замена Эйлера

Замена Эйлера - это метод вычисления интегралов вида

$$\int R(x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}})\,dx,$$

где $R$ является рациональной функцией $x$ и ${\textstyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}$. В таких случаях подынтегральную функцию можно превратить в рациональную функцию, используя замены Эйлера.

Первая замена Эйлера

Первая замена Эйлера используется, когда $a>0$. Мы заменяем

$${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=\pm x{\sqrt {a}}+t$$

и решим полученное выражение для $x$. У нас есть это $x={\frac {c-t^{2}}{\pm 2t{\sqrt {a}}-b}}$ и что $dx$ термин рационально выражается в $t$.

При этой замене можно выбрать либо положительный, либо отрицательный знак.

Вторая замена Эйлера

Если $c>0$, мы берем

$${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=xt\pm {\sqrt {c}}.$$

Мы решаем за $x$ аналогично предыдущему и найдите

$$x={\frac {\pm 2t{\sqrt {c}}-b}{a-t^{2}}}.$$

Опять же, можно выбрать либо положительный, либо отрицательный знак.

Третья замена Эйлера

Если полином $ax^{2}+bx+c$ имеет настоящие корни $\alpha$ и $\beta$, мы можем выбрать ${\textstyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\sqrt {a(x-\alpha )(x-\beta )}}=(x-\alpha )t}$. Это дает $x={\frac {a\beta -\alpha t^{2}}{a-t^{2}}},$и, как и в предыдущих случаях, мы можем рационально выразить всю подынтегральную функцию в $t$.

Рабочие примеры

Примеры первой замены Эйлера

Один

В интеграле $\int \!{\frac {\ dx}{\sqrt {x^{2}+c}}}$ мы можем использовать первую замену и установить ${\textstyle {\sqrt {x^{2}+c}}=-x+t}$, таким образом

$$x={\frac {t^{2}-c}{2t}}\quad \quad \ dx={\frac {t^{2}+c}{2t^{2}}}\,\ dt$$

$${\sqrt {x^{2}+c}}=-{\frac {t^{2}-c}{2t}}+t={\frac {t^{2}+c}{2t}}$$

Соответственно, получаем:

$$\int {\frac {dx}{\sqrt {x^{2}+c}}}=\int {\frac {\frac {t^{2}+c}{2t^{2}}}{\frac {t^{2}+c}{2t}}}\,\ dt=\int {\frac {dt}{t}}=\ln |t|+C=\ln \left|x+{\sqrt {x^{2}+c}}\right|+C$$

Случаи $c=\pm 1$ дайте формулы

$${\begin{aligned}\int {\frac {\ dx}{\sqrt {x^{2}+1}}}&=\operatorname {arsinh} (x)+C\\[6pt]\int {\frac {\ dx}{\sqrt {x^{2}-1}}}&=\operatorname {arcosh} (x)+C\qquad (x>1)\end{aligned}}$$

Два

Для нахождения значения

$$\int {\frac {1}{x{\sqrt {x^{2}+4x-4}}}}dx,$$

мы находим $t$ используя первую замену Эйлера, ${\textstyle {\sqrt {x^{2}+4x-4}}={\sqrt {1}}x+t=x+t}$. Возведение в квадрат обеих частей уравнения дает нам $x^{2}+4x-4=x^{2}+2xt+t^{2}$, из которого $x^{2}$ условия аннулируются. Решение для $x$ урожайность

$$x={\frac {t^{2}+4}{4-2t}}.$$

Отсюда мы находим, что дифференциалы $dx$ и $dt$ связаны $dx={\frac {-2t^{2}+8t+8}{(4-2t)^{2}}}dt.$

Следовательно,

$${\begin{aligned}\int {\frac {dx}{x{\sqrt {x^{2}+4x-4}}}}&=\int {\frac {\frac {-2t^{2}+8t+8}{(4-2t)^{2}}}{\left({\frac {t^{2}+4}{4-2t}}\right)\left({\frac {-t^{2}+4t+4}{4-2t}}\right)}}dt&&t={\sqrt {x^{2}+4x-4}}-x\\[6pt]&=2\int {\frac {dt}{t^{2}+4}}=\tan ^{-1}\left({\frac {t}{2}}\right)+C\\[6pt]&=\tan ^{-1}\left({\frac {{\sqrt {x^{2}+4x-4}}-x}{2}}\right)+C\end{aligned}}$$

Эйлера

В интеграле

$$\int \!{\frac {dx}{x{\sqrt {-x^{2}+x+2}}}},$$

мы можем использовать вторую замену и установить ${\sqrt {-x^{2}+x+2}}=xt+{\sqrt {2}}$. Таким образом

$$x={\frac {1-2{\sqrt {2}}t}{t^{2}+1}}\qquad dx={\frac {2{\sqrt {2}}t^{2}-2t-2{\sqrt {2}}}{(t^{2}+1)^{2}}}dt,$$

и

$${\sqrt {-x^{2}+x+2}}={\frac {1-2{\sqrt {2}}t}{t^{2}+1}}t+{\sqrt {2}}={\frac {-{\sqrt {2}}t^{2}+t+{\sqrt {2}}}{t^{2}+1}}$$

Соответственно, получаем:

$${\begin{aligned}\int {\frac {dx}{x{\sqrt {-x^{2}+x+2}}}}&=\int {\frac {\frac {2{\sqrt {2}}t^{2}-2t-2{\sqrt {2}}}{(t^{2}+1)^{2}}}{{\frac {1-2{\sqrt {2}}t}{t^{2}+1}}{\frac {-{\sqrt {2}}t^{2}+t+{\sqrt {2}}}{t^{2}+1}}}}dt\\[6pt]&=\int \!{\frac {-2}{-2{\sqrt {2}}t+1}}dt={\frac {1}{\sqrt {2}}}\int {\frac {-2{\sqrt {2}}}{-2{\sqrt {2}}t+1}}dt\\[6pt]&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\ln \left|2{\sqrt {2}}t-1\right|+C\\[4pt]&={\frac {\sqrt {2}}{2}}\ln \left|2{\sqrt {2}}{\frac {{\sqrt {-x^{2}+x+2}}-{\sqrt {2}}}{x}}-1\right|+C\end{aligned}}$$

Эйлера

Чтобы оценить

$$\int \!{\frac {x^{2}}{\sqrt {-x^{2}+3x-2}}}\ dx,$$

мы можем использовать третью замену и установить ${\textstyle {\sqrt {-(x-2)(x-1)}}=(x-2)t}$. Таким образом

$$x={\frac {-2t^{2}-1}{-t^{2}-1}}\qquad \ dx={\frac {2t}{(-t^{2}-1)^{2}}}\,\ dt,$$

и

$${\sqrt {-x^{2}+3x-2}}=(x-2)t={\frac {t}{-t^{2}-1.}}$$

Следующий,

$$\int {\frac {x^{2}}{\sqrt {-x^{2}+3x-2}}}\ dx=\int {\frac {\left({\frac {-2t^{2}-1}{-t^{2}-1}}\right)^{2}{\frac {2t}{(-t^{2}-1)^{2}}}}{\frac {t}{-t^{2}-1}}}\ dt=\int {\frac {2(-2t^{2}-1)^{2}}{(-t^{2}-1)^{3}}}\ dt.$$

Как мы видим, это рациональная функция, которую можно решить, используя простейшие дроби.

Обобщения

Замены Эйлера можно обобщить, разрешив использовать мнимые числа. Например, в интеграле ${\textstyle \int {\frac {dx}{\sqrt {-x^{2}+c}}}}$, замена ${\textstyle {\sqrt {-x^{2}+c}}=\pm ix+t}$ можно использовать. Расширение комплексных чисел позволяет нам использовать любой тип замены Эйлера независимо от коэффициентов квадратичного числа.

Замены Эйлера можно обобщить на более широкий класс функций. Рассмотрим интегралы вида

$$\int R_{1}\left(x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}\right)\,\log \left(R_{2}\left(x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}\right)\right)\,dx,$$

где $R_{1}$ и $R_{2}$ являются рациональными функциями $x$ и ${\textstyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}$. Этот интеграл можно преобразовать заменой ${\textstyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\sqrt {a}}+xt}$ в другой интеграл

$$\int {\tilde {R}}_{1}(t)\log {\big (}{\tilde {R}}_{2}(t){\big )}\,dt,$$

где ${\tilde {R}}_{1}(t)$ и ${\tilde {R}}_{2}(t)$ теперь являются просто рациональными функциями $t$. В принципе, факторизация и разложение на частичные дроби могут использоваться для разложения интеграла на простые члены, которые можно интегрировать аналитически с помощью функции дилогарифма .

См. также

• Интегрирование путем замены
• Тригонометрическая замена
• Замена Вейерштрасса

Ссылки

Эта статья включает в себя материал из книги «Замены Эйлера для интеграции» в PlanetMath , которая распространяется под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .