Оператор Лапласа

Эта статья о математическом операторе над скалярными полями. Для работы с векторными полями см. Вектор Лапласа . Чтобы узнать о распределении вероятностей Лапласа, см. Распределение Лапласа . Понятие теории графов см. в разделе «Матрица Лапласа» .

В математике или оператор Лапласа лапласиан — это дифференциальный оператор определяемый дивергенцией градиента , скалярной функции в евклидовом пространстве . Обычно его обозначают символами $\nabla \cdot \nabla$, $\nabla ^{2}$ (где $\nabla$ — оператор набла ), или $\Delta$. В декартовой системе координат лапласиан задается суммой вторых частных производных функции по каждой независимой переменной . В других системах координат , таких как цилиндрические и сферические координаты , лапласиан также имеет полезную форму. Неформально, лапласиан Δ f ( p ) функции f в точке p измеряет, насколько среднее значение f по небольшим сферам или шарам с центром в p отклоняется от f ( p ) .

Оператор Лапласа назван в честь французского математика Пьера-Симона де Лапласа (1749–1827), который первым применил этот оператор к изучению небесной механики : лапласиан гравитационного потенциала , обусловленный заданным распределением плотности массы, является постоянным кратным такое распределение плотности. Решения уравнения Лапласа Δ f = 0 называются гармоническими функциями и представляют собой возможные гравитационные потенциалы в областях вакуума .

Лапласиан встречается во многих дифференциальных уравнениях, описывающих физические явления. Уравнение Пуассона описывает электрический и гравитационный потенциалы ; описывает уравнение диффузии поток тепла и жидкости ; волновое уравнение описывает распространение волн ; а уравнение Шрёдингера описывает волновую функцию в квантовой механике . В обработке изображений и компьютерном зрении оператор Лапласа использовался для различных задач, таких как обнаружение пятен и краев . Лапласиан — простейший эллиптический оператор , лежащий в основе теории Ходжа , а также результатов когомологий де Рама .

Определение

Оператор Лапласа — дифференциальный оператор второго порядка в n -мерном евклидовом пространстве , определяемый как дивергенция ( $\nabla \cdot$) градиента ( $\nabla f$). Таким образом, если $f$ является дважды дифференцируемой вещественной функцией , то лапласиан $f$ - это функция с действительным знаком, определяемая:

$$\Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f$$

( 1 )

где последние обозначения происходят от формального написания:

$$\nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right).$$

Таким образом, лапласиан функции f представляет собой сумму всех несмешанных вторых частных производных в декартовых координатах x _i :

$$\Delta f=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}^{2}}}$$

( 2 )

Как дифференциальный оператор второго порядка оператор Лапласа отображает C ^к функции для C ^{к -2} функции для k ≥ 2 . Это линейный оператор ∆ : C ^к ( Р ^н ) → С ^{к -2} ( Р ^н ) или, в более общем смысле, оператор Δ : C ^к (Ом) → С ^{к -2} (Ω) для любого открытого множества Ω ⊆ R ^н .

Мотивация

Диффузия

В физической теории диффузии оператор Лапласа естественным образом возникает при математическом описании равновесия . В частности, если u — это равновесная плотность некоторой величины, например химической концентрации, то чистый поток u равен нулю, при условии , через границу ∂ V любой гладкой области V нет источника или стока что внутри V :

$$\int _{\partial V}\nabla u\cdot \mathbf {n} \,dS=0,$$

где n — внешняя нормальная к границе V. единица измерения , По теореме о расходимости ,

$$\int _{V}\operatorname {div} \nabla u\,dV=\int _{\partial V}\nabla u\cdot \mathbf {n} \,dS=0.$$

Поскольку это справедливо для всех гладких областей V , можно показать, что из этого следует:

$$\operatorname {div} \nabla u=\Delta u=0.$$

Левая часть этого уравнения представляет собой оператор Лапласа, а все уравнение ∆ u = 0 известно как уравнение Лапласа . Таким образом, решения уравнения Лапласа, т.е. функции, лапласиан которых тождественно равен нулю, представляют собой возможные равновесные плотности при диффузии.

Сам оператор Лапласа имеет физическую интерпретацию неравновесной диффузии как степень, в которой точка представляет собой источник или сток химической концентрации, в смысле, уточненном уравнением диффузии . Такая интерпретация лапласиана объясняется также следующим фактом о средних значениях.

Средние значения

Дана дважды непрерывно дифференцируемая функция $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ и точка $p\in \mathbb {R} ^{n}$. Тогда среднее значение $f$ над мячом с радиусом $h$ сосредоточено в $p$ является:

$${\overline {f}}_{B}(p,h)=f(p)+{\frac {\Delta f(p)}{2(n+2)}}h^{2}+o(h^{2})\quad {\text{for}}\;\;h\to 0$$

Аналогично, среднее значение $f$ над сферой (границей шара) радиусом $h$ сосредоточено в $p$ является:

$${\overline {f}}_{S}(p,h)=f(p)+{\frac {\Delta f(p)}{2n}}h^{2}+o(h^{2})\quad {\text{for}}\;\;h\to 0.$$

потенциалом

Если φ обозначает электростатический потенциал , связанный с распределением заряда q , то само распределение заряда задается отрицательным значением лапласиана φ :

$$q=-\varepsilon _{0}\Delta \varphi ,$$

где ε ₀ — электрическая постоянная .

Это следствие закона Гаусса . Действительно, если V — любая гладкая область с границей ∂ V , то по закону Гаусса поток электростатического поля E через границу пропорционален заключенному в ней заряду:

$$\int _{\partial V}\mathbf {E} \cdot \mathbf {n} \,dS=\int _{V}\operatorname {div} \mathbf {E} \,dV={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int _{V}q\,dV.$$

где первое равенство обусловлено теоремой о расходимости . Поскольку электростатическое поле представляет собой (отрицательный) градиент потенциала, это дает:

$$-\int _{V}\operatorname {div} (\operatorname {grad} \varphi )\,dV={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int _{V}q\,dV.$$

Поскольку это справедливо для всех областей V , мы должны иметь

$$\operatorname {div} (\operatorname {grad} \varphi )=-{\frac {1}{\varepsilon _{0}}}q$$

Тот же подход подразумевает, что отрицательным значением лапласиана гравитационного потенциала является распределение массы . Часто распределение заряда (или массы) задано, а связанный с ним потенциал неизвестен. Нахождение потенциальной функции с учетом подходящих граничных условий эквивалентно решению уравнения Пуассона .

Минимизация энергии

Другая причина появления лапласиана в физике заключается в том, что решения Δ f = 0 в области U являются функциями, которые делают Дирихле энергетический функционал стационарным :

$$E(f)={\frac {1}{2}}\int _{U}\lVert \nabla f\rVert ^{2}\,dx.$$

Чтобы убедиться в этом, предположим, что f : U → R — функция, а u : U → R которая обращается в нуль на границе U. — функция , Затем:

$$\left.{\frac {d}{d\varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}E(f+\varepsilon u)=\int _{U}\nabla f\cdot \nabla u\,dx=-\int _{U}u\,\Delta f\,dx$$

где последнее равенство следует с использованием первого тождества Грина . Этот расчет показывает, что если Δ f = 0 , то E стационарно относительно f . И наоборот, если E стационарно вокруг f , то = ∆f 0 по фундаментальной лемме вариационного исчисления .

Координатные выражения

Два измерения

Оператор Лапласа в двух измерениях определяется следующим образом:

В декартовых координатах

$$\Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}$$

где x и y — стандартные декартовы координаты плоскости xy .

В полярных координатах ,

$${\begin{aligned}\Delta f&={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}\\&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}},\end{aligned}}$$

где r представляет радиальное расстояние, а θ - угол.

Три измерения

См. также: Del в цилиндрических и сферических координатах.

В трех измерениях с лапласианом принято работать в различных системах координат.

В декартовых координатах

$$\Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.$$

В цилиндрических координатах

$$\Delta f={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial f}{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}},$$

где $\rho$ представляет собой радиальное расстояние, φ — угол азимута, а z — высоту.

В сферических координатах :

$$\Delta f={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}},$$

или

$$\Delta f={\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}(rf)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}},$$

расширив первый член, эти выражения читаются

$$\Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}},$$

где φ представляет собой азимутальный угол , а θ — зенитный угол или совместную широту .

В общих криволинейных координатах ( ξ ¹ , ИКС ² , ИКС ³ ):

$$\Delta =\nabla \xi ^{m}\cdot \nabla \xi ^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \xi ^{m}\,\partial \xi ^{n}}}+\nabla ^{2}\xi ^{m}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{m}}}=g^{mn}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \xi ^{m}\,\partial \xi ^{n}}}-\Gamma _{mn}^{l}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{l}}}\right),$$

где подразумевается суммирование по повторяющимся индексам , г ^минута – обратный метрический тензор и Γ ^л _mn — символы Кристоффеля для выбранных координат.

N размеров

В произвольных криволинейных координатах в N измерениях ( ξ ¹ , ..., ИКС ^Н ), мы можем записать лапласиан через обратный метрический тензор , $g^{ij}$:

$$\Delta ={\frac {1}{\sqrt {\det g}}}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{i}}}\left({\sqrt {\det g}}g^{ij}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{j}}}\right),$$

по Восса - Вейля формуле за расхождение .

В сферических координатах в N измерениях с параметризацией x = rθ ∈ R ^Н где r представляет собой положительный действительный радиус, а θ - элемент единичной сферы S. ^{Н -1} ,

$$\Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {N-1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}\Delta _{S^{N-1}}f$$

где Δ _{S ^{Н -1}} — оператор Лапласа–Бельтрами на ( N − 1) -сфере, известный как сферический лапласиан. Два члена радиальной производной можно эквивалентно переписать как:

$${\frac {1}{r^{N-1}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{N-1}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right).$$

Как следствие, сферический лапласиан функции, определенной на S ^{Н -1} ⊂ Р ^Н можно вычислить как обычный лапласиан функции, расширенной до R ^Н ∖{0} так, чтобы оно было постоянным вдоль лучей, т. е. однородным нулевой степени.

Евклидова инвариантность

Лапласиан инвариантен относительно всех евклидовых преобразований : вращений и перемещений . Например, в двух измерениях это означает, что:

$$\Delta (f(x\cos \theta -y\sin \theta +a,x\sin \theta +y\cos \theta +b))=(\Delta f)(x\cos \theta -y\sin \theta +a,x\sin \theta +y\cos \theta +b)$$

для всех θ , a и b . В произвольных размерах

$$\Delta (f\circ \rho )=(\Delta f)\circ \rho$$

всякий раз, когда ρ является вращением, и аналогично:

$$\Delta (f\circ \tau )=(\Delta f)\circ \tau$$

всякий раз, когда τ является переводом. (В более общем смысле это остается верным, когда ρ является ортогональным преобразованием, таким как отражение .)

Фактически, алгебра всех скалярных линейных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами, коммутирующих со всеми евклидовыми преобразованиями, представляет собой полиномиальную алгебру, порожденную оператором Лапласа.

Спектральная теория

См. Также: Слух о форме барабана и собственном значении Дирихле.

Спектр , оператора Лапласа состоит из всех собственных значений λ для которых существует соответствующая собственная функция f с:

$$-\Delta f=\lambda f.$$

Это известно как уравнение Гельмгольца .

Если Ω — ограниченная область в R ^н , то собственные функции лапласиана являются ортонормированным базисом гильбертова пространства L ² (Ом) . Этот результат по существу следует из спектральной теоремы о компактных самосопряженных операторах , примененной к обратному лапласиану (который компактен по неравенству Пуанкаре и теореме Реллиха–Кондрахова ). Можно также показать, что собственные функции являются бесконечно дифференцируемыми функциями. В более общем смысле, эти результаты справедливы для оператора Лапласа–Бельтрами на любом компактном римановом многообразии с краем или даже для проблемы собственных значений Дирихле любого эллиптического оператора с гладкими коэффициентами в ограниченной области. Когда Ω является n- сферой , собственные функции лапласиана являются сферическими гармониками .

Вектор Лапласа

Векторный оператор Лапласа , также обозначаемый $\nabla ^{2}$, является дифференциальным оператором, определенным над векторным полем . Векторный лапласиан подобен скалярному лапласиану; тогда как скалярный лапласиан применяется к скалярному полю и возвращает скалярную величину, векторный лапласиан применяется к векторному полю , возвращая векторную величину. При вычислении в ортонормированных декартовых координатах возвращаемое векторное поле равно векторному полю скалярного лапласиана, примененного к каждому векторному компоненту.

Векторный лапласиан векторного поля $\mathbf {A}$ определяется как

$$\nabla ^{2}\mathbf {A} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} ).$$

Это определение можно рассматривать как разложение Гельмгольца векторного лапласиана.

В декартовых координатах это сводится к гораздо более простой форме:

$$\nabla ^{2}\mathbf {A} =(\nabla ^{2}A_{x},\nabla ^{2}A_{y},\nabla ^{2}A_{z}),$$

где $A_{x}$, $A_{y}$, и $A_{z}$ являются компонентами векторного поля $\mathbf {A}$, и $\nabla ^{2}$слева от каждого компонента векторного поля находится (скалярный) оператор Лапласа. Можно рассматривать это как частный случай формулы Лагранжа; см. векторное тройное произведение .

Выражения векторного лапласиана в других системах координат см. Del в цилиндрических и сферических координатах .

Обобщение

Лапласиан любого тензорного поля $\mathbf {T}$ («тензор» включает скаляр и вектор) определяется как дивергенция градиента тензора :

$$\nabla ^{2}\mathbf {T} =(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {T} .$$

Для особого случая, когда $\mathbf {T}$ является скаляром (тензором нулевой степени), лапласиан принимает привычный вид.

Если $\mathbf {T}$— вектор (тензор первой степени), градиент — это ковариантная производная , которая приводит к тензору второй степени, а его расхождение снова является вектором. Приведенную выше формулу для векторного лапласиана можно использовать, чтобы избежать тензорной математики, и можно показать, что она эквивалентна расхождению матрицы Якоби , показанной ниже для градиента вектора:

$$\nabla \mathbf {T} =(\nabla T_{x},\nabla T_{y},\nabla T_{z})={\begin{bmatrix}T_{xx}&T_{xy}&T_{xz}\\T_{yx}&T_{yy}&T_{yz}\\T_{zx}&T_{zy}&T_{zz}\end{bmatrix}},{\text{ where }}T_{uv}\equiv {\frac {\partial T_{u}}{\partial v}}.$$

И таким же образом скалярное произведение вектора на градиент другого вектора (тензора 2-й степени) можно рассматривать как произведение матриц:

$$\mathbf {A} \cdot \nabla \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&A_{z}\end{bmatrix}}\nabla \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} \cdot \nabla B_{x}&\mathbf {A} \cdot \nabla B_{y}&\mathbf {A} \cdot \nabla B_{z}\end{bmatrix}}.$$

Это тождество является результатом, зависящим от координат, и не является общим.

Использование в физике

Примером использования векторного лапласиана являются уравнения Навье-Стокса для ньютоновского несжимаемого потока :

$$\rho \left({\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} \right)=\rho \mathbf {f} -\nabla p+\mu \left(\nabla ^{2}\mathbf {v} \right),$$

где член с векторным лапласианом скорости поля $\mu \left(\nabla ^{2}\mathbf {v} \right)$ представляет вязкие напряжения в жидкости.

Другой пример — волновое уравнение электрического поля, которое можно вывести из уравнений Максвелла в отсутствие зарядов и токов:

$$\nabla ^{2}\mathbf {E} -\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}=0.$$

Это уравнение также можно записать как:

$$\Box \,\mathbf {E} =0,$$

где

$$\Box \equiv {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2},$$

— даламбериан , используемый в уравнении Клейна-Гордона .

Обобщения

Версия лапласиана может быть определена везде, где имеет смысл функционал энергии Дирихле , что является теорией форм Дирихле . Для пространств с дополнительной структурой можно дать более явное описание лапласиана следующим образом.

Оператор Лапласа-Бельтрами

Основная статья: оператор Лапласа – Бельтрами

Лапласиан также можно обобщить до эллиптического оператора, называемого оператором Лапласа–Бельтрами, определенного на римановом многообразии . Оператор Лапласа-Бельтрами, примененный к функции, является следом ( tr функции ) гессиана :

$$\Delta f=\operatorname {tr} {\big (}H(f){\big )}$$

где след берется относительно обратного метрического тензора . Оператор Лапласа-Бельтрами также можно обобщить до оператора (также называемого оператором Лапласа-Бельтрами), который работает с тензорными полями , по аналогичной формуле.

Другое обобщение оператора Лапласа, доступное на псевдоримановых многообразиях, использует внешнюю производную , в терминах которой «лапласиан геометра» выражается как

$$\Delta f=\delta df.$$

Здесь δ — кодифференциал , который также можно выразить через звезду Ходжа и внешнюю производную. Этот оператор отличается знаком от «лапласиана аналитика», определенного выше. В более общем смысле, лапласиан «Ходжа» определяется на дифференциальных формах α следующим образом:

$$\Delta \alpha =\delta d\alpha +d\delta \alpha .$$

Это известно как оператор Лапласа-де Рама , который связан с оператором Лапласа-Бельтрами тождеством Вайценбека .

Даламберьян

Лапласиан можно определенным образом обобщить на неевклидовы пространства, где он может быть эллиптическим , гиперболическим или ультрагиперболическим .

В пространстве Минковского оператор Лапласа –Бельтрами становится оператором Даламбера. $\Box$ или Даламбериан:

$$\square ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}.$$

Это обобщение оператора Лапласа в том смысле, что это дифференциальный оператор, который инвариантен относительно группы изометрий основного пространства, и он сводится к оператору Лапласа, если ограничиться функциями, независимыми от времени. Общий знак метрики здесь выбран таким, чтобы пространственные части оператора допускали отрицательный знак, что является обычным соглашением в физике частиц высоких энергий . Оператор Даламбера также известен как волновой оператор, поскольку это дифференциальный оператор, появляющийся в волновых уравнениях , а также часть уравнения Клейна-Гордона , которое сводится к волновому уравнению в безмассовом случае.

Дополнительный коэффициент c в метрике необходим в физике, если пространство и время измеряются в разных единицах; аналогичный коэффициент потребовался бы, если бы, например, направление x измерялось в метрах, а направление y — в сантиметрах. Действительно, физики-теоретики обычно работают в таких единицах, что c = 1 , чтобы упростить уравнение.

Оператор Даламбера обобщается до гиперболического оператора на псевдоримановых многообразиях .

См. также

• Оператор Лапласа–Бельтрами , обобщение на подмногообразия в евклидовом пространстве, а также на риманово и псевдориманово многообразие.
• Векторный оператор Лапласа , обобщение оператора Лапласа на векторные поля .
• Лапласиан в дифференциальной геометрии .
• Дискретный оператор Лапласа является конечно-разностным аналогом непрерывного лапласиана, определенного на графах и сетках.
• Лапласиан — распространенный оператор в обработке изображений и компьютерном зрении (см. Лапласиан Гаусса , детектор капель и масштабное пространство ).
• Список формул римановой геометрии содержит выражения для лапласиана через символы Кристоффеля.
• Лемма Вейля (уравнение Лапласа) .
• Теорема Ирншоу , показывающая, что устойчивая статическая гравитационная, электростатическая или магнитная подвеска невозможна.
• Del в цилиндрических и сферических координатах .
• Другими ситуациями, в которых определяется лапласиан, являются: анализ фракталов , исчисление шкалы времени и дискретное внешнее исчисление .

Ссылки

• Эванс, Л. (1998), Уравнения в частных производных , Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-0772-9
• Фейнмановские лекции по физике Vol. II гл. 12: Электростатические аналоги
• Гилбарг, Д.; Трудингер, Н. (2001), Эллиптические дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка , Springer, ISBN  978-3-540-41160-4 .
• Шей, HM (1996), Div, Grad, Curl и все такое , WW Norton, ISBN  978-0-393-96997-9 .

Дальнейшее чтение

• Лапласиан - Ричард Фицпатрик, 2006 г.

Внешние ссылки

• «Оператор Лапласа» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Лапласиан» . Математический мир .
• Лапласиан в выводе полярных координат
• Уравнения Лапласа о фрактальных кубах и эффект Казимира