Линейная форма

В математике линейная форма (также известная как линейный функционал , ^[1] одноформа , или ковектор ) — линейное отображение ^{[номер 1]} из векторного пространства в его поле скаляров ( часто действительных или комплексных чисел ).

Если $V$ — векторное пространство над полем $k$ , набор всех линейных функционалов от $V$ до $k$ сам по себе является векторным пространством над $k$ со сложением и скалярным умножением, определенными поточечно . Это пространство называется пространством двойственным к $V$ или иногда алгебраическим двойственным пространством , если топологическое двойственное пространство также рассматривается . Его часто обозначают $Hom(V, k)$ , ^[2] или, когда поле $k$ понятно, $V^{*}$ ; ^[3] используются и другие обозначения, например $V'$ , ^[4]^[5] $V^{\#}$ или $V^{\vee }.$ ^[2] Когда векторы представлены векторами-столбцами (как это обычно бывает, когда базис фиксирован), тогда линейные функционалы представлены как векторы-строки , а их значения на определенных векторах задаются матричными произведениями (с вектором-строкой слева).

Примеры [ править ]

Функция постоянного нуля , отображающая каждый вектор в ноль, тривиально является линейным функционалом. Любой другой линейный функционал (например, приведенный ниже) сюръективен ( то есть его диапазон - весь $k$ ).

Индексирование в вектор: второй элемент трехвектора задается одной формой $[0,1,0].$ То есть второй элемент $[x,y,z]$ является $[0,1,0]\cdot [x,y,z]=y.$
Среднее : средний элемент $n$ -вектор задается одной формой $\left[1/n,1/n,\ldots ,1/n\right].$ То есть, $\operatorname {mean} (v)=\left[1/n,1/n,\ldots ,1/n\right]\cdot v.$
Выборка : выборку с ядром можно считать одной формой, где одна форма — это ядро, перемещенное в соответствующее место.
Чистая приведенная стоимость чистого денежного потока , $R(t),$ задаётся одной формой $w(t)=(1+i)^{-t}$ где $i$ это ставка дисконтирования . То есть, $\mathrm {NPV} (R(t))=\langle w,R\rangle =\int _{t=0}^{\infty }{\frac {R(t)}{(1+i)^{t}}}\,dt.$

Линейные функционалы в R ^н[ редактировать ]

Предположим, что векторы в реальном координатном пространстве $\mathbb {R} ^{n}$ представлены в виде векторов-столбцов

\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}.

Для каждого вектора-строки $\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}}$ существует линейный функционал $f_{\mathbf {a} }$ определяется

f_{\mathbf {a} }(\mathbf {x} )=a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n},

и каждый линейный функционал может быть выражен в этой форме.

Это можно интерпретировать либо как матричное произведение, либо как скалярное произведение вектора-строки. $\mathbf {a}$ и вектор-столбец $\mathbf {x}$ :

f_{\mathbf {a} }(\mathbf {x} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}.

След квадратной матрицы [ править ]

След $\operatorname {tr} (A)$ квадратной матрицы $A$ представляет собой сумму всех элементов на его главной диагонали . Матрицы можно умножать на скаляры, а две матрицы одного размера можно складывать вместе; эти операции создают векторное пространство из множества всех $n\times n$ матрицы. След является линейным функционалом в этом пространстве, поскольку $\operatorname {tr} (sA)=s\operatorname {tr} (A)$ и $\operatorname {tr} (A+B)=\operatorname {tr} (A)+\operatorname {tr} (B)$ для всех скаляров $s$ и все $n\times n$ матрицы $A{\text{ and }}B.$

(Определенная) Интеграция [ править ]

Линейные функционалы впервые появились в функциональном анализе , исследовании векторных пространств функций . Типичным примером линейного функционала является интегрирование : линейное преобразование, определяемое интегралом Римана.

I(f)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx

— линейный функционал из векторного пространства

C[a,b]

непрерывных функций на интервале

[a,b]

к реальным цифрам. Линейность

I

следует из стандартных фактов об интеграле:

{\begin{aligned}I(f+g)&=\int _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{a}^{b}g(x)\,dx=I(f)+I(g)\\I(\alpha f)&=\int _{a}^{b}\alpha f(x)\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\alpha I(f).\end{aligned}}

Оценка [ править ]

Позволять $P_{n}$ обозначаем векторное пространство вещественных полиномиальных функций степени $\leq n$ определяется на интервале $[a,b].$ Если $c\in [a,b],$ тогда пусть $\operatorname {ev} _{c}:P_{n}\to \mathbb {R}$ быть функционалом оценки

\operatorname {ev} _{c}f=f(c).

Отображение

f\mapsto f(c)

является линейным, поскольку

{\begin{aligned}(f+g)(c)&=f(c)+g(c)\\(\alpha f)(c)&=\alpha f(c).\end{aligned}}

Если $x_{0},\ldots ,x_{n}$ являются $n+1$ отдельные точки в $[a,b],$ тогда оценочные функционалы $\operatorname {ev} _{x_{i}},$ $i=0,\ldots ,n$ составляют основу дуального пространства $P_{n}$ ( Лакс (1996) доказывает этот последний факт, используя интерполяцию Лагранжа ).

Непример [ править ]

Функция $f$ имея уравнение прямой $f(x)=a+rx$ с $a\neq 0$ (например, $f(x)=1+2x$ ) не является линейным функционалом на $\mathbb {R}$ , поскольку оно не линейно . ^{[номер 2]} Однако оно аффинно-линейно .

Визуализация [ править ]

В конечных измерениях линейный функционал можно визуализировать с точки зрения его наборов уровней — наборов векторов, которые отображаются на заданное значение. В трех измерениях множества уровня линейного функционала представляют собой семейство взаимно параллельных плоскостей; в более высоких измерениях они представляют собой параллельные гиперплоскости . Этот метод визуализации линейных функционалов иногда встречается в текстах по общей теории относительности , таких как «Гравитация» Миснера , Торна и Уиллера (1973) .

Приложения [ править ]

Приложение к квадратуре [ править ]

Если $x_{0},\ldots ,x_{n}$ являются $n+1$ различные точки в $[a, b]$ , то линейные функционалы $\operatorname {ev} _{x_{i}}:f\mapsto f\left(x_{i}\right)$ определенные выше, образуют базис двойственного к $P n$ пространства многочленов степени $\leq n.$ Функционал интегрирования $I$ также является линейным функционалом на $P n$ и поэтому может быть выражен как линейная комбинация этих базисных элементов. В символах есть коэффициенты $a_{0},\ldots ,a_{n}$ для которого

I(f)=a_{0}f(x_{0})+a_{1}f(x_{1})+\dots +a_{n}f(x_{n})

для всех

f\in P_{n}.

Это составляет основу теории числовых квадратур . ^[6]

В квантовой механике [ править ]

Линейные функционалы особенно важны в квантовой механике . механические системы представлены гильбертовыми пространствами которые антиизоморфны Квантово - , своим собственным двойственным пространствам. Состояние квантовомеханической системы можно отождествить с линейным функционалом. Для получения дополнительной информации см. обозначение bra–ket .

Распределения [ править ]

В теории обобщенных функций некоторые виды обобщенных функций, называемые распределениями, могут быть реализованы как линейные функционалы на пространствах основных функций .

Двойные векторы билинейные формы и

Каждая невырожденная билинейная форма в конечномерном векторном пространстве $V$ индуцирует изоморфизм $V \to V. * : v \mapsto v *$ такой, что

v^{*}(w):=\langle v,w\rangle \quad \forall w\in V,

где билинейная форма на $V$ обозначается $\langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle$ (например, в евклидовом пространстве , $\langle v,w\rangle =v\cdot w$ является произведением скалярным $v$ и $w$ ).

Обратный изоморфизм — это V ^∗ → V : v ^∗ ↦ v , где $v$ — единственный элемент $V$ такой, что

\langle v,w\rangle =v^{*}(w)

для всех

w\in V.

Определенный выше вектор v ^∗ ∈ V ^∗ называется вектором двойственным $v\in V.$

В бесконечномерном гильбертовом пространстве аналогичные результаты справедливы по теореме о представлении Рисса . Существует отображение V ↦ V ^∗ из $V$ в его непрерывное дуальное пространство V ^∗.

Связь с базами [ править ]

Основа двойного пространства [ править ]

Пусть векторное пространство $V$ имеет базис $\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\dots ,\mathbf {e} _{n}$ , не обязательно ортогонально . Тогда двойственное пространство $V^{*}$ имеет основу ${\tilde {\omega }}^{1},{\tilde {\omega }}^{2},\dots ,{\tilde {\omega }}^{n}$ называется двойственным базисом , определяемым особым свойством, которое

{\tilde {\omega }}^{i}(\mathbf {e} _{j})={\begin{cases}1&{\text{if}}\ i=j\\0&{\text{if}}\ i\neq j.\end{cases}}

Или, более кратко,

{\tilde {\omega }}^{i}(\mathbf {e} _{j})=\delta _{ij}

где $\delta _{ij}$ это дельта Кронекера . Здесь верхние индексы базисных функционалов являются не экспонентами, а контравариантными индексами.

Линейный функционал ${\tilde {u}}$ принадлежность к двойственному пространству ${\tilde {V}}$ может быть выражено как линейная комбинация базисных функционалов с коэффициентами («компонентами») $u i$ ,

{\tilde {u}}=\sum _{i=1}^{n}u_{i}\,{\tilde {\omega }}^{i}.

Тогда, применяя функционал ${\tilde {u}}$ к базисному вектору $\mathbf {e} _{j}$ урожайность

{\tilde {u}}(\mathbf {e} _{j})=\sum _{i=1}^{n}\left(u_{i}\,{\tilde {\omega }}^{i}\right)\mathbf {e} _{j}=\sum _{i}u_{i}\left[{\tilde {\omega }}^{i}\left(\mathbf {e} _{j}\right)\right]

вследствие линейности скалярных кратных функционалов и поточечной линейности сумм функционалов. Затем

{\begin{aligned}{\tilde {u}}({\mathbf {e} }_{j})&=\sum _{i}u_{i}\left[{\tilde {\omega }}^{i}\left({\mathbf {e} }_{j}\right)\right]\\&=\sum _{i}u_{i}{\delta }_{ij}\\&=u_{j}.\end{aligned}}

Таким образом, каждый компонент линейного функционала можно извлечь, применив его к соответствующему базисному вектору.

Двойной базис и внутренний продукт [ править ]

Когда пространство $V$ несет скалярное произведение , то можно явно написать формулу для двойственного базиса данного базиса. Пусть $V$ имеет (не обязательно ортогональный) базис $\mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n}.$ В трех измерениях ( $n = 3$ ) двойственный базис можно записать явно

{\tilde {\omega }}^{i}(\mathbf {v} )={\frac {1}{2}}\left\langle {\frac {\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon ^{ijk}\,(\mathbf {e} _{j}\times \mathbf {e} _{k})}{\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}}},\mathbf {v} \right\rangle ,

для

i=1,2,3,

где ε — символ Леви-Чивита , а

\langle \cdot ,\cdot \rangle

внутренний продукт (или произведение ) на

V.

скалярное

В более высоких измерениях это обобщается следующим образом

{\tilde {\omega }}^{i}(\mathbf {v} )=\left\langle {\frac {\sum _{1\leq i_{2}<i_{3}<\dots <i_{n}\leq n}\varepsilon ^{ii_{2}\dots i_{n}}(\star \mathbf {e} _{i_{2}}\wedge \cdots \wedge \mathbf {e} _{i_{n}})}{\star (\mathbf {e} _{1}\wedge \cdots \wedge \mathbf {e} _{n})}},\mathbf {v} \right\rangle ,

где

\star

— оператор звезды Ходжа .

По рингу [ править ]

Модули над кольцом являются обобщением векторных пространств, что снимает ограничение на принадлежность коэффициентов полю . Для модуля $M$ над кольцом $R$ линейная форма на $M$ — это линейное отображение из $M$ в $R$ , причем последнее рассматривается как модуль над самим собой. Пространство линейных форм всегда обозначается $Hom k (V, k)$ независимо от того, является ли $k$ полем или нет. Это правый модуль , если $V$ — левый модуль.

Существование «достаточного» количества линейных форм на модуле эквивалентно проективности . ^[8]

Лемма о двойственном базисе . модуль $R$ - и только тогда , $M$ проективен тогда когда существует подмножество $A\subset M$ и линейные формы $\{f_{a}\mid a\in A\}$ такой, что для каждого $x\in M,$ только конечное число $f_{a}(x)$ ненулевые, и

x=\sum _{a\in A}{f_{a}(x)a}

Изменение поля [ править ]

Предположим, что $X$ является векторным пространством над $\mathbb {C} .$ Ограничение скалярного умножения $\mathbb {R}$ порождает реальное векторное пространство ^[9] $X_{\mathbb {R} }$ называется реализацией $X.$ Любое векторное пространство $X$ над $\mathbb {C}$ также является векторным пространством над $\mathbb {R} ,$ наделен сложной структурой ; то есть существует вещественное векторное подпространство $X_{\mathbb {R} }$ так что мы можем (формально) написать $X=X_{\mathbb {R} }\oplus X_{\mathbb {R} }i$ как $\mathbb {R}$ -векторные пространства.

сложные линейные функционалы и Реальные

Каждый линейный функционал на $X$ является комплекснозначным, а каждый линейный функционал на $X_{\mathbb {R} }$ имеет реальную ценность. Если $\dim X\neq 0$ то линейный функционал от любого из $X$ или $X_{\mathbb {R} }$ нетривиально (то есть не тождественно $0$ ) тогда и только тогда, когда оно сюръективно (потому что если $\varphi (x)\neq 0$ тогда для любого скаляра $s,$ $\varphi \left((s/\varphi (x))x\right)=s$ ), где образ линейного функционала на $X$ является $\mathbb {C}$ а образ линейного функционала на $X_{\mathbb {R} }$ является $\mathbb {R} .$ Следовательно, единственная функция на $X$ это одновременно линейный функционал от $X$ и линейная функция на $X_{\mathbb {R} }$ – тривиальный функционал; другими словами, $X^{\#}\cap X_{\mathbb {R} }^{\#}=\{0\},$ где $\,{\cdot }^{\#}$ пространства обозначает алгебраическое двойственное пространство . Однако каждый $\mathbb {C}$ -линейный функционал по $X$ является $\mathbb {R}$ -линейный оператор (это означает, что он аддитивен и однороден по $\mathbb {R}$ ), но если это не тождественно $0,$ это не $\mathbb {R}$ -линейный функционал по $X$ потому что его диапазон (который $\mathbb {C}$ ) двумерен над $\mathbb {R} .$ И наоборот, ненулевое $\mathbb {R}$ -линейный функционал имеет слишком малый диапазон, чтобы быть $\mathbb {C}$ -линейный функционал.

Действительные и мнимые части [ править ]

Если $\varphi \in X^{\#}$ то обозначим его действительную часть через $\varphi _{\mathbb {R} }:=\operatorname {Re} \varphi$ и его мнимая часть $\varphi _{i}:=\operatorname {Im} \varphi .$ Затем $\varphi _{\mathbb {R} }:X\to \mathbb {R}$ и $\varphi _{i}:X\to \mathbb {R}$ являются линейными функционалами от $X_{\mathbb {R} }$ и $\varphi =\varphi _{\mathbb {R} }+i\varphi _{i}.$ Дело в том, что $z=\operatorname {Re} z-i\operatorname {Re} (iz)=\operatorname {Im} (iz)+i\operatorname {Im} z$ для всех $z\in \mathbb {C}$ подразумевает, что для всех $x\in X,$ ^[9]

{\begin{alignedat}{4}\varphi (x)&=\varphi _{\mathbb {R} }(x)-i\varphi _{\mathbb {R} }(ix)\\&=\varphi _{i}(ix)+i\varphi _{i}(x)\\\end{alignedat}}

и, следовательно, что

\varphi _{i}(x)=-\varphi _{\mathbb {R} }(ix)

и

\varphi _{\mathbb {R} }(x)=\varphi _{i}(ix).

^[10]

Назначение $\varphi \mapsto \varphi _{\mathbb {R} }$ определяет биективу ^[10] $\mathbb {R}$ -линейный оператор $X^{\#}\to X_{\mathbb {R} }^{\#}$ чьей обратной является карта $L_{\bullet }:X_{\mathbb {R} }^{\#}\to X^{\#}$ определяется заданием $g\mapsto L_{g}$ который отправляет $g:X_{\mathbb {R} }\to \mathbb {R}$ к линейному функционалу $L_{g}:X\to \mathbb {C}$ определяется

L_{g}(x):=g(x)-ig(ix)\quad {\text{ for all }}x\in X.

Реальная часть

L_{g}

является

g

и биекция

L_{\bullet }:X_{\mathbb {R} }^{\#}\to X^{\#}

является

\mathbb {R}

-линейный оператор, что означает, что

L_{g+h}=L_{g}+L_{h}

и

L_{rg}=rL_{g}

для всех

r\in \mathbb {R}

и

g,h\in X_{\mathbb {R} }^{\#}.

^[10] Аналогично для мнимой части присваивание

\varphi \mapsto \varphi _{i}

вызывает

\mathbb {R}

-линейная биекция

X^{\#}\to X_{\mathbb {R} }^{\#}

чьей обратной является карта

X_{\mathbb {R} }^{\#}\to X^{\#}

определяется отправкой

I\in X_{\mathbb {R} }^{\#}

к линейному функционалу на

X

определяется

x\mapsto I(ix)+iI(x).

Эта связь была открыта Генри Лёвигом в 1934 году (хотя обычно ее приписывают Ф. Мюррею). ^[11]и может быть обобщено на произвольные конечные расширения поля естественным образом . Это имеет множество важных последствий, некоторые из которых сейчас будут описаны.

Свойства и отношения [ править ]

Предполагать $\varphi :X\to \mathbb {C}$ является линейным функционалом от $X$ с реальной частью $\varphi _{\mathbb {R} }:=\operatorname {Re} \varphi$ и мнимая часть $\varphi _{i}:=\operatorname {Im} \varphi .$

Затем $\varphi =0$ если и только если $\varphi _{\mathbb {R} }=0$ если и только если $\varphi _{i}=0.$

Предположим, что $X$ является топологическим векторным пространством . Затем $\varphi$ непрерывно тогда и только тогда, когда его действительная часть $\varphi _{\mathbb {R} }$ непрерывно тогда и только тогда, когда $\varphi$ мнимая часть $\varphi _{i}$ является непрерывным. То есть либо все три $\varphi ,\varphi _{\mathbb {R} },$ и $\varphi _{i}$ являются непрерывными или ни один из них не является непрерывным. Это останется верным, если слово «непрерывный» заменить словом « ограниченный ». В частности, $\varphi \in X^{\prime }$ если и только если $\varphi _{\mathbb {R} }\in X_{\mathbb {R} }^{\prime }$ где штрих обозначает непрерывное двойственное пространство пространства . ^[9]

Позволять $B\subseteq X.$ Если $uB\subseteq B$ для всех скаляров $u\in \mathbb {C}$ единичной длины (имеется в виду $|u|=1$ ) затем ^{[доказательство 1]}^[12]

\sup _{b\in B}|\varphi (b)|=\sup _{b\in B}\left|\varphi _{\mathbb {R} }(b)\right|.

Аналогично, если

\varphi _{i}:=\operatorname {Im} \varphi :X\to \mathbb {R}

обозначает комплексную часть

\varphi

затем

iB\subseteq B

подразумевает

\sup _{b\in B}\left|\varphi _{\mathbb {R} }(b)\right|=\sup _{b\in B}\left|\varphi _{i}(b)\right|.

Если

X

это нормированное пространство с нормой

\|\cdot \|

и если

B=\{x\in X:\|x\|\leq 1\}

— замкнутый единичный шар, то верхние грани приведенные выше — это операторные нормы (определенные обычным способом)

\varphi ,\varphi _{\mathbb {R} },

и

\varphi _{i}

так что ^[12]

\|\varphi \|=\left\|\varphi _{\mathbb {R} }\right\|=\left\|\varphi _{i}\right\|.

Этот вывод распространяется на аналогичное утверждение для поляр сбалансированных множеств в общих топологических векторных пространствах .

Если $X$ представляет собой комплексное гильбертово пространство с (комплексным) скалярным произведением $\langle \,\cdot \,|\,\cdot \,\rangle$ антилинейный тогда по первой координате (и линейный по второй), $X_{\mathbb {R} }$ становится настоящим гильбертовым пространством, если наделить его реальной частью $\langle \,\cdot \,|\,\cdot \,\rangle .$ Явно, этот реальный внутренний продукт на $X_{\mathbb {R} }$ определяется $\langle x|y\rangle _{\mathbb {R} }:=\operatorname {Re} \langle x|y\rangle$ для всех $x,y\in X$ и это индуцирует ту же норму на $X$ как $\langle \,\cdot \,|\,\cdot \,\rangle$ потому что ${\sqrt {\langle x|x\rangle _{\mathbb {R} }}}={\sqrt {\langle x|x\rangle }}$ для всех векторов $x.$ Применяя теорему о представлении Рисса к $\varphi \in X^{\prime }$ (соответственно $\varphi _{\mathbb {R} }\in X_{\mathbb {R} }^{\prime }$ ) гарантирует существование уникального вектора $f_{\varphi }\in X$ (соответственно $f_{\varphi _{\mathbb {R} }}\in X_{\mathbb {R} }$ ) такой, что $\varphi (x)=\left\langle f_{\varphi }|\,x\right\rangle$ (соответственно $\varphi _{\mathbb {R} }(x)=\left\langle f_{\varphi _{\mathbb {R} }}|\,x\right\rangle _{\mathbb {R} }$ ) для всех векторов $x.$ Теорема также гарантирует, что $\left\|f_{\varphi }\right\|=\|\varphi \|_{X^{\prime }}$ и $\left\|f_{\varphi _{\mathbb {R} }}\right\|=\left\|\varphi _{\mathbb {R} }\right\|_{X_{\mathbb {R} }^{\prime }}.$ Легко проверить, что $f_{\varphi }=f_{\varphi _{\mathbb {R} }}.$ Сейчас $\left\|f_{\varphi }\right\|=\left\|f_{\varphi _{\mathbb {R} }}\right\|$ и предыдущие равенства означают, что $\|\varphi \|_{X^{\prime }}=\left\|\varphi _{\mathbb {R} }\right\|_{X_{\mathbb {R} }^{\prime }},$ это тот же вывод, который был сделан выше.

В бесконечных измерениях [ править ]

Ниже все векторные пространства относятся либо к действительным числам, либо к действительным числам. $\mathbb {R}$ или комплексные числа $\mathbb {C} .$

Если $V$ — топологическое векторное пространство , пространство непрерывных линейных функционалов — непрерывное двойственное — часто называют просто двойственным пространством. Если $V$ является банаховым пространством , то и его (непрерывное) двойственное пространство. Чтобы отличить обычное дуальное пространство от непрерывного дуального пространства, первое иногда называют алгебраическим дуальным пространством . В конечных измерениях каждый линейный функционал непрерывен, поэтому непрерывный двойственный функционал аналогичен алгебраическому двойственному, но в бесконечных измерениях непрерывный двойственный функционал является собственным подпространством алгебраически двойственного.

Линейный функционал $f$ (не обязательно локально выпуклом ) в топологическом векторном пространстве $X$ непрерывен тогда и только тогда, когда существует непрерывная полунорма $p$ на $X$ такая, что $|f|\leq p.$ ^[13]

Характеристика замкнутых подпространств [ править ]

Непрерывные линейные функционалы обладают приятными для анализа свойствами : линейный функционал непрерывен тогда и только тогда, когда его ядро замкнуто. ^[14] и нетривиальный непрерывный линейный функционал является открытым отображением , даже если (топологическое) векторное пространство не является полным. ^[15]

Гиперплоскости и максимальные подпространства [ править ]

Векторное подпространство $M$ из $X$ называется максимальным , если $M\subsetneq X$ (значение $M\subseteq X$ и $M\neq X$ ) и не существует векторного подпространства $N$ из $X$ такой, что $M\subsetneq N\subsetneq X.$ Векторное подпространство $M$ из $X$ максимальна тогда и только тогда, когда она является ядром некоторого нетривиального линейного функционала на $X$ (то есть, $M=\ker f$ для некоторого линейного функционала $f$ на $X$ это не тождественно $0$ ). Аффинная гиперплоскость в $X$ является трансляцией максимального векторного подпространства. По линейности подмножество $H$ из $X$ является аффинной гиперплоскостью тогда и только тогда, когда существует некоторый нетривиальный линейный функционал $f$ на $X$ такой, что $H=f^{-1}(1)=\{x\in X:f(x)=1\}.$ ^[11] Если $f$ является линейным функционалом и $s\neq 0$ тогда это скаляр $f^{-1}(s)=s\left(f^{-1}(1)\right)=\left({\frac {1}{s}}f\right)^{-1}(1).$ Это равенство можно использовать для связи наборов различных уровней. $f.$ Более того, если $f\neq 0$ тогда ядро $f$ можно восстановить по аффинной гиперплоскости $H:=f^{-1}(1)$ к $\ker f=H-H.$

Отношения между несколькими линейными функционалами [ править ]

Любые два линейных функционала с одинаковым ядром пропорциональны (т.е. скалярно кратны друг другу). Этот факт можно обобщить до следующей теоремы.

Теорема ^[16]^[17] - Если $f,g_{1},\ldots ,g_{n}$ являются линейными функционалами на $X$ , то следующие условия эквивалентны:

$f$ можно записать как линейную комбинацию $g_{1},\ldots ,g_{n}$ ; то есть существуют скаляры $s_{1},\ldots ,s_{n}$ такой, что $sf=s_{1}g_{1}+\cdots +s_{n}g_{n}$ ;
$\bigcap _{i=1}^{n}\ker g_{i}\subseteq \ker f$ ;
существует действительное число $r$ такое, что $|f(x)|\leq rg_{i}(x)$ для всех $x\in X$ и все $i=1,\ldots ,n.$

Если $f$ — нетривиальный линейный функционал на $X$ с ядром $N$ , $x\in X$ удовлетворяет $f(x)=1,$ и $U$ — сбалансированное подмножество $X$ , тогда $N\cap (x+U)=\varnothing$ если и только если $|f(u)|<1$ для всех $u\in U.$ ^[15]

– Теорема Банаха Хана

Любой (алгебраический) линейный функционал в векторном подпространстве можно расширить на все пространство; например, описанные выше функционалы оценки могут быть расширены до векторного пространства полиномов на всех $\mathbb {R} .$ Однако это расширение не всегда может быть выполнено при сохранении непрерывности линейного функционала. Семейство теорем Хана – Банаха дает условия, при которых это расширение может быть выполнено. Например,

Теорема Хана – Банаха о доминируемом продолжении ^[18]( Рудин 1991 , Т. 3.2) — Если $p:X\to \mathbb {R}$ является сублинейной функцией и $f:M\to \mathbb {R}$ — линейный функционал на линейном подпространстве $M\subseteq X$ который доминирует $p$ на $M$ , то существует линейное расширение $F:X\to \mathbb {R}$ f $что$ на все пространство $X$ , в котором доминирует $p$ , т. е. существует линейный функционал $F$ такой,

F(m)=f(m)

для всех

m\in M,

и

|F(x)|\leq p(x)

для всех

x\in X.

семейств функционалов Равнонепрерывность линейных

Пусть $X$ — топологическое векторное пространство (ТВП) с непрерывным двойственным пространством $X'.$

Для любого $H$ подмножества $X',$ следующие эквивалентны: ^[19]

$H$ непрерывен равностепенно ;
$H$ содержится в поляре некоторой окрестности $0$ в $Х$ ;
точка (пре)полярная H $является$ окрестностью $0$ в $Х$ ;

Если $H$ — равностепенно непрерывное подмножество $X'$ то следующие множества также равнонепрерывны: слабое замыкание , сбалансированная оболочка , выпуклая оболочка и выпуклая сбалансированная оболочка . ^[19] Более того, из теоремы Алаоглу следует, что слабое замыкание равнонепрерывного подмножества $X'$ является слабенько-* компактным (и, таким образом, каждое равноравномерно непрерывное подмножество слабо-* относительно компактно). ^[20]^[19]

См. также [ править ]

Прерывистая линейная карта
Локально выпуклое топологическое векторное пространство - векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.
Положительный линейный функционал – упорядоченное векторное пространство с частичным порядком.
Мультилинейная форма – отображение нескольких векторов в базовое поле скаляров, линейное по каждому аргументу.
Топологическое векторное пространство - векторное пространство с понятием близости.

Примечания [ править ]

Сноски [ править ]

^ В некоторых текстах роли меняются местами, и векторы определяются как линейные отображения ковекторов в скаляры.
^ Например, $f(1+1)=a+2r\neq 2a+2r=f(1)+f(1).$

Доказательства [ править ]

^ Это правда, если $B=\varnothing$ так что предположим обратное. С $\left|\operatorname {Re} z\right|\leq |z|$ для всех скаляров $z\in \mathbb {C} ,$ следует, что ${\textstyle \sup _{x\in B}\left|\varphi _{\mathbb {R} }(x)\right|\leq \sup _{x\in B}|\varphi (x)|.}$ Если $b\in B$ тогда пусть $r_{b}\geq 0$ и $u_{b}\in \mathbb {C}$ быть таким, что $\left|u_{b}\right|=1$ и $\varphi (b)=r_{b}u_{b},$ где если $r_{b}=0$ а затем взять $u_{b}:=1.$ Затем $|\varphi (b)|=r_{b}$ и потому что ${\textstyle \varphi \left({\frac {1}{u_{b}}}b\right)=r_{b}}$ это действительное число, ${\textstyle \varphi _{\mathbb {R} }\left({\frac {1}{u_{b}}}b\right)=\varphi \left({\frac {1}{u_{b}}}b\right)=r_{b}.}$ По предположению ${\textstyle {\frac {1}{u_{b}}}b\in B}$ так ${\textstyle |\varphi (b)|=r_{b}\leq \sup _{x\in B}\left|\varphi _{\mathbb {R} }(x)\right|.}$ С $b\in B$ было произвольным, отсюда следует, что ${\textstyle \sup _{x\in B}|\varphi (x)|\leq \sup _{x\in B}\left|\varphi _{\mathbb {R} }(x)\right|.}$ $\blacksquare$

Ссылки [ править ]

^ Экслер (2015) с. 101, §3.92
^ Перейти обратно: ^а ^б Вы (2011) стр. 19, §3.1.
^ Кацнельсон и Кацнельсон (2008), с. 37, §2
^ Экслер (2015) с. 101, §3.94
^ Халмос (1974) с. 2013
^ Лакс 1996
^ Миснер, Торн и Уиллер (1973), с. 57
^ Кларк, Пит Л. Коммутативная алгебра (PDF) . Неопубликовано. Лемма 3.12.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Рудин 1991 , с. 57.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Наричи и Бекенштейн, 2011 , стр. 9–11.
^ Перейти обратно: ^а ^б Наричи и Бекенштейн, 2011 , стр. 10–11.
^ Перейти обратно: ^а ^б Наричи и Бекенштейн, 2011 , стр. 126–128.
^ Наричи и Бекенштейн 2011 , с. 126.
^ Рудин 1991 , Теорема 1.18.
^ Перейти обратно: ^а ^б Наричи и Бекенштейн 2011 , с. 128.
^ Рудин 1991 , стр. 63–64.
^ Наричи и Бекенштейн 2011 , стр. 1–18.
^ Наричи и Бекенштейн, 2011 , стр. 177–220.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Наричи и Бекенштейн, 2011 , стр. 225–273.
^ Шефер и Вольф 1999 , Следствие 4.3.

Библиография [ править ]

Экслер, Шелдон (2015), Правильно выполненная линейная алгебра , Тексты для бакалавров по математике (3-е изд.), Springer , ISBN 978-3-319-11079-0
Бишоп, Ричард ; Гольдберг, Сэмюэл (1980), «Глава 4», Тензорный анализ многообразий , Dover Publications, ISBN 0-486-64039-6
Конвей, Джон (1990). Курс функционального анализа . Тексты для выпускников по математике Том. 96 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Publishing . ISBN 978-0-387-97245-9 . OCLC 21195908 .
Данфорд, Нельсон (1988). Линейные операторы (на румынском языке). Нью-Йорк: Издательство Interscience. ISBN 0-471-60848-3 . OCLC 18412261 .
Халмос, Пол Ричард (1974), Конечномерные векторные пространства , Тексты для студентов по математике (1958, 2-е изд.), Springer , ISBN 0-387-90093-4
Кацнельсон, Ицхак ; Кацнельсон, Джонатан Р. (2008), A (краткое) Введение в линейную алгебру , Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-4419-9
Лакс, Питер (1996), Линейная алгебра , Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-11111-5
Миснер, Чарльз В .; Торн, Кип С .; Уиллер, Джон А. (1973), Гравитация , WH Freeman, ISBN 0-7167-0344-0
Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834 .
Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5 . OCLC 21163277 .
Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135 .
Шутц, Бернард (1985), «Глава 3», Первый курс общей теории относительности , Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press, ISBN 0-521-27703-5
Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1 . OCLC 853623322 .
Ту, Лоринг В. (2011), Введение в многообразия , Universitext (2-е изд.), Springer , ISBN 978-0-8218-4419-9
Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-49353-4 . OCLC 849801114 .

[2] В некоторых текстах роли меняются местами, и векторы определяются как линейные отображения ковекторов в скаляры.

[7] Например, $f(1+1)=a+2r\neq 2a+2r=f(1)+f(1).$

[14] Это правда, если $B=\varnothing$ так что предположим обратное. С $\left|\operatorname {Re} z\right|\leq |z|$ для всех скаляров $z\in \mathbb {C} ,$ следует, что ${\textstyle \sup _{x\in B}\left|\varphi _{\mathbb {R} }(x)\right|\leq \sup _{x\in B}|\varphi (x)|.}$ Если $b\in B$ тогда пусть $r_{b}\geq 0$ и $u_{b}\in \mathbb {C}$ быть таким, что $\left|u_{b}\right|=1$ и $\varphi (b)=r_{b}u_{b},$ где если $r_{b}=0$ а затем взять $u_{b}:=1.$ Затем $|\varphi (b)|=r_{b}$ и потому что ${\textstyle \varphi \left({\frac {1}{u_{b}}}b\right)=r_{b}}$ это действительное число, ${\textstyle \varphi _{\mathbb {R} }\left({\frac {1}{u_{b}}}b\right)=\varphi \left({\frac {1}{u_{b}}}b\right)=r_{b}.}$ По предположению ${\textstyle {\frac {1}{u_{b}}}b\in B}$ так ${\textstyle |\varphi (b)|=r_{b}\leq \sup _{x\in B}\left|\varphi _{\mathbb {R} }(x)\right|.}$ С $b\in B$ было произвольным, отсюда следует, что ${\textstyle \sup _{x\in B}|\varphi (x)|\leq \sup _{x\in B}\left|\varphi _{\mathbb {R} }(x)\right|.}$ $\blacksquare$

[1] Экслер (2015) с. 101, §3.92

[:0-3] Перейти обратно: ^а ^б Вы (2011) стр. 19, §3.1.

[4] Кацнельсон и Кацнельсон (2008), с. 37, §2

[5] Экслер (2015) с. 101, §3.94

[6] Халмос (1974) с. 2013

[8] Лакс 1996

[9] Миснер, Торн и Уиллер (1973), с. 57

[10] Кларк, Пит Л. Коммутативная алгебра (PDF) . Неопубликовано. Лемма 3.12.

[FOOTNOTERudin199157-11] Перейти обратно: ^а ^б ^с Рудин 1991 , с. 57.

[FOOTNOTENariciBeckenstein20119–11-12] Перейти обратно: ^а ^б ^с Наричи и Бекенштейн, 2011 , стр. 9–11.

[FOOTNOTENariciBeckenstein201110–11-13] Перейти обратно: ^а ^б Наричи и Бекенштейн, 2011 , стр. 10–11.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011126–128-15] Перейти обратно: ^а ^б Наричи и Бекенштейн, 2011 , стр. 126–128.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011126-16] Наричи и Бекенштейн 2011 , с. 126.

[17] Рудин 1991 , Теорема 1.18.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011128-18] Перейти обратно: ^а ^б Наричи и Бекенштейн 2011 , с. 128.

[FOOTNOTERudin199163–64-19] Рудин 1991 , стр. 63–64.

[FOOTNOTENariciBeckenstein20111–18-20] Наричи и Бекенштейн 2011 , стр. 1–18.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011177–220-21] Наричи и Бекенштейн, 2011 , стр. 177–220.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011225–273-22] Перейти обратно: ^а ^б ^с Наричи и Бекенштейн, 2011 , стр. 225–273.

[FOOTNOTESchaeferWolff1999Corollary_4.3-23] Шефер и Вольф 1999 , Следствие 4.3.

[1]

[номер 1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[номер 2]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[доказательство 1]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

v т Это Топологические векторные пространства (ТВП)
Basic concepts	Banach space Completeness Continuous linear operator Linear functional Fréchet space Linear map Locally convex space Metrizability Operator topologies Topological vector space Vector space
Main results	Anderson–Kadec Banach–Alaoglu Closed graph theorem F. Riesz's Hahn–Banach (hyperplane separation Vector-valued Hahn–Banach) Open mapping (Banach–Schauder) Bounded inverse Uniform boundedness (Banach–Steinhaus)
Maps	Bilinear operator form Linear map Almost open Bounded Continuous Closed Compact Densely defined Discontinuous Topological homomorphism Functional Linear Bilinear Sesquilinear Norm Seminorm Sublinear function Transpose
Types of sets	Absolutely convex/disk Absorbing/Radial Affine Balanced/Circled Banach disks Bounding points Bounded Complemented subspace Convex Convex cone (subset) Linear cone (subset) Extreme point Pre-compact/Totally bounded Prevalent/Shy Radial Radially convex/Star-shaped Symmetric
Set operations	Affine hull (Relative) Algebraic interior (core) Convex hull Linear span Minkowski addition Polar (Quasi) Relative interior
Types of TVSs	Asplund B-complete/Ptak Banach (Countably) Barrelled BK-space (Ultra-) Bornological Brauner Complete Convenient (DF)-space Distinguished F-space FK-AK space FK-space Fréchet tame Fréchet Grothendieck Hilbert Infrabarreled Interpolation space K-space LB-space LF-space Locally convex space Mackey (Pseudo)Metrizable Montel Quasibarrelled Quasi-complete Quasinormed (Polynomially Semi-) Reflexive Riesz Schwartz Semi-complete Smith Stereotype (B Strictly Uniformly) convex (Quasi-) Ultrabarrelled Uniformly smooth Webbed With the approximation property
Category

Примеры [ править ]

Линейные функционалы в R н [ редактировать ]

След квадратной матрицы [ править ]

(Определенная) Интеграция [ править ]

Оценка [ править ]

Непример [ править ]

Визуализация [ править ]

Приложения [ править ]

Приложение к квадратуре [ править ]

В квантовой механике [ править ]

Распределения [ править ]

Двойные векторы билинейные формы и

Связь с базами [ править ]

Основа двойного пространства [ править ]

Двойной базис и внутренний продукт [ править ]

По рингу [ править ]

Изменение поля [ править ]

сложные линейные функционалы и Реальные

Действительные и мнимые части [ править ]

Свойства и отношения [ править ]

В бесконечных измерениях [ править ]

Характеристика замкнутых подпространств [ править ]

Гиперплоскости и максимальные подпространства [ править ]

Отношения между несколькими линейными функционалами [ править ]

– Теорема Банаха Хана

семейств функционалов Равнонепрерывность линейных

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

Сноски [ править ]

Доказательства [ править ]

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

Линейные функционалы в R ^н[ редактировать ]