Алгебраический интерьер

В функциональном анализе , разделе математики, алгебраическая внутренняя часть или радиальное ядро ​​подмножества векторного пространства является уточнением концепции внутренней части .

Определение

Предположим, что $A$ является подмножеством векторного пространства $X.$ Алгебраическая внутренность (или радиальное ) ядро $A$ относительно $X$ представляет собой совокупность всех точек, в которых $A$ представляет собой радиальное множество . точка $a_{0}\in A$ называется внутренней точкой $A$ и $A$ называется радиальным при $a_{0}$ если для каждого $x\in X$ существует действительное число $t_{x}>0$ такой, что для каждого $t\in [0,t_{x}],$ $a_{0}+tx\in A.$ Последнее условие также можно записать как $a_{0}+[0,t_{x}]x\subseteq A$ где набор $$a_{0}+[0,t_{x}]x~:=~\left\{a_{0}+tx:t\in [0,t_{x}]\right\}$$ — это отрезок прямой (или замкнутый интервал), начинающийся в точке $a_{0}$ и заканчивая $a_{0}+t_{x}x;$ этот сегмент линии является подмножеством $a_{0}+[0,\infty )x,$ какой луч исходит из $a_{0}$ в направлении $x$ (то есть параллельно/переводу $[0,\infty )x$). Таким образом, геометрически внутренняя точка подмножества $A$ это точка $a_{0}\in A$ со свойством, что во всех возможных направлениях (векторах) $x\neq 0,$ $A$ содержит некоторый (невырожденный) отрезок, начинающийся с $a_{0}$ и направляясь в этом направлении (т.е. подмножество луча $a_{0}+[0,\infty )x$). Алгебраическая внутренность $A$ (по отношению к $X$) — множество всех таких точек. Другими словами, это подмножество точек, содержащихся в данном множестве, по отношению к которому оно является радиальными точками множества.

Если $M$ является линейным подпространством $X$ и $A\subseteq X$ то это определение можно обобщить на алгебраическую внутренность $A$ относительно $M$ является: $$\operatorname {aint} _{M}A:=\left\{a\in X:{\text{ for all }}m\in M,{\text{ there exists some }}t_{m}>0{\text{ such that }}a+\left[0,t_{m}\right]\cdot m\subseteq A\right\}.$$где $\operatorname {aint} _{M}A\subseteq A$ всегда выполняется, и если $\operatorname {aint} _{M}A\neq \varnothing$ затем $M\subseteq \operatorname {aff} (A-A),$ где $\operatorname {aff} (A-A)$ является аффинной оболочкой $A-A$ (что равно $\operatorname {span} (A-A)$).

Алгебраическое замыкание

точка $x\in X$ Говорят, что это линейно доступен из подмножества $A\subseteq X$ если существует какой-то $a\in A$ такая, что отрезок $[a,x):=a+[0,1)x$ содержится в $A.$ Алгебраическое замыкание $A$ относительно $X$, обозначенный $\operatorname {acl} _{X}A,$ состоит из $A$ и все точки в $X$ которые линейно доступны из $A.$

Алгебраический интерьер (ядро)

В частном случае, когда $M:=X,$ набор $\operatorname {aint} _{X}A$ называется алгебраический интерьер или ядро ​ $A$ и это обозначается $A^{i}$ или $\operatorname {core} A.$ Формально, если $X$ является векторным пространством, то алгебраическая внутренность $A\subseteq X$ является $$\operatorname {aint} _{X}A:=\operatorname {core} (A):=\left\{a\in A:{\text{ for all }}x\in X,{\text{ there exists some }}t_{x}>0,{\text{ such that for all }}t\in \left[0,t_{x}\right],a+tx\in A\right\}.$$

Если $A$ непусто, то эти дополнительные подмножества также полезны для формулировок многих теорем выпуклого функционального анализа (например, теоремы Урсеску ):

$${}^{ic}A:={\begin{cases}{}^{i}A&{\text{ if }}\operatorname {aff} A{\text{ is a closed set,}}\\\varnothing &{\text{ otherwise}}\end{cases}}$$

$${}^{ib}A:={\begin{cases}{}^{i}A&{\text{ if }}\operatorname {span} (A-a){\text{ is a barrelled linear subspace of }}X{\text{ for any/all }}a\in A{\text{,}}\\\varnothing &{\text{ otherwise}}\end{cases}}$$

Если $X$ является пространством Фреше , $A$ является выпуклым, и $\operatorname {aff} A$ закрыт в $X$ затем ${}^{ic}A={}^{ib}A$ но в целом такое возможно ${}^{ic}A=\varnothing$ пока ${}^{ib}A$ не пуст .

Примеры

Если $A=\{x\in \mathbb {R} ^{2}:x_{2}\geq x_{1}^{2}{\text{ or }}x_{2}\leq 0\}\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ затем $0\in \operatorname {core} (A),$ но $0\not \in \operatorname {int} (A)$ и $0\not \in \operatorname {core} (\operatorname {core} (A)).$

Свойства ядра

Предполагать $A,B\subseteq X.$

• В общем, $\operatorname {core} A\neq \operatorname {core} (\operatorname {core} A).$ Но если $A$ является выпуклым множеством, тогда:
  • $\operatorname {core} A=\operatorname {core} (\operatorname {core} A),$ и
  • для всех $x_{0}\in \operatorname {core} A,y\in A,0<\lambda \leq 1$ затем $\lambda x_{0}+(1-\lambda )y\in \operatorname {core} A.$
• $A$ является поглощающим подмножеством вещественного векторного пространства тогда и только тогда, когда $0\in \operatorname {core} (A).$
• $A+\operatorname {core} B\subseteq \operatorname {core} (A+B)$
• $A+\operatorname {core} B=\operatorname {core} (A+B)$ если $B=\operatorname {core} B.$

И ядро, и алгебраическое замыкание выпуклого множества снова выпуклы. Если $C$ является выпуклым, $c\in \operatorname {core} C,$ и $b\in \operatorname {acl} _{X}C$ тогда отрезок $[c,b):=c+[0,1)b$ содержится в $\operatorname {core} C.$

с

Позволять $X$ быть топологическим векторным пространством , $\operatorname {int}$ обозначим внутренний оператор, а $A\subseteq X$ затем:

• $\operatorname {int} A\subseteq \operatorname {core} A$
• Если $A$ непусто, выпукло и $X$ конечномерна, то $\operatorname {int} A=\operatorname {core} A.$
• Если $A$ выпукло с непустой внутренностью, то $\operatorname {int} A=\operatorname {core} A.$
• Если $A$ представляет собой замкнутое выпуклое множество и $X$ — полное метрическое пространство , то $\operatorname {int} A=\operatorname {core} A.$

Относительная алгебраическая внутренность

Если $M=\operatorname {aff} (A-A)$ тогда набор $\operatorname {aint} _{M}A$ обозначается ${}^{i}A:=\operatorname {aint} _{\operatorname {aff} (A-A)}A$ и это называется относительной алгебраической внутренностью $A.$ Это название связано с тем, что $a\in A^{i}$ тогда и только тогда, когда $\operatorname {aff} A=X$ и $a\in {}^{i}A$ (где $\operatorname {aff} A=X$ тогда и только тогда, когда $\operatorname {aff} (A-A)=X$).

Относительный интерьер

Если $A$ является подмножеством топологического векторного пространства $X$ тогда относительная внутренняя часть $A$ это набор $$\operatorname {rint} A:=\operatorname {int} _{\operatorname {aff} A}A.$$ То есть это топологическая внутренность A в $\operatorname {aff} A,$ которое является наименьшим аффинным линейным подпространством $X$ содержащий $A.$ Также будет полезен следующий набор: $$\operatorname {ri} A:={\begin{cases}\operatorname {rint} A&{\text{ if }}\operatorname {aff} A{\text{ is a closed subspace of }}X{\text{,}}\\\varnothing &{\text{ otherwise}}\end{cases}}$$

Как будто относительно внутреннего

Если $A$ является подмножеством топологического векторного пространства $X$ тогда квазиотносительная внутренность $A$ это набор $$\operatorname {qri} A:=\left\{a\in A:{\overline {\operatorname {cone} }}(A-a){\text{ is a linear subspace of }}X\right\}.$$

В хаусдорфовом конечномерном топологическом векторном пространстве $\operatorname {qri} A={}^{i}A={}^{ic}A={}^{ib}A.$

См. также

• Граничная точка - математическое понятие, связанное с подмножествами векторных пространств.
• Интерьер (топология) - наибольшее открытое подмножество некоторого заданного набора.
• Единица порядка - элемент упорядоченного векторного пространства.
• Квазиотносительный интерьер - Обобщение алгебраического интерьера.
• Радиальный набор
• Относительный интерьер - Обобщение топологического интерьера.
• Теорема Урсеску - обобщение замкнутого графа, открытого отображения и теоремы о равномерной ограниченности

Ссылки

Библиография

• Алипрантис, Хараламбос Д .; Бордер, Ким К. (2006). Бесконечномерный анализ: Путеводитель для путешествующих автостопом (Третье изд.). Берлин: Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-540-29587-7 . OCLC   262692874 .
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN  978-0-12-622760-4 . OCLC   175294365 .
• Залинеску, Константин (30 июля 2002 г.). Выпуклый анализ в общих векторных пространствах . Ривер Эдж, Нью-Джерси, Лондон: World Scientific Publishing . ISBN  978-981-4488-15-0 . МР   1921556 . OCLC   285163112 – через Интернет-архив .