-321-48987-6 .
• Томпсон, Сильванус П .; Гарднер, Мартин (1998). Исчисление стало проще . ISBN  978-0-312-18548-0 .

Внешние ссылки

• «Исчисление» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Исчисление» . Математический мир .
• Темы по исчислению на PlanetMath .
• Исчисление стало проще (1914), Сильванус П. Томпсон. Полный текст в PDF
• Исчисление в программе «В наше время » на BBC
• Calculus.org: страница исчисления в Калифорнийском университете в Дэвисе - содержит ресурсы и ссылки на другие сайты.
• Самые ранние известные варианты использования некоторых слов математики: исчисление и анализ
• Роль исчисления в математике в колледже. Архивировано 26 июля 2021 года в Wayback Machine на сайте ERICDigests.org.
• OpenCourseWare Calculus от Массачусетского технологического института.
• Исчисление бесконечно малых - статья о его историческом развитии в Математической энциклопедии под ред. Мишель Хазевинкель .
• Дэниел Клейтман, Массачусетский технологический институт. «Исчисление для начинающих и художников» .
• Учебные материалы по математическому анализу на imomath.com
• (на английском и арабском языках) Экскурсия по исчислению , 1772 г.