Линейный интеграл

В математике линейный интеграл — это интеграл , в котором функция интегрируемая вычисляется вдоль кривой . ^[1] термины «интеграл по траектории» , «интеграл по кривой » и «криволинейный интеграл» Также используются ; Контурный интеграл также используется, хотя обычно он используется для линейных интегралов на комплексной плоскости .

Интегрируемая функция может быть скалярным полем или векторным полем . Значение линейного интеграла представляет собой сумму значений поля во всех точках кривой, взвешенную некоторой скалярной функцией на кривой (обычно длиной дуги или, для векторного поля, скалярным произведением векторного поля с дифференциалом вектор на кривой). Это взвешивание отличает линейный интеграл от более простых интегралов, определенных на интервалах . Многие простые формулы в физике, такие как определение работы как $W=\mathbf {F} \cdot \mathbf {s}$ , имеют естественные непрерывные аналоги в терминах линейных интегралов, в данном случае ${\textstyle W=\int _{L}\mathbf {F} (\mathbf {s} )\cdot d\mathbf {s} }$ , который вычисляет работу , совершенную объектом, движущимся через электрическое или гравитационное поле $F$ по пути $L$ .

Векторное исчисление [ править ]

Качественно, линейный интеграл в векторном исчислении можно рассматривать как меру общего воздействия данного тензорного поля на данную кривую. Например, линейный интеграл по скалярному полю (тензор ранга 0) можно интерпретировать как площадь под полем, вырезанную определенной кривой. Это можно визуализировать как поверхность, созданную $z = f (x, y)$ и кривой C в плоскости xy . Линейный интеграл от f точки поверхности, находящиеся непосредственно над C. будет площадью созданного «занавеса», когда вырезаются

Линейный интеграл скалярного поля [ править ]

Линейный интеграл по скалярному полю f можно рассматривать как площадь под кривой C вдоль поверхности $z = f (x, y)$ , описываемой полем.

Определение [ править ]

Для некоторого скалярного поля $f\colon U\to \mathbb {R}$ где $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ , линейный интеграл по кусочно-гладкой кривой ${\mathcal {C}}\subset U$ определяется как

\int _{\mathcal {C}}f(\mathbf {r} )\,ds=\int _{a}^{b}f\left(\mathbf {r} (t)\right)\left|\mathbf {r} '(t)\right|\,dt,

где

\mathbf {r} \colon [a,b]\to {\mathcal {C}}

— произвольная биективная параметризация кривой

{\mathcal {C}}

такие, что

r (a)

и

r (b)

дают конечные точки

{\mathcal {C}}

и

а < б

. Здесь и далее в статье столбцы абсолютных значений обозначают стандартную (евклидову) норму вектора.

Функция $f$ называется подынтегральной функцией, кривая ${\mathcal {C}}$ — область интегрирования, а символ $ds$ можно интуитивно интерпретировать как длину элементарной дуги кривой ${\mathcal {C}}$ (т.е. дифференциальная длина ${\mathcal {C}}$ ). Линейные интегралы скалярных полей по кривой ${\mathcal {C}}$ не зависят от выбранной $r$ параметризации ${\mathcal {C}}$ . ^[2]

Геометрически, когда скалярное поле $f$ определено на плоскости $(n = 2)$ , его график представляет собой поверхность $z = f (x, y)$ в пространстве, а линейный интеграл дает (со знаком) площадь поперечного сечения , ограниченную изгиб ${\mathcal {C}}$ и график $f$ . Смотрите анимацию справа.

Вывод [ править ]

Для линейного интеграла по скалярному полю интеграл можно построить из суммы Римана, приведенные выше определения $f$ , $C$ и параметризацию $r$ C $используя$ . Это можно сделать, разбив интервал $[a, b]$ на $n$ подинтервалов $[t i -1, t i]$ длины $Δ t = (b - a)/ n$ , тогда $r (t i)$ обозначает некоторую точку, кривой $C.$ назовем это точкой выборки на Мы можем использовать набор точек выборки ${r (t i): 1 \leq i \leq n}$ для аппроксимации кривой $C$ как многоугольного пути , вводя участок прямой линии между каждой из точек выборки $r (t i -1)$ и $р (т я)$ . (Приближение кривой к многоугольному пути называется выпрямлением кривой, более подробную информацию см. здесь .) Затем мы обозначаем расстояние отрезка линии между соседними точками выборки на кривой как $Δ s i$ . Произведение $f (r (t i))$ и $Δ s i$ можно сопоставить со знаковой областью прямоугольника с высотой и шириной $f (r (t i))$ и $Δ s i$ соответственно. Взяв предел суммы членов , когда длина разделов приближается к нулю, мы получаем

I=\lim _{\Delta s_{i}\to 0}\sum _{i=1}^{n}f(\mathbf {r} (t_{i}))\,\Delta s_{i}.

По теореме о среднем расстоянии расстояние между последующими точками кривой равно

\Delta s_{i}=\left|\mathbf {r} (t_{i}+\Delta t)-\mathbf {r} (t_{i})\right|\approx \left|\mathbf {r} '(t_{i})\Delta t\right|

Подстановка этого в приведенную выше сумму Римана дает

I=\lim _{\Delta t\to 0}\sum _{i=1}^{n}f(\mathbf {r} (t_{i}))\left|\mathbf {r} '(t_{i})\right|\Delta t

что является суммой Римана для интеграла

I=\int _{a}^{b}f(\mathbf {r} (t))\left|\mathbf {r} '(t)\right|dt.

Линейный интеграл векторного поля [ править ]

Определение [ править ]

Для векторного поля $F : U \subseteq R н \to Р н$ линейный интеграл по кусочно-гладкой кривой $C \subset U$ в направлении r определяется как

\int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt

где

\cdot

— скалярное произведение , а

r : [a, b] \to C

— регулярная параметризация (т. е.:

||\mathbf {r} '(t)||\neq 0\;\;\forall t\in [a,b]

) кривой C такая, что

(a) и

r

(b) дают

концы C. r

Таким образом, линейный интеграл скалярного поля представляет собой линейный интеграл векторного поля, где векторы всегда касаются линии интегрирования.

Линейные интегралы векторных полей не зависят от параметризации r по абсолютной величине , но зависят от ее ориентации . В частности, изменение ориентации параметризации меняет знак линейного интеграла. ^[2]

С точки зрения дифференциальной геометрии линейный интеграл векторного поля вдоль кривой является интегралом соответствующей 1-формы при музыкальном изоморфизме (который переводит векторное поле в соответствующее ковекторное поле) по кривой, рассматриваемой как погруженное 1-многообразие.

Вывод [ править ]

Траектория частицы (красным цветом) по кривой внутри векторного поля. Начиная с a , частица следует по пути C вдоль векторного F. поля Скалярное произведение (зеленая линия) его касательного вектора (красная стрелка) и вектора поля (синяя стрелка) определяет площадь под кривой, что эквивалентно интегралу линии пути. (Нажмите на изображение для подробного описания.)

Линейный интеграл векторного поля можно получить способом, очень похожим на случай скалярного поля, но на этот раз с включением скалярного произведения. Снова используя приведенные выше определения $F$ , $C$ и их параметризацию $r (t)$ , мы строим интеграл из суммы Римана . Мы разделяем интервал $[a, b]$ (который является диапазоном значений параметра t $)$ на $n$ интервалов длины $Δ t = (b - a)/ n$ . Если $t i$ будет $i-$ й точкой на $[a, b]$ , то $r (ti) даст нам$ положение $i-$ й точки на кривой. Однако вместо вычисления расстояний между последующими точками нам нужно вычислить их смещения векторы $Δ r i$ . Как и раньше, оценка $F$ во всех точках кривой и скалярное произведение для каждого вектора смещения дает нам бесконечно малый вклад каждого разделения $F$ на $C$ . Уменьшив размер разделов до нуля, мы получим сумму

I=\lim _{\Delta t\to 0}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t_{i}))\cdot \Delta \mathbf {r} _{i}

По теореме о среднем значении мы видим, что вектор смещения между соседними точками кривой равен

\Delta \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} (t_{i}+\Delta t)-\mathbf {r} (t_{i})\approx \mathbf {r} '(t_{i})\,\Delta t.

Подстановка этого в приведенную выше сумму Римана дает

I=\lim _{\Delta t\to 0}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t_{i}))\cdot \mathbf {r} '(t_{i})\,\Delta t,

что является суммой Римана для определенного выше интеграла.

Независимость от пути [ править ]

Если векторное поле $F$ является градиентом скалярного поля $G$ (т.е. если $)$ , F консервативно то есть

\mathbf {F} =\nabla G,

тогда по цепочки производная равна композиции G r

переменных

и

t (многих)

правилу

{\frac {dG(\mathbf {r} (t))}{dt}}=\nabla G(\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)=\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)

который оказывается подынтегральным выражением для линейного интеграла от

F

на

r (t)

. Отсюда следует, что, учитывая путь C , что

\int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt=\int _{a}^{b}{\frac {dG(\mathbf {r} (t))}{dt}}\,dt=G(\mathbf {r} (b))-G(\mathbf {r} (a)).

Другими словами, интеграл от $F$ по C зависит исключительно от значений $G$ в точках $r (b)$ и $r (a)$ и, таким образом, не зависит от пути между ними. По этой причине линейный интеграл консервативного векторного поля называется независимым от пути .

Приложения [ править ]

Линейный интеграл имеет множество применений в физике. Например, работа , совершаемая частицей, движущейся по кривой C внутри силового поля, представленного как векторное поле $F$ представляет собой линейный интеграл от $F$ на C. , ^[3]

Поток через кривую [ править ]

Для векторного поля $\mathbf {F} \colon U\subseteq \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ , $F (x, y) = (P (x, y), Q (x, y))$ линейный интеграл по кривой C ⊂ U , также называемый интегралом потока , определяется в терминах кусочно гладкой параметризации $r : [а, б] \to C$ , $р (т) знак равно (Икс (т), y (т))$ , как:

\int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} ^{\perp }=\int _{a}^{b}{\begin{bmatrix}P{\big (}x(t),y(t){\big )}\\Q{\big (}x(t),y(t){\big )}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}y'(t)\\-x'(t)\end{bmatrix}}~dt=\int _{a}^{b}\left(-Q~dx+P~dy\right).

Здесь $\cdot$ — скалярное произведение, а $\mathbf {r} '(t)^{\perp }=(y'(t),-x'(t))$ - перпендикуляр к вектору скорости по часовой стрелке $\mathbf {r} '(t)=(x'(t),y'(t))$ .

Поток вычисляется в ориентированном смысле: кривая $C$ имеет заданное прямое направление от $r (a)$ до $r (b)$ , и поток считается положительным, когда $F (r (t))$ находится на стороне по часовой стрелке от вектор скорости движения вперед $r' (t)$ .

Комплексный интеграл [ править ]

В комплексном анализе линейный интеграл определяется как умножение и сложение комплексных чисел. Предположим, что U — открытое подмножество комплексной плоскости C , $f : U \to C$ — функция и $L\subset U$ — это кривая конечной длины, параметризованная $γ : [a, b] \to L$ , где $γ (t) = x (t) + iy (t)$ . Линейный интеграл

\int _{L}f(z)\,dz

может быть определен путем разделения интервала [ a , b ] на a = t ₀ < t ₁ < ... < t _n = b и рассмотрения выражения

\sum _{k=1}^{n}f(\gamma (t_{k}))\,[\gamma (t_{k})-\gamma (t_{k-1})]=\sum _{k=1}^{n}f(\gamma _{k})\,\Delta \gamma _{k}.

Тогда интеграл является пределом этой суммы Римана, когда длины интервалов деления приближаются к нулю.

Если параметризация $γ$ , непрерывно дифференцируема линейный интеграл можно оценить как интеграл от функции действительной переменной:

\int _{L}f(z)\,dz=\int _{a}^{b}f(\gamma (t))\gamma '(t)\,dt.

Когда $L$ — замкнутая кривая (начальная и конечная точки совпадают), линейный интеграл часто обозначают ${\textstyle \oint _{L}f(z)\,dz,}$ иногда называемый в технике циклическим интегралом .

Линейный интеграл по сопряженному комплексному дифференциалу ${\overline {dz}}$ определено ^[4] быть

\int _{L}f(z){\overline {dz}}:={\overline {\int _{L}{\overline {f(z)}}\,dz}}=\int _{a}^{b}f(\gamma (t)){\overline {\gamma '(t)}}\,dt.

Линейные интегралы от комплексных функций можно оценить с помощью ряда методов. Самый прямой — разделить на действительную и мнимую части, сводя задачу к вычислению двух линейных интегралов с действительным знаком. Теорему Коши об интеграле можно использовать для приравнивания линейного интеграла аналитической функции к тому же интегралу по более удобной кривой. Это также означает, что по замкнутой кривой, охватывающей область, где $f (z)$ является аналитической без особенностей , значение интеграла просто равно нулю, или, если область включает особенности, теорема о вычетах вычисляет интеграл в терминах особенностей. Это также подразумевает независимость от пути комплексного линейного интеграла для аналитических функций.

Пример [ править ]

Рассмотрим функцию $f (z) = 1/ z$ , и пусть контур L представляет собой единичный круг против часовой стрелки около 0, параметризованный $z (t) = e это$ с $t$ в $[0, 2 π]$ с использованием комплексной экспоненты . Подставив, находим:

{\begin{aligned}\oint _{L}{\frac {1}{z}}\,dz&=\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{e^{it}}}ie^{it}\,dt=i\int _{0}^{2\pi }e^{-it}e^{it}\,dt\\&=i\int _{0}^{2\pi }dt=i(2\pi -0)=2\pi i.\end{aligned}}

Это типичный результат интегральной формулы Коши и теоремы о вычетах .

Связь комплексного линейного интеграла и линейного поля интеграла векторного

Рассматривая комплексные числа как двумерные векторы , линейный интеграл комплексной функции $f(z)$ имеет действительную и комплексную части, равные линейному интегралу и интегралу потока векторного поля, соответствующего сопряженной функции ${\overline {f(z)}}.$ В частности, если $\mathbf {r} (t)=(x(t),y(t))$ параметризует L и $f(z)=u(z)+iv(z)$ соответствует векторному полю $\mathbf {F} (x,y)={\overline {f(x+iy)}}=(u(x+iy),-v(x+iy)),$ затем:

{\begin{aligned}\int _{L}f(z)\,dz&=\int _{L}(u+iv)(dx+i\,dy)\\&=\int _{L}(u,-v)\cdot (dx,dy)+i\int _{L}(u,-v)\cdot (dy,-dx)\\&=\int _{L}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} +i\int _{L}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} ^{\perp }.\end{aligned}}

По теореме Коши левый интеграл равен нулю, если $f(z)$ является аналитическим (удовлетворяющим уравнениям Коши–Римана ) для любой гладкой замкнутой кривой L. Соответственно, по теореме Грина правые интегралы равны нулю, когда $\mathbf {F} ={\overline {f(z)}}$ является безвихревым ( без ротора ) и несжимаемым ( без дивергенций ). Фактически, уравнения Коши-Римана для $f(z)$ идентичны исчезновению ротора и дивергенции для $F$ .

По теореме Грина площадь области, ограниченной гладкой замкнутой положительно ориентированной кривой $L$ определяется интегралом ${\textstyle {\frac {1}{2i}}\int _{L}{\overline {z}}\,dz.}$ Этот факт используется, например, при доказательстве теоремы о площади .

Квантовая механика [ править ]

Формулировка интеграла по путям в квантовой механике на самом деле относится не к интегралам по путям в этом смысле, а к функциональным интегралам , то есть интегралам по пространству путей, от функции возможного пути. Однако интегралы по путям в смысле этой статьи важны в квантовой механике; например, сложное контурное интегрирование часто используется при оценке амплитуд вероятности в квантовой теории рассеяния .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Квонг-Тин Тан (30 ноября 2006 г.). Математические методы для инженеров и ученых 2: Векторный анализ, обыкновенные дифференциальные уравнения и преобразования Лапласа . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-30268-1 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Никамп, Дуэйн. «Линейные интегралы не зависят от параметризации» . Математическое понимание . Проверено 18 сентября 2020 г.
^ «16.2 Линейные интегралы» . www.whitman.edu . Проверено 18 сентября 2020 г.
^ Альфорс, Ларс (1966). Комплексный анализ (2-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. п. 103.

Внешние ссылки [ править ]

[Tang2006-1] Квонг-Тин Тан (30 ноября 2006 г.). Математические методы для инженеров и ученых 2: Векторный анализ, обыкновенные дифференциальные уравнения и преобразования Лапласа . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-30268-1 .

[:1-2] Перейти обратно: ^а ^б Никамп, Дуэйн. «Линейные интегралы не зависят от параметризации» . Математическое понимание . Проверено 18 сентября 2020 г.

[3] «16.2 Линейные интегралы» . www.whitman.edu . Проверено 18 сентября 2020 г.

[4] Альфорс, Ларс (1966). Комплексный анализ (2-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. п. 103.

[1]

[2]

[3]

[4]

v т Это Исчисление
Precalculus	Binomial theorem Concave function Continuous function Factorial Finite difference Free variables and bound variables Graph of a function Linear function Radian Rolle's theorem Secant Slope Tangent
Limits	Indeterminate form Limit of a function One-sided limit Limit of a sequence Order of approximation (ε, δ)-definition of limit
Differential calculus	Derivative Second derivative Partial derivative Differential Differential operator Mean value theorem Notation Leibniz's notation Newton's notation Rules of differentiation linearity Power Sum Chain L'Hôpital's Product General Leibniz's rule Quotient Other techniques Implicit differentiation Inverse functions and differentiation Logarithmic derivative Related rates Stationary points First derivative test Second derivative test Extreme value theorem Maximum and minimum Further applications Newton's method Taylor's theorem Differential equation Ordinary differential equation Partial differential equation Stochastic differential equation
Integral calculus	Antiderivative Arc length Riemann integral Basic properties Constant of integration Fundamental theorem of calculus Differentiating under the integral sign Integration by parts Integration by substitution trigonometric Euler Tangent half-angle substitution Partial fractions in integration Quadratic integral Trapezoidal rule Volumes Washer method Shell method Integral equation Integro-differential equation
Vector calculus	Derivatives Curl Directional derivative Divergence Gradient Laplacian Basic theorems Line integrals Green's Stokes' Gauss'
Multivariable calculus	Divergence theorem Geometric Hessian matrix Jacobian matrix and determinant Lagrange multiplier Line integral Matrix Multiple integral Partial derivative Surface integral Volume integral Advanced topics Differential forms Exterior derivative Generalized Stokes' theorem Tensor calculus
Sequences and series	Arithmetico-geometric sequence Types of series Alternating Binomial Fourier Geometric Harmonic Infinite Power Maclaurin Taylor Telescoping Tests of convergence Abel's Alternating series Cauchy condensation Direct comparison Dirichlet's Integral Limit comparison Ratio Root Term
Special functions and numbers	Bernoulli numbers e (mathematical constant) Exponential function Natural logarithm Stirling's approximation
History of calculus	Adequality Brook Taylor Colin Maclaurin Generality of algebra Gottfried Wilhelm Leibniz Infinitesimal Infinitesimal calculus Isaac Newton Fluxion Law of Continuity Leonhard Euler Method of Fluxions The Method of Mechanical Theorems
Lists	Differentiation rules List of integrals of exponential functions List of integrals of hyperbolic functions List of integrals of inverse hyperbolic functions List of integrals of inverse trigonometric functions List of integrals of irrational functions List of integrals of logarithmic functions List of integrals of rational functions List of integrals of trigonometric functions Secant Secant cubed List of limits Lists of integrals
Miscellaneous topics	Complex calculus Contour integral Differential geometry Manifold Curvature of curves of surfaces Tensor Euler–Maclaurin formula Gabriel's horn Integration Bee Proof that 22/7 exceeds π Regiomontanus' angle maximization problem Steinmetz solid