Выдающееся пространство

В функциональном анализе и смежных областях выделенными математики пространствами являются топологические векторные пространства (TVS), обладающие тем свойством, что слабо ограниченные подмножества их бидуалов (т. е. сильное двойственное пространство их сильного двойственного пространства) содержатся в слабых * замыкание некоторого ограниченного подмножества бидуала.

Определение

Предположим, что $X$ — локально выпуклое пространство и пусть $X^{\prime }$ и $X_{b}^{\prime }$ обозначаем сильный двойственный $X$ (т. е. непрерывное двойственное пространство $X$ наделенный сильной дуальной топологией ). Позволять $X^{\prime \prime }$ обозначаем непрерывное дуальное пространство $X_{b}^{\prime }$ и пусть $X_{b}^{\prime \prime }$ обозначаем сильный двойственный $X_{b}^{\prime }.$ Позволять $X_{\sigma }^{\prime \prime }$ обозначать $X^{\prime \prime }$ наделенный слабой топологией, индуцированной $X^{\prime },$ где эта топология обозначается $\sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)$ (т.е. топология поточечной сходимости на $X^{\prime }$). Мы говорим, что подмножество $W$ из $X^{\prime \prime }$ является $\sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)$-ограничено, если оно является ограниченным подмножеством $X_{\sigma }^{\prime \prime }$ и мы называем закрытие $W$ в ТВС $X_{\sigma }^{\prime \prime }$ тот $\sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)$-закрытие $W$. Если $B$ является подмножеством $X$ тогда поляра ​ $B$ является $B^{\circ }:=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }:\sup _{b\in B}\left\langle b,x^{\prime }\right\rangle \leq 1\right\}.$

Хаусдорфово . локально выпуклое пространство $X$ называется выделенным пространством , если оно удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:

1. Если $W\subseteq X^{\prime \prime }$ это $\sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)$-ограниченное подмножество $X^{\prime \prime }$ тогда существует ограниченное подмножество $B$ из $X_{b}^{\prime \prime }$ чей $\sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)$-закрытие содержит $W$.
2. Если $W\subseteq X^{\prime \prime }$ это $\sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)$-ограниченное подмножество $X^{\prime \prime }$ тогда существует ограниченное подмножество $B$ из $X$ такой, что $W$ содержится в $B^{\circ \circ }:=\left\{x^{\prime \prime }\in X^{\prime \prime }:\sup _{x^{\prime }\in B^{\circ }}\left\langle x^{\prime },x^{\prime \prime }\right\rangle \leq 1\right\},$ что является полярным (относительно дуальности $\left\langle X^{\prime },X^{\prime \prime }\right\rangle$) из $B^{\circ }.$
3. Сильный дуал ​ $X$ это бочкообразное пространство .

Если вдобавок $X$ является метризуемым локально выпуклым топологическим векторным пространством , то этот список можно расширить, включив в него:

4. ( Гротендик ) Сильный двойник $X$ это борнологическое пространство .

Достаточные условия

Все нормированные пространства и полурефлексивные пространства являются выделенными пространствами. Пространства LF являются выделенными пространствами.

Сильное двойное пространство $X_{b}^{\prime }$ Фреше пространства $X$ выделяется тогда и только тогда, когда $X$ является квазиствольным .

Характеристики

Каждое локально выпуклое выделенное пространство является H-пространством .

Примеры

Существуют выделенные банаховы пространства, которые не являются полурефлексивными . Сильное двойственное выделенному банаховому пространству не обязательно сепарабельно ; $l^{1}$ это такое пространство. Сильное двойственное пространство к выделенному пространству Фреше не обязательно метризуемо . Существует полурефлексивное нерефлексивное . неквазибочечное ​ пространство Макки выделенное $X$ сильный двойник которого является нерефлексивным банаховым пространством. Существуют H-пространства , которые не являются выделенными пространствами.

Фреше- Пространства Монтеля являются выдающимися пространствами.

См. также

• Пространство Монтеля - бочкообразное пространство, в котором замкнутые и ограниченные подмножества компактны.
• Полурефлексивное пространство

Библиография

• Бурбаки, Николя (1950). «О некоторых топологических векторных пространствах» . Анналы Института Фурье (на французском языке). 2 :5–16 (1951). дои : 10.5802/aif.16 . МР   0042609 .
• Робертсон, Алекс П.; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства . Кембриджские трактаты по математике . Том. 53. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-29882-7 . OCLC   589250 .
• Хусейн, Такдир; Халилулла, С.М. (1978). Баррельность в топологических и упорядоченных векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том. 692. Берлин, Нью-Йорк, Гейдельберг: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-09096-0 . OCLC   4493665 .
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN  978-3-519-02224-4 . ОСЛК   8210342 .
• Халилулла, С.М. (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том. 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-11565-6 . OCLC   8588370 .
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .