Инфраствольное пространство

В функциональном анализе , математической дисциплине, локально-выпуклое топологическое векторное пространство (TVS) называется инфрабаррельным (также пишется инфрабаррельным ) , если каждый ограниченный бочонок является окрестностью начала координат.

Точно так же квазибочечные пространства представляют собой топологические векторные пространства (TVS), для которых каждое бочечное множество в пространстве является окрестностью начала координат. Квазибочечные пространства изучаются, потому что они представляют собой ослабление определяющего условия бочечных пространств , для которых справедлива форма теоремы Банаха – Штейнхауза .

Определение

Подмножество $B$ топологического векторного пространства (ТВП) $X$ называется рожденоядным, если он поглощает все ограниченные подмножества $X$; то есть, если для каждого ограниченного подмножества $S$ из $X,$ существует некоторый скаляр $r$ такой, что $S\subseteq rB.$ Бочковой набор или бочонок в ТВС - набор выпуклый уравновешенный , и , поглощающий это замкнутый . Квазибочкообразное пространство — это ТВС, для которого каждое рождающеядное бочкообразное множество в пространстве является окрестностью начала координат.

Характеристики

Если $X$ является хаусдорфовым локально выпуклым пространством, то каноническая инъекция из $X$ в свой бидуал является топологическим вложением тогда и только тогда, когда $X$ является инфраствольным.

Топологическое векторное пространство Хаусдорфа. $X$ является квазибочоночным тогда и только тогда, когда каждый ограниченный замкнутый линейный оператор из $X$ в полную метризуемую TVS непрерывна. По определению линейный $F:X\to Y$ Оператор называется замкнутым, если его график является замкнутым подмножеством $X\times Y.$

Для локально выпуклого пространства $X$ с непрерывным двойным $X^{\prime }$ следующие эквивалентны:

1. $X$ является квазиствольным.
2. Любая ограниченная полунепрерывная снизу полунорма на $X$ является непрерывным.
3. Каждый $\beta (X',X)$-ограниченное подмножество непрерывного дуального пространства $X^{\prime }$ является равнонепрерывным.

Если $X$ является метризуемым локально выпуклым TVS, то следующие условия эквивалентны:

1. Сильный дуал ​ $X$ является квазиствольным.
2. Сильный дуал ​ $X$ является бочкообразным.
3. Сильный дуал ​ $X$ является борнологическим .

Характеристики

Каждое квазиполное инфраствольное пространство является ствольным.

Локально выпуклое хаусдорфово квазибочечное пространство, секвенциально полное, называется бочоночным.

Локально выпуклое хаусдорфово квазибочечное пространство — это пространство Макки , квази-М-бочечное и счетно-квазибочечное.

Локально выпуклое квазибочечное пространство, которое также является σ-бочечным пространством, обязательно является бочоночным пространством .

Локально выпуклое пространство рефлексивно тогда и только тогда, когда оно полурефлексивно и квазибочечно.

Примеры

Каждое ствольное пространство является инфраствольным. Однако замкнутое векторное подпространство инфраствольного пространства не обязательно является инфраствольным.

Всякое произведение и локально выпуклая прямая сумма любого семейства инфрабочечных пространств являются инфрабочечными. Каждый отдельный фактор инфрастворчатого пространства является инфраствольным.

Каждое хаусдорфово бочкообразное пространство и каждое хаусдорфово борнологическое пространство являются квазибочоночными. Таким образом, всякая метризуемая TVS является квазибочонкой.

Заметим, что существуют квазибочечные пространства, которые не являются ни бочоночными, ни борнологическими. Существуют пространства Макки , которые не являются квазибочонками. Существуют выделенные пространства , DF-пространства и $\sigma$-бочечные пространства, не являющиеся квазибочонками.

Сильное двойное пространство $X_{b}^{\prime }$ Фреше пространства $X$ выделяется когда тогда и только тогда, $X$ является квазиствольным.

Контрпримеры

Существует DF-пространство , не являющееся квазибочонком.

Существует квазибочковое DF-пространство , не являющееся борнологическим .

Существует квазибочечное пространство, не являющееся σ-бочоночным пространством .

См. также

• Бочковое пространство - тип топологического векторного пространства.
• Рефлексивное пространство - локально выпуклое топологическое векторное пространство.
• Полурефлексивное пространство

Библиография

• Адаш, Норберт; Эрнст, Бруно; Кейм, Дитер (1978). Топологические векторные пространства: теория без условий выпуклости . Конспект лекций по математике. Том. 639. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-08662-8 . OCLC   297140003 .
• Бербериан, Стерлинг К. (1974). Лекции по функциональному анализу и теории операторов . Тексты для аспирантов по математике. Том. 15. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  978-0-387-90081-0 . ОСЛК   878109401 .
• Бурбаки, Николя (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 . Элементы математики . Перевод Эгглстона, Х.Г.; Мадан, Южный Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  3-540-13627-4 . OCLC   17499190 .
• Конвей, Джон Б. (1990). Курс функционального анализа . Тексты для аспирантов по математике . Том. 96 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-0-387-97245-9 . OCLC   21195908 .
• Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-68143-6 . ОСЛК   30593138 .
• Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод Чалджуба, Орландо. Нью-Йорк: Издательство Gordon and Breach Science. ISBN  978-0-677-30020-7 . OCLC   886098 .
• Хогбе-Нленд, Анри (1977). Борнологии и функциональный анализ: вводный курс теории двойственности. Топология-борнология и ее использование в функциональном анализе . Математические исследования Северной Голландии. Том. 26. Амстердам Нью-Йорк Нью-Йорк: Северная Голландия. ISBN  978-0-08-087137-0 . МР   0500064 . OCLC   316549583 .
• Хусейн, Такдир; Халилулла, С.М. (1978). Баррельность в топологических и упорядоченных векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том. 692. Берлин, Нью-Йорк, Гейдельберг: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-09096-0 . OCLC   4493665 .
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN  978-3-519-02224-4 . ОСЛК   8210342 .
• Халилулла, С.М. (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том. 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-11565-6 . OCLC   8588370 .
• Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I. Основные принципы математических наук. Том 159. Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-642-64988-2 . МР   0248498 . OCLC   840293704 .
• Кете, Готфрид (1979). Топологические векторные пространства II . Основные принципы математических наук. Том 237. Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-0-387-90400-9 . OCLC   180577972 .
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN  978-0-8247-8643-4 . ОСЛК   24909067 .
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .
• Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc.  978-0-486-49353-4 . OCLC   849801114 .
• Вонг, Яу-Чуэн (1979). Пространства Шварца, ядерные пространства и тензорные произведения . Конспект лекций по математике . Том. 726. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-09513-2 . OCLC   5126158 .