Производная по направлению

Производная по направлению — это концепция исчисления многих переменных , которая измеряет скорость, с которой функция изменяется в определенном направлении в данной точке.

Производная по направлению дифференцируемой (скалярной) функции многих переменных вдоль данного вектора v в данной точке x интуитивно представляет мгновенную скорость изменения функции, движущейся через x со скоростью, заданной v .

Производная по направлению скалярной функции f относительно вектора v в точке (например, положении) x может быть обозначена любым из следующих средств:

$$\nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=f'_{\mathbf {v} }(\mathbf {x} )=D_{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )=Df(\mathbf {x} )(\mathbf {v} )=\partial _{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )=\mathbf {v} \cdot {\nabla f(\mathbf {x} )}=\mathbf {v} \cdot {\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {x} }}.$$

Таким образом, он обобщает понятие частной производной , в которой скорость изменения берется вдоль одной из криволинейных координатных кривых , при этом все остальные координаты постоянны.Производная по направлению является частным случаем производной Гато .

Определение

Контурный график ​ $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$, показывающий вектор градиента черным цветом и единичный вектор $\mathbf {u}$ масштабируется производной по направлению в направлении $\mathbf {u}$ в оранжевом цвете. Вектор градиента длиннее, потому что градиент указывает в направлении наибольшей скорости возрастания функции.

Производная по направлению скалярной функции

$$f(\mathbf {x} )=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$$

вдоль вектора

$$\mathbf {v} =(v_{1},\ldots ,v_{n})$$

это функция $\nabla _{\mathbf {v} }{f}$ определяется пределом

$$\nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h}}.$$

Это определение действительно в широком диапазоне контекстов, например, когда норма вектора (и, следовательно, единичный вектор) не определена.

Для дифференцируемых функций

Если функция f дифференцируема x в точке , то производная по направлению существует вдоль любого единичного вектора v в точке x, и она имеет

$$\nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {v}$$

где $\nabla$ справа обозначает градиент , $\cdot$ — скалярное произведение , а v — единичный вектор. Это следует из определения пути $h(t)=x+tv$ и используя определение производной как предела, который можно вычислить по этому пути, чтобы получить:

$${\begin{aligned}0&=\lim _{t\to 0}{\frac {f(x+tv)-f(x)-tDf(x)(v)}{t}}\\&=\lim _{t\to 0}{\frac {f(x+tv)-f(x)}{t}}-Df(x)(v)\\&=\nabla _{v}f(x)-Df(x)(v).\end{aligned}}$$

производная f по направлению в точке x представляет скорость изменения f Интуитивно понятно, что в направлении v относительно времени при движении мимо x .

Использование только направления вектора

Угол α между касательной A если плоскость сечения содержит направление градиента A. и горизонталью будет максимальным ,

В евклидовом пространстве некоторые авторы определите производную по направлению как произвольный ненулевой вектор v после нормализации , таким образом, она не зависит от его величины и зависит только от его направления.

Это определение дает скорость увеличения f на единицу расстояния, пройденного в направлении, заданном v . В этом случае имеется

$$\nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h|\mathbf {v} |}},$$

или в случае, если f дифференцируема в точке x ,

$$\nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\nabla f(\mathbf {x} )\cdot {\frac {\mathbf {v} }{|\mathbf {v} |}}.$$

Ограничение на единичный вектор

В контексте функции в евклидовом пространстве некоторые тексты ограничивают вектор v единичным вектором . С учетом этого ограничения оба приведенных выше определения эквивалентны.

Свойства

Многие из знакомых свойств обычной производной справедливы и для производной по направлению. К ним относятся, для любых функций f и g, определенных в окрестности и дифференцируемых в точке p :

1. правило сумм :
   $$\nabla _{\mathbf {v} }(f+g)=\nabla _{\mathbf {v} }f+\nabla _{\mathbf {v} }g.$$
2. Правило постоянного фактора : для любой c константы
   $$\nabla _{\mathbf {v} }(cf)=c\nabla _{\mathbf {v} }f.$$
3. правило произведения (или правило Лейбница ):
   $$\nabla _{\mathbf {v} }(fg)=g\nabla _{\mathbf {v} }f+f\nabla _{\mathbf {v} }g.$$
4. Цепное правило : если g дифференцируемо в точке p , а h дифференцируемо в точке g ( p ), то
   $$\nabla _{\mathbf {v} }(h\circ g)(\mathbf {p} )=h'(g(\mathbf {p} ))\nabla _{\mathbf {v} }g(\mathbf {p} ).$$

В дифференциальной геометрии

См. Также: Касательное пространство § Касательные векторы как производные по направлению.

Пусть M — дифференцируемое многообразие и p точка M. — Предположим, что f — функция, определенная в окрестности точки p и дифференцируемая в точке p . Если v является касательным вектором к M в точке p , то по направлению производная f Внешняя вдоль v , обозначаемая по-разному как df ( v ) (см. производная ), $\nabla _{\mathbf {v} }f(\mathbf {p} )$ (см. Ковариантная производная ), $L_{\mathbf {v} }f(\mathbf {p} )$ (см. производную Ли ), или ${\mathbf {v} }_{\mathbf {p} }(f)$ (см. Касательное пространство § Определение через дифференцирование ), можно определить следующим образом. Пусть γ : [−1, 1] → M — дифференцируемая кривая с γ (0) = p и γ ′(0) = v . Тогда производная по направлению определяется выражением

$$\nabla _{\mathbf {v} }f(\mathbf {p} )=\left.{\frac {d}{d\tau }}f\circ \gamma (\tau )\right|_{\tau =0}.$$

Это определение можно доказать независимо от выбора γ при условии, что γ выбран заданным образом так, что γ (0) = p и γ ′(0) = v .

Производная Лия

векторного Производная Ли поля $W^{\mu }(x)$ вдоль векторного поля $V^{\mu }(x)$ определяется разностью двух производных по направлению (при исчезающем кручении):

$${\mathcal {L}}_{V}W^{\mu }=(V\cdot \nabla )W^{\mu }-(W\cdot \nabla )V^{\mu }.$$

В частности, для скалярного поля $\phi (x)$, производная Ли сводится к стандартной производной по направлению:

$${\mathcal {L}}_{V}\phi =(V\cdot \nabla )\phi .$$

Тензор Римана

Производные по направлению часто используются во вводных выводах тензора кривизны Римана . Рассмотрим изогнутый прямоугольник с бесконечно малым вектором $\delta$ по одному краю и $\delta '$ вдоль другого. Переводим ковектор $S$ вдоль $\delta$ затем $\delta '$ а затем вычесть перевод вдоль $\delta '$ а потом $\delta$. Вместо построения производной по направлению с использованием частных производных мы используем ковариантную производную . Оператор перевода для $\delta$ таким образом

$$1+\sum _{\nu }\delta ^{\nu }D_{\nu }=1+\delta \cdot D,$$

и для $\delta '$,

$$1+\sum _{\mu }\delta '^{\mu }D_{\mu }=1+\delta '\cdot D.$$

Тогда разница между двумя путями

$$(1+\delta '\cdot D)(1+\delta \cdot D)S^{\rho }-(1+\delta \cdot D)(1+\delta '\cdot D)S^{\rho }=\sum _{\mu ,\nu }\delta '^{\mu }\delta ^{\nu }[D_{\mu },D_{\nu }]S_{\rho }.$$

Это можно утверждать что некоммутативность ковариантных производных измеряет кривизну многообразия:

$$[D_{\mu },D_{\nu }]S_{\rho }=\pm \sum _{\sigma }R^{\sigma }{}_{\rho \mu \nu }S_{\sigma },$$

где $R$ — тензор кривизны Римана, знак которого зависит от соглашения о знаках автора.

В теории групп

Переводы

В алгебре Пуанкаре мы можем определить бесконечно малый оператор сдвига P как

$$\mathbf {P} =i\nabla .$$

( i гарантирует, что P является самосопряженным оператором ) Для конечного смещения λ унитарное в гильбертовом пространстве представление для сдвигов равно

$$U({\boldsymbol {\lambda }})=\exp \left(-i{\boldsymbol {\lambda }}\cdot \mathbf {P} \right).$$

Используя приведенное выше определение оператора бесконечно малого перевода, мы видим, что оператор конечного перевода является возведенной в степень производной по направлению:

$$U({\boldsymbol {\lambda }})=\exp \left({\boldsymbol {\lambda }}\cdot \nabla \right).$$

Это оператор перевода в том смысле, что он действует на функции многих переменных f ( x ) как

$$U({\boldsymbol {\lambda }})f(\mathbf {x} )=\exp \left({\boldsymbol {\lambda }}\cdot \nabla \right)f(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} +{\boldsymbol {\lambda }}).$$

Доказательство последнего уравнения

В стандартном исчислении с одной переменной производная гладкой функции f ( x ) определяется (для малого ε )

$${\frac {df}{dx}}={\frac {f(x+\varepsilon )-f(x)}{\varepsilon }}.$$

Это можно переставить, чтобы найти f ( x + ε ):

$$f(x+\varepsilon )=f(x)+\varepsilon \,{\frac {df}{dx}}=\left(1+\varepsilon \,{\frac {d}{dx}}\right)f(x).$$

Отсюда следует, что $[1+\varepsilon \,(d/dx)]$ является оператором перевода. Это мгновенно обобщается к функциям многих переменных f ( x )

$$f(\mathbf {x} +{\boldsymbol {\varepsilon }})=\left(1+{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \nabla \right)f(\mathbf {x} ).$$

Здесь ${\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \nabla$ — производная по направлению вдоль бесконечно малого смещения ε . Мы нашли бесконечно малую версию оператора перевода:

$$U({\boldsymbol {\varepsilon }})=1+{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \nabla .$$

Очевидно, что групповой закон умножения U ( g ) U ( f ) = U ( gf ) принимает вид

$$U(\mathbf {a} )U(\mathbf {b} )=U(\mathbf {a+b} ).$$

Итак, предположим, что мы берем конечное смещение λ и делим его на N частей ( N всюду подразумевается → ∞), так что λ / N = ε . Другими словами,

$${\boldsymbol {\lambda }}=N{\boldsymbol {\varepsilon }}.$$

Тогда, применив U ( ε ) N раз, мы можем построить U ( λ ):

$$[U({\boldsymbol {\varepsilon }})]^{N}=U(N{\boldsymbol {\varepsilon }})=U({\boldsymbol {\lambda }}).$$

Теперь мы можем подставить приведенное выше выражение для U( ε ):

$$[U({\boldsymbol {\varepsilon }})]^{N}=\left[1+{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \nabla \right]^{N}=\left[1+{\frac {{\boldsymbol {\lambda }}\cdot \nabla }{N}}\right]^{N}.$$

Использование личности

$$\exp(x)=\left[1+{\frac {x}{N}}\right]^{N},$$

у нас есть

$$U({\boldsymbol {\lambda }})=\exp \left({\boldsymbol {\lambda }}\cdot \nabla \right).$$

А поскольку U ( ε ) f ( x ) = f ( x + ε ), мы имеем

$$[U({\boldsymbol {\varepsilon }})]^{N}f(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} +N{\boldsymbol {\varepsilon }})=f(\mathbf {x} +{\boldsymbol {\lambda }})=U({\boldsymbol {\lambda }})f(\mathbf {x} )=\exp \left({\boldsymbol {\lambda }}\cdot \nabla \right)f(\mathbf {x} ),$$

КЭД

Техническое примечание: эта процедура возможна только потому, что группа трансляции образует абелеву подгруппу ( подалгебру Картана ) в алгебре Пуанкаре. групповой закон умножения U ( a ) U ( b ) = U ( a + b В частности, не следует принимать на веру ). Заметим также, что Пуанкаре — связная группа Ли . Это группа преобразований T ( ξ ), которые описываются непрерывным набором действительных параметров. $\xi ^{a}$. Закон группового умножения принимает вид

$$T({\bar {\xi }})T(\xi )=T(f({\bar {\xi }},\xi )).$$

принимая $\xi ^{a}=0$ в качестве координат тождества мы должны иметь

$$f^{a}(\xi ,0)=f^{a}(0,\xi )=\xi ^{a}.$$

Реальные операторы в гильбертовом пространстве представляются унитарными операторами U ( T ( ξ )). В приведенных выше обозначениях мы подавили T ; теперь мы пишем U ( λ ) как U ( P ( λ )). Для небольшой окрестности единицы степенного ряда представление

$$U(T(\xi ))=1+i\sum _{a}\xi ^{a}t_{a}+{\frac {1}{2}}\sum _{b,c}\xi ^{b}\xi ^{c}t_{bc}+\cdots$$

это довольно хорошо. Предположим, что U(T(ξ)) образует непроективное представление, т. е.

$$U(T({\bar {\xi }}))U(T(\xi ))=U(T(f({\bar {\xi }},\xi ))).$$

Разложение f во вторую степень есть

$$f^{a}({\bar {\xi }},\xi )=\xi ^{a}+{\bar {\xi }}^{a}+\sum _{b,c}f^{abc}{\bar {\xi }}^{b}\xi ^{c}.$$

После расширения уравнения умножения представления и приравнивания коэффициентов имеем нетривиальное условие

$$t_{bc}=-t_{b}t_{c}-i\sum _{a}f^{abc}t_{a}.$$

С $t_{ab}$ по определению симметричен по своим индексам, мы имеем стандартный коммутатор алгебры Ли :

$$[t_{b},t_{c}]=i\sum _{a}(-f^{abc}+f^{acb})t_{a}=i\sum _{a}C^{abc}t_{a},$$

где C — структурная константа . Генераторы переводов представляют собой операторы частных производных, которые коммутируют:

$$\left[{\frac {\partial }{\partial x^{b}}},{\frac {\partial }{\partial x^{c}}}\right]=0.$$

Это означает, что структурные константы обращаются в нуль и, следовательно, исчезают и квадратичные коэффициенты в разложении f. Это означает, что f просто аддитивна:

$$f_{\text{abelian}}^{a}({\bar {\xi }},\xi )=\xi ^{a}+{\bar {\xi }}^{a},$$

и, следовательно, для абелевых групп

$$U(T({\bar {\xi }}))U(T(\xi ))=U(T({\bar {\xi }}+\xi )).$$

КЭД

Ротации

Оператор вращения также содержит производную по направлению. Оператор поворота на угол θ , т.е. на величину θ = | θ | вокруг оси, параллельной ${\hat {\theta }}={\boldsymbol {\theta }}/\theta$ является

$$U(R(\mathbf {\theta } ))=\exp(-i\mathbf {\theta } \cdot \mathbf {L} ).$$

Здесь L — векторный оператор, который генерирует SO(3) :

$$\mathbf {L} ={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{pmatrix}}\mathbf {i} +{\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}}\mathbf {j} +{\begin{pmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\mathbf {k} .$$

Можно показать геометрически, что бесконечно малое вращение вправо меняет вектор положения x на

$$\mathbf {x} \rightarrow \mathbf {x} -\delta {\boldsymbol {\theta }}\times \mathbf {x} .$$

Итак, мы ожидаем при бесконечно малом вращении:

$$U(R(\delta {\boldsymbol {\theta }}))f(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} -\delta {\boldsymbol {\theta }}\times \mathbf {x} )=f(\mathbf {x} )-(\delta {\boldsymbol {\theta }}\times \mathbf {x} )\cdot \nabla f.$$

Отсюда следует, что

$$U(R(\delta \mathbf {\theta } ))=1-(\delta \mathbf {\theta } \times \mathbf {x} )\cdot \nabla .$$

Следуя той же процедуре возведения в степень, что и выше, мы приходим к оператору вращения в базисе позиции, который представляет собой возведенную в степень производную по направлению:

$$U(R(\mathbf {\theta } ))=\exp(-(\mathbf {\theta } \times \mathbf {x} )\cdot \nabla ).$$

Нормальная производная

Нормальная производная — это производная по направлению, взятая в направлении, нормальном (то есть ортогональном ) к некоторой поверхности в пространстве или, в более общем смысле, вдоль нормального векторного поля, ортогонального некоторой гиперповерхности . См., например, граничное условие Неймана . Если нормальное направление обозначить $\mathbf {n}$, то нормальную производную функции f иногда обозначают как ${\textstyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {n} }}}$. В других обозначениях

$${\frac {\partial f}{\partial \mathbf {n} }}=\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {n} =\nabla _{\mathbf {n} }{f}(\mathbf {x} )={\frac {\partial f}{\partial \mathbf {x} }}\cdot \mathbf {n} =Df(\mathbf {x} )[\mathbf {n} ].$$

В механике сплошных сред твердого тела

Некоторые важные результаты в механике сплошной среды требуют производных векторов по векторам и тензоров по векторам и тензорам. Направленная директива обеспечивает систематический способ поиска этих производных.

Этот раздел представляет собой отрывок из книги «Тензорная производная (механика сплошных сред) § Производные по векторам и тензорам второго порядка» . [ редактировать ]

Ниже приведены определения производных по направлению для различных ситуаций. Предполагается, что функции достаточно гладкие, чтобы можно было брать производные.

Производные скалярнозначных функций векторов

Пусть f (v) — вещественная функция вектора v. Тогда производная f (v) по v (или в точке v) — это вектор, определенный через скалярное произведение , где любой вектор u равен

$${\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =Df(\mathbf {v} )[\mathbf {u} ]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~f(\mathbf {v} +\alpha ~\mathbf {u} )\right]_{\alpha =0}$$

для всех векторов u. Приведенное выше скалярное произведение дает скаляр, а если u — единичный вектор, дает производную от f по направлению в точке v в направлении u.

Характеристики:

1. Если $f(\mathbf {v} )=f_{1}(\mathbf {v} )+f_{2}(\mathbf {v} )$ затем ${\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial \mathbf {v} }}+{\frac {\partial f_{2}}{\partial \mathbf {v} }}\right)\cdot \mathbf {u}$
2. Если $f(\mathbf {v} )=f_{1}(\mathbf {v} )~f_{2}(\mathbf {v} )$ затем ${\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right)~f_{2}(\mathbf {v} )+f_{1}(\mathbf {v} )~\left({\frac {\partial f_{2}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right)$
3. Если $f(\mathbf {v} )=f_{1}(f_{2}(\mathbf {v} ))$ затем ${\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} ={\frac {\partial f_{1}}{\partial f_{2}}}~{\frac {\partial f_{2}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u}$

Производные векторных функций векторов

Пусть f(v) — векторная функция вектора v. Тогда производная f(v) по v (или в точке v) — это тензор второго порядка, определенный через его скалярное произведение, причем любой вектор u равен

$${\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =D\mathbf {f} (\mathbf {v} )[\mathbf {u} ]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~\mathbf {f} (\mathbf {v} +\alpha ~\mathbf {u} )\right]_{\alpha =0}$$

для всех векторов u. Вышеупомянутое скалярное произведение дает вектор, а если u является единичным вектором, дает производную направления f в точке v в направлении u.

Характеристики:

1. Если $\mathbf {f} (\mathbf {v} )=\mathbf {f} _{1}(\mathbf {v} )+\mathbf {f} _{2}(\mathbf {v} )$ затем ${\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =\left({\frac {\partial \mathbf {f} _{1}}{\partial \mathbf {v} }}+{\frac {\partial \mathbf {f} _{2}}{\partial \mathbf {v} }}\right)\cdot \mathbf {u}$
2. Если $\mathbf {f} (\mathbf {v} )=\mathbf {f} _{1}(\mathbf {v} )\times \mathbf {f} _{2}(\mathbf {v} )$ затем ${\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =\left({\frac {\partial \mathbf {f} _{1}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right)\times \mathbf {f} _{2}(\mathbf {v} )+\mathbf {f} _{1}(\mathbf {v} )\times \left({\frac {\partial \mathbf {f} _{2}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right)$
3. Если $\mathbf {f} (\mathbf {v} )=\mathbf {f} _{1}(\mathbf {f} _{2}(\mathbf {v} ))$ затем ${\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} ={\frac {\partial \mathbf {f} _{1}}{\partial \mathbf {f} _{2}}}\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {f} _{2}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right)$

скалярнозначных функций тензоров

Позволять $f({\boldsymbol {S}})$ быть вещественной функцией тензора второго порядка ${\boldsymbol {S}}$. Тогда производная от $f({\boldsymbol {S}})$ относительно ${\boldsymbol {S}}$ (или в ${\boldsymbol {S}}$) в направлении ${\boldsymbol {T}}$ – тензор второго порядка, определяемый как

$${\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=Df({\boldsymbol {S}})[{\boldsymbol {T}}]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~f({\boldsymbol {S}}+\alpha ~{\boldsymbol {T}})\right]_{\alpha =0}$$

для всех тензоров второго порядка ${\boldsymbol {T}}$.

Характеристики:

1. Если $f({\boldsymbol {S}})=f_{1}({\boldsymbol {S}})+f_{2}({\boldsymbol {S}})$ затем ${\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}+{\frac {\partial f_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}\right):{\boldsymbol {T}}$
2. Если $f({\boldsymbol {S}})=f_{1}({\boldsymbol {S}})~f_{2}({\boldsymbol {S}})$ затем ${\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)~f_{2}({\boldsymbol {S}})+f_{1}({\boldsymbol {S}})~\left({\frac {\partial f_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)$
3. Если $f({\boldsymbol {S}})=f_{1}(f_{2}({\boldsymbol {S}}))$ затем ${\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}={\frac {\partial f_{1}}{\partial f_{2}}}~\left({\frac {\partial f_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)$

тензорнозначных функций тензоров

Позволять ${\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})$ быть тензорной функцией второго порядка тензора второго порядка ${\boldsymbol {S}}$. Тогда производная от ${\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})$ относительно ${\boldsymbol {S}}$ (или в ${\boldsymbol {S}}$) в направлении ${\boldsymbol {T}}$ – тензор четвертого порядка, определяемый как

$${\frac {\partial {\boldsymbol {F}}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=D{\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})[{\boldsymbol {T}}]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~{\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}}+\alpha ~{\boldsymbol {T}})\right]_{\alpha =0}$$

для всех тензоров второго порядка ${\boldsymbol {T}}$.

Характеристики:

1. Если ${\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})={\boldsymbol {F}}_{1}({\boldsymbol {S}})+{\boldsymbol {F}}_{2}({\boldsymbol {S}})$ затем ${\frac {\partial {\boldsymbol {F}}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=\left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{1}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}+{\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}\right):{\boldsymbol {T}}$
2. Если ${\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})={\boldsymbol {F}}_{1}({\boldsymbol {S}})\cdot {\boldsymbol {F}}_{2}({\boldsymbol {S}})$ затем ${\frac {\partial {\boldsymbol {F}}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=\left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{1}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)\cdot {\boldsymbol {F}}_{2}({\boldsymbol {S}})+{\boldsymbol {F}}_{1}({\boldsymbol {S}})\cdot \left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)$
3. Если ${\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})={\boldsymbol {F}}_{1}({\boldsymbol {F}}_{2}({\boldsymbol {S}}))$ затем ${\frac {\partial {\boldsymbol {F}}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}={\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{1}}{\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}}:\left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)$
4. Если $f({\boldsymbol {S}})=f_{1}({\boldsymbol {F}}_{2}({\boldsymbol {S}}))$ затем ${\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}={\frac {\partial f_{1}}{\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}}:\left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)$

См. также

• Del в цилиндрических и сферических координатах — математический оператор градиента в некоторых системах координат.
• Дифференциальная форма - выражение, которое можно интегрировать по региону.
• Связь Эресмана - конструкция дифференциальной геометрии на расслоениях
• Производная Фреше - производная, определенная в нормированных пространствах.
• Производная Гато - обобщение концепции производной по направлению.
• Обобщения производной - Фундаментальная конструкция дифференциального исчисления
• Полудифференцируемость
• Производная Адамара
• Производная Лия - производная в дифференциальной геометрии.
• Производная материала - скорость изменения некоторой физической величины материального элемента в поле скорости.
• Тензор структуры - Тензор, связанный с градиентами.
• Тензорная производная (механика сплошных сред)
• Полная производная - Тип производной в математике.

Ссылки

• Хильдебранд, ФБ (1976). Расширенное исчисление для приложений . Прентис Холл. ISBN  0-13-011189-9 .
• К. Ф. Райли; член парламента Хобсон; С. Дж. Бенс (2010). Математические методы в физике и технике . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-86153-3 .
• Шапиро, А. (1990). «О понятиях направленной дифференцируемости». Журнал теории оптимизации и приложений . 66 (3): 477–487. дои : 10.1007/BF00940933 . S2CID   120253580 .

Внешние ссылки

СМИ, связанные с производной по направлению, на Викискладе?

• Производные по направлению в MathWorld .
• Производная по направлению в PlanetMath .