Теорема о замкнутом графике (функциональный анализ)

Эта статья о теоремах о замкнутых графах в функциональном анализе . Другие результаты с таким же названием см. в разделе «Теорема о замкнутом графике» .

В математике, особенно в функциональном анализе и топологии , теорема о замкнутом графике — это результат, связывающий непрерывность определенных видов функций с топологическим свойством их графика . В своей самой элементарной форме теорема о замкнутом графике утверждает, что линейная функция между двумя банаховыми пространствами непрерывна тогда и только тогда, когда график этой функции замкнут.

Теорема о замкнутом графике широко применяется в функциональном анализе, поскольку она позволяет контролировать, допускает ли частично определенный линейный оператор непрерывные расширения. По этой причине оно было обобщено на многие обстоятельства, выходящие за рамки элементарной формулировки, приведенной выше.

Предварительные сведения

Теорема о замкнутом графике - это результат о линейном отображении. $f:X\to Y$между двумя векторными пространствами , наделенными топологиями , превращающими их в топологические векторные пространства (ТВП). Впредь мы будем считать, что $X$ и $Y$ являются топологическими векторными пространствами, такими как, банаховы пространства например, , и что декартовы произведения , такие как $X\times Y,$наделены топологией продукта . График этой функции является подмножеством

$$\operatorname {graph} {\!(f)}=\{(x,f(x)):x\in \operatorname {dom} f\},$$

из $\operatorname {dom} (f)\times Y=X\times Y,$ где $\operatorname {dom} f=X$ функции обозначает область определения . Карта $f:X\to Y$ говорят, что есть замкнутый граф ( в $X\times Y$), если его график $\operatorname {graph} f$ это закрытое подмножество пространства продукта $X\times Y$(с обычной топологией продукта ). Сходным образом, $f$ говорят, что есть последовательно замкнутый граф , если $\operatorname {graph} f$ является последовательно замкнутым подмножеством $X\times Y.$

А Замкнутый линейный оператор — это линейное отображение, график которого замкнут (он не обязательно должен быть непрерывным или ограниченным ). В функциональном анализе такие отображения принято называть « закрытыми », но не следует путать это с неэквивалентным понятием « замкнутого отображения », которое появляется в общей топологии .

Частичные функции

В функциональном анализе принято рассматривать частичные функции , которые представляют собой функции, определенные на плотном подмножестве некоторого пространства. $X.$ Частичная функция $f$ объявляется с обозначением $f:D\subseteq X\to Y,$ что указывает на то, что $f$ имеет прототип $f:D\to Y$ (то есть домен его $D$ и кодомен его $Y$) и это $\operatorname {dom} f=D$ представляет собой плотное подмножество $X.$ Поскольку область обозначается $\operatorname {dom} f,$ не всегда необходимо назначать символ (например, $D$) в область определения частичной функции, и в этом случае обозначение $f:X\rightarrowtail Y$ или $f:X\rightharpoonup Y$ может использоваться для обозначения того, что $f$ является частичной функцией с кодоменом $Y$ чей домен $\operatorname {dom} f$ представляет собой плотное подмножество $X.$ между Плотно определенный линейный оператор векторными пространствами является частичной функцией $f:D\subseteq X\to Y$ чей домен $D$ — плотное векторное подпространство TVS $X$ такой, что $f:D\to Y$представляет собой линейную карту . Прототипическим примером частичной функции является оператор производной , который определен только в пространстве. $D:=C^{1}([0,1])$ некогда непрерывно дифференцируемых функций, плотное подмножество пространства $X:=C([0,1])$ непрерывных функций .

Каждая частичная функция, в частности, является функцией, и поэтому к ней может быть применена вся терминология, обозначающая функции. Например, график частичной функции $f$ (как и прежде) набор ${\textstyle \operatorname {graph} {\!(f)}=\{(x,f(x)):x\in \operatorname {dom} f\}.}$Однако единственным исключением из этого правила является определение «замкнутого графа». Частичная ​ функция $f:D\subseteq X\to Y$ говорят, что граф имеет замкнутый (соответственно секвенциально замкнутый граф ), если $\operatorname {graph} f$ является замкнутым (соответственно, секвенциально замкнутым) подмножеством $X\times Y$в топологии продукта ; Важно отметить, что пространство продукта $X\times Y$ и не $D\times Y=\operatorname {dom} f\times Y$ как это было определено выше для обычных функций.

Закрываемые карты и замыкания

Линейный оператор $f:D\subseteq X\to Y$ является закрывающийся в $X\times Y$ если существует векторное подпространство $E\subseteq X$ содержащий $D$ и функция (соответственно многофункциональность) $F:E\to Y$ график которого равен замыканию множества $\operatorname {graph} f$ в $X\times Y.$ Такой $F$ называется закрытием $f$ в $X\times Y$, обозначается ${\overline {f}},$ и обязательно расширяется $f.$

Если $f:D\subseteq X\to Y$ является замыкаемым линейным оператором, то ядро или существенная область $f$ является подмножеством $C\subseteq D$ такое, что замыкание в $X\times Y$ графика ограничения $f{\big \vert }_{C}:C\to Y$ из $f$ к $C$ равно замыканию графика $f$ в $X\times Y$ (т.е. закрытие $\operatorname {graph} f$ в $X\times Y$ равно закрытию $\operatorname {graph} f{\big \vert }_{C}$ в $X\times Y$).

Характеристики замкнутых графов (общая топология)

Всюду пусть $X$ и $Y$ быть топологическими пространствами и $X\times Y$ наделен топологией продукта.

Функция с замкнутым графиком

Основная статья: Свойство замкнутого графа

Если $f:X\to Y$ является функцией, то говорят, что она имеет замкнутый график, если она удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:

1. (Определение): График $\operatorname {graph} f$ из $f$ является закрытым подмножеством $X\times Y.$
2. Для каждого $x\in X$ и сеть $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ в $X$ такой, что $x_{\bullet }\to x$ в $X,$ если $y\in Y$ такова, что сеть $f\left(x_{\bullet }\right)=\left(f\left(x_{i}\right)\right)_{i\in I}\to y$ в $Y$ затем $y=f(x).$
   • Сравните это с определением непрерывности в терминах сетей, которое напоминает следующее: для каждого $x\in X$ и сеть $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ в $X$ такой, что $x_{\bullet }\to x$ в $X,$ $f\left(x_{\bullet }\right)\to f(x)$ в $Y.$
   • Таким образом, чтобы показать, что функция $f$ имеет замкнутый граф, можно предположить , что $f\left(x_{\bullet }\right)$ сходится в $Y$ некоторым $y\in Y$ (а затем покажите, что $y=f(x)$), а чтобы показать это $f$ является непрерывным, нельзя предполагать , что $f\left(x_{\bullet }\right)$ сходится в $Y$ некоторым $y\in Y$ а вместо этого надо доказать, что это правда (и причём более конкретно надо доказать, что $f\left(x_{\bullet }\right)$ сходится к $f(x)$ в $Y$).

и если $Y$ является хаусдорфовым компактом , то мы можем добавить к этому списку:

3. $f$ является непрерывным.

и если оба $X$ и $Y$ являются пространствами с первым счетом , то мы можем добавить к этому списку:

4. $f$ имеет последовательно замкнутый граф в $X\times Y.$

Функция с последовательно замкнутым графиком

Если $f:X\to Y$ является функцией, то следующие условия эквивалентны:

1. $f$ имеет последовательно замкнутый граф в $X\times Y.$
2. Определение: график $f$ является последовательно замкнутым подмножеством $X\times Y.$
3. Для каждого $x\in X$ и последовательность $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ в $X$ такой, что $x_{\bullet }\to x$ в $X,$ если $y\in Y$ такова, что сеть $f\left(x_{\bullet }\right):=\left(f\left(x_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }\to y$ в $Y$ затем $y=f(x).$

Основные свойства карт с замкнутыми графиками

Предполагать $f:D(f)\subseteq X\to Y$ — линейный оператор между банаховыми пространствами .

• Если $A$ тогда закрыто $A-s\operatorname {Id} _{D(f)}$ закрыто, где $s$ является скаляром и $\operatorname {Id} _{D(f)}$ является тождественной функцией .
• Если $f$ замкнуто, то его ядро ​​(или нулевое пространство) является замкнутым векторным подпространством $X.$
• Если $f$ замкнуто и инъективно , то оно обратное $f^{-1}$ также закрыт.
• Линейный оператор $f$ допускает замыкание тогда и только тогда, когда для каждого $x\in X$ и каждая пара последовательностей $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ и $z_{\bullet }=\left(z_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ в $D(f)$ оба сходятся к $x$ в $X,$ такой, что оба $f\left(x_{\bullet }\right)=\left(f\left(x_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }$ и $f\left(z_{\bullet }\right)=\left(f\left(z_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }$ сходиться в $Y,$ надо $\lim _{i\to \infty }f\left(x_{i}\right)=\lim _{i\to \infty }f\left(z_{i}\right).$

Примеры и контрпримеры

Непрерывные, но не закрытые карты

• Позволять $X$ обозначать действительные числа $\mathbb {R}$ с обычной евклидовой топологией и пусть $Y$ обозначать $\mathbb {R}$ с недискретной топологией (где $Y$ является не Хаусдорфом и что каждая функция, имеющая значение в $Y$является непрерывным). Позволять $f:X\to Y$ определяться $f(0)=1$ и $f(x)=0$ для всех $x\neq 0.$ Затем $f:X\to Y$ непрерывен, но его график не замкнут в $X\times Y.$
• Если $X$ это любое пространство, то тождественная карта $\operatorname {Id} :X\to X$ непрерывен, но его график, представляющий собой диагональ $\operatorname {graph} \operatorname {Id} =\{(x,x):x\in X\},$ закрыт в $X\times X$ если и только если $X$ является Хаусдорф. В частности, если $X$ тогда это не Хаусдорф $\operatorname {Id} :X\to X$ является непрерывным, но не замкнутым.
• Если $f:X\to Y$ является непрерывным отображением, график которого не замкнут, то $Y$ является не хаусдорфовым пространством.

Закрытые, но не непрерывные карты

• Если $(X,\tau )$ является хаусдорфовым TVS и $\nu$ представляет собой векторную топологию на $X$ это строго лучше, чем $\tau ,$ затем карта личности $\operatorname {Id} :(X,\tau )\to (X,\nu )$ замкнутый разрывный линейный оператор.
• Рассмотрим производной оператор $A={\frac {d}{dx}}$ где $X=Y=C([a,b]).$— банахово пространство всех непрерывных функций на интервале $[a,b].$ Если кто-то возьмет его домен $D(f)$ быть $C^{1}([a,b]),$ затем $f$ — закрытый оператор, который не ограничен. С другой стороны, если $D(f)$ это пространство $C^{\infty }([a,b])$ гладких функций скалярнозначные функции, то $f$ больше не будет закрыт, но его можно будет закрыть, при этом замыкание будет его расширением, определенным в $C^{1}([a,b]).$
• Позволять $X$ и $Y$ оба обозначают действительные числа $\mathbb {R}$с обычной евклидовой топологией . Позволять $f:X\to Y$ определяться $f(0)=0$ и $f(x)={\frac {1}{x}}$ для всех $x\neq 0.$ Затем $f:X\to Y$ имеет замкнутый граф (и секвенциально замкнутый граф) в $X\times Y=\mathbb {R} ^{2}$ но оно не является непрерывным (так как имеет разрыв в точке $x=0$).
• Позволять $X$ обозначать действительные числа $\mathbb {R}$ с обычной евклидовой топологией , пусть $Y$ обозначать $\mathbb {R}$ с дискретной топологией и пусть $\operatorname {Id} :X\to Y$ быть картой идентичности (т.е. $\operatorname {Id} (x):=x$ для каждого $x\in X$). Затем $\operatorname {Id} :X\to Y$ — линейное отображение , график которого замкнут в $X\times Y$ но оно явно не является непрерывным (поскольку одноэлементные множества открыты в $Y$ но не в $X$).

Теоремы

Между банаховыми пространствами

Теорема о замкнутом графе для банаховых пространств — If $T:X\to Y$ — всюду определенный линейный оператор между банаховыми пространствами , то следующие условия эквивалентны:

1. $T$ является непрерывным.
2. $T$ замкнут (т.е. график $T$ замкнуто в топологии продукта на $X\times Y).$
3. Если $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to x$ в $X$ затем $T\left(x_{\bullet }\right):=\left(T\left(x_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }\to T(x)$ в $Y.$
4. Если $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to 0$ в $X$ затем $T\left(x_{\bullet }\right)\to 0$ в $Y.$
5. Если $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to x$ в $X$ и если $T\left(x_{\bullet }\right)$ сходится в $Y$ некоторым $y\in Y,$ затем $y=T(x).$
6. Если $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to 0$ в $X$ и если $T\left(x_{\bullet }\right)$ сходится в $Y$ некоторым $y\in Y,$ затем $y=0.$

Оператор должен быть определен везде , то есть в области определения $D(T)$ из $T$ является $X.$Это условие необходимо, так как существуют замкнутые линейные операторы, которые являются неограниченными (не непрерывными); прототипный пример представлен оператором производной на $C([0,1]),$ чей домен является строгим подмножеством $C([0,1]).$

Обычное доказательство теоремы о замкнутом графике использует теорему об открытом отображении . Фактически, теорема о замкнутом графике, теорема об открытом отображении и обратная теорема эквивалентны ограниченная . Эта эквивалентность также служит для демонстрации важности $X$ и $Y$быть Банахом; в этом случае можно построить линейные карты, которые имеют неограниченные обратные, например, используя либо непрерывные функции с компактным носителем, либо используя последовательности с конечным числом ненулевых членов вместе с супремумной нормой.

Полный метризуемый домен

Теорему о замкнутом графике можно обобщить с банаховых пространств на более абстрактные топологические векторные пространства следующими способами.

Теорема . Линейный оператор из бочкового пространства. $X$ в пространство Фреше $Y$ непрерывна тогда и только тогда , когда ее график замкнут.

Между F-пространствами

Есть версии, не требующие $Y$ быть локально выпуклой.

Теорема . Линейное отображение между двумя F-пространствами непрерывно тогда и только тогда, когда его график замкнут.

Эта теорема переформулирована и дополнена некоторыми условиями, которые можно использовать для определения замкнутости графа:

Теорема — Если $T:X\to Y$ является линейным отображением между двумя F-пространствами , то следующие условия эквивалентны:

1. $T$ является непрерывным.
2. $T$ имеет замкнутый график.
3. Если $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to x$ в $X$ и если $T\left(x_{\bullet }\right):=\left(T\left(x_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }$ сходится в $Y$ некоторым $y\in Y,$ затем $y=T(x).$
4. Если $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to 0$ в $X$ и если $T\left(x_{\bullet }\right)$ сходится в $Y$ некоторым $y\in Y,$ затем $y=0.$

Полный псевдометризуемый домен

Всякое метризуемое топологическое псевдометризуемо . пространство Псевдометризуемое оно пространство метризуемо тогда и только тогда, когда хаусдорфово .

Теорема о замкнутом графе — Кроме того, замкнутое линейное отображение локально выпуклого ультрабочкообразного пространства в полную псевдометризуемую TVS непрерывно.

Теорема о замкнутом графе . Замкнутое и ограниченное линейное отображение локально выпуклого инфрабочечного пространства в полное псевдометризуемое локально выпуклое пространство непрерывно.

Кодомен неполный или (псевдо) метризуемый

Теорема - Предположим, что $T:X\to Y$— линейное отображение, график которого замкнут. Если $X$ является индуктивным пределом ТВС Бэра и $Y$ это перепончатое пространство тогда $T$ является непрерывным.

Теорема о замкнутом графе — Замкнутое сюръективное линейное отображение полной псевдометризуемой ТВС на локально выпуклое ультрабочкообразное пространство непрерывно.

Еще более общая версия теоремы о замкнутом графике:

Теорема - Предположим, что $X$ и $Y$ представляют собой два топологических векторных пространства (они не обязательно должны быть хаусдорфовыми или локально выпуклыми) со следующим свойством:

Если $G$ — любое замкнутое подпространство $X\times Y$ и $u$ любое непрерывное отображение $G$ на $X,$ затем $u$ является открытым отображением.

При этом условии, если $T:X\to Y$ является линейным отображением, график которого замкнут, тогда $T$ является непрерывным.

Теорема

Основная статья: Теорема о графе Бореля

Теорема Бореля о графе, доказанная Л. Шварцем, показывает, что теорема о замкнутом графике справедлива для линейных отображений, определенных и оцениваемых в большинстве пространств, встречающихся в анализе. Напомним, что топологическое пространство называется польским пространством, если оно является сепарабельным полным метризуемым пространством и что пространство Суслина является непрерывным образом польского пространства. Слабое двойственное сепарабельному пространству Фреше и сильное двойственное сепарабельному пространству Фреше-Монтеля являются пространствами Суслена. Кроме того, пространствами Суслина являются пространство распределений и все Lp-пространства над открытыми подмножествами евклидова пространства, а также многие другие пространства, встречающиеся в анализе. гласит Теорема Бореля о графе :

Теорема о графе Бореля — пусть $u:X\to Y$ быть линейным отображением двух локально выпуклых хаусдорфовых пространств. $X$ и $Y.$ Если $X$ является индуктивным пределом произвольного семейства банаховых пространств, если $Y$ является пространством Суслина, и если график $u$ это набор Бореля в $X\times Y,$ затем $u$ является непрерывным.

В усовершенствовании этой теоремы, доказанном А. Мартино, используются K-аналитические пространства.

Топологическое пространство $X$ называется $K_{\sigma \delta }$ если это счетное пересечение счетных объединений компактов.

Топологическое пространство Хаусдорфа. $Y$ называется K-аналитическим, если оно является непрерывным образом $K_{\sigma \delta }$ пространство (то есть, если существует $K_{\sigma \delta }$ космос $X$ и непрерывная карта $X$ на $Y$).

Каждый компакт K-аналитичен, поэтому существуют несепарабельные K-аналитические пространства. Кроме того, каждое польское пространство, пространство Суслена и рефлексивное пространство Фреше является K-аналитическим, как и слабое двойственное пространство Фреше. Обобщенная теорема Бореля о графе гласит:

Обобщенная теорема о графе Бореля - Позволять $u:X\to Y$ — линейное отображение между двумя локально выпуклыми хаусдорфовыми пространствами. $X$ и $Y.$ Если $X$ является индуктивным пределом произвольного семейства банаховых пространств, если $Y$ является K-аналитическим пространством, и если график $u$ закрыт в $X\times Y,$ затем $u$ является непрерывным.

Связанные результаты

Если $F:X\to Y$ — замкнутый линейный оператор из хаусдорфовой локально выпуклой TVS $X$ в конечномерную ТВС Хаусдорфа $Y$ затем $F$ является непрерывным.

См. также

• Почти открытая линейная карта — карта, удовлетворяющая условию, аналогичному условию открытой карты. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Бочковое пространство - тип топологического векторного пространства.
• Закрытый график — график карты, закрытой в пространстве продукта. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления.
• Закрытый линейный оператор — график карты, замкнутой в пространстве продукта. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Плотно определенный оператор - функция, которая определена почти везде (математика).
• Прерывистая линейная карта
• Теорема Какутани о неподвижной точке - Теорема о неподвижной точке для многозначных функций
• Теорема об открытом отображении (функциональный анализ) - условие открытости линейного оператора.
• Теорема Урсеску - обобщение замкнутого графа, открытого отображения и теоремы о равномерной ограниченности
• Перепончатое пространство - пространство, в котором выполняются теоремы об открытом отображении и закрытом графе.

Ссылки

Примечания

Библиография

• Адаш, Норберт; Эрнст, Бруно; Кейм, Дитер (1978). Топологические векторные пространства: теория без условий выпуклости . Конспект лекций по математике. Том. 639. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-08662-8 . OCLC   297140003 .
• Банах, Стефан (1932). Théorie des Opérations Lineaires [ Теория линейных операций ] (PDF) . Математические монографии (на французском языке). Том 1. Варшава: Субсидии Фонда национальной культуры. Збл   0005.20901 . Архивировано из оригинала (PDF) 11 января 2014 г. Проверено 11 июля 2020 г.
• Бербериан, Стерлинг К. (1974). Лекции по функциональному анализу и теории операторов . Тексты для аспирантов по математике. Том. 15. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  978-0-387-90081-0 . ОСЛК   878109401 .
• Бурбаки, Николя (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 . Элементы математики . Перевод Эгглстона, Х.Г.; Мадан, Южный Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  3-540-13627-4 . OCLC   17499190 .
• Конвей, Джон (1990). Курс функционального анализа . Тексты для выпускников по математике Том. 96 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Publishing . ISBN  978-0-387-97245-9 . OCLC   21195908 .
• Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-68143-6 . ОСЛК   30593138 .
• Долецкий, Шимон ; Минард, Фредерик (2016). Основы конвергенции топологии . Нью-Джерси: Всемирная научная издательская компания. ISBN  978-981-4571-52-4 . OCLC   945169917 .
• Дубинский, Эд (1979). Структура ядерных пространств Фреше . Конспект лекций по математике . Том. 720. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-09504-0 . OCLC   5126156 .
• Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод Чалджуба, Орландо. Нью-Йорк: Издательство Gordon and Breach Science. ISBN  978-0-677-30020-7 . OCLC   886098 .
• Хусейн, Судьба; Халилулла, С.М. (1978). Баррельность в топологических и упорядоченных векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том. 692. Берлин, Нью-Йорк, Гейдельберг: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-09096-0 . OCLC   4493665 .
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN  978-3-519-02224-4 . OCLC   8210342 .
• Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I. Основы математических наук. Том 159. Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-642-64988-2 . МР   0248498 . OCLC   840293704 .
• Кригль, Андреас ; Михор, Питер В. (1997). Удобная настройка глобального анализа (PDF) . Математические обзоры и монографии. Том. 53. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN  978-0-8218-0780-4 . OCLC   37141279 .
• Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (Второе изд.). Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси : Prentice Hall, Inc. ISBN  978-0-13-181629-9 . OCLC   42683260 .
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Робертсон, Алекс П.; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства . Кембриджские трактаты по математике . Том. 53. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-29882-7 . OCLC   589250 .
• Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN  978-0-07-054236-5 . OCLC   21163277 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN  978-0-8247-8643-4 . ОСЛК   24909067 .
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .
• Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc.  978-0-486-49353-4 . OCLC   849801114 .
• «Доказательство теоремы о замкнутом графике» . ПланетаМатематика .