Векторнозначные теоремы Хана – Банаха

В математике, особенно в функциональном анализе и гильбертового пространства теории , векторные теоремы Хана – Банаха являются обобщениями теорем Хана – Банаха от линейных функционалов (которые всегда оцениваются в действительных числах). $\mathbb {R}$ или комплексные числа $\mathbb {C}$ ) к линейным операторам со значениями в топологических векторных пространствах (ТВП).

Определения

Повсюду $X$ и $Y$ будут топологическими векторными пространствами (ТВП) над полем. $\mathbb {K}$ и $L(X; Y)$ будет обозначать векторное пространство всех непрерывных линейных отображений от $X$ до $Y$ , где, если $X$ и $Y$ — нормированные пространства, то мы наделяем $L(X; Y)$ его канонической операторной нормой .

Расширения

Если $M$ — векторное подпространство TVS $X$ , то $Y$ обладает свойством расширения от $M$ до $X$ если каждое непрерывное линейное отображение $f : M \to Y$ имеет непрерывное линейное расширение на все $X.$ , Если $X$ и $Y$ — нормированные пространства , то мы говорим, что $Y$ обладает свойством метрического расширения от $M$ до $X,$ если можно выбрать, чтобы это непрерывное линейное расширение имело норму, равную $‖ f ‖$ .

TVS $Y$ обладает свойством расширения из всех подпространств $X$ (до $X$ если для каждого векторного подпространства $M$ из $X$ Y $) ,$ обладает свойством расширения $M$ в $X.$ из Если $X$ и $Y$ - нормированные пространства то $Y$ обладает свойством метрического расширения из всего подпространства $($ до $X$ ), если для каждого векторного подпространства $M$ из $X$ Y $X$ обладает свойством метрического расширения из $M$ в $X.$ ,

TVS $Y$ имеет свойство расширения. ^{[ 1 ]} выпуклого пространства $X$ и каждого векторного подпространства $M$ в $X$ Y $если для каждого локально$ обладает свойством расширения от $M$ до $X$ .

Банахово пространство $Y$ обладает свойством метрического расширения. ^{[ 1 ]} если для каждого банахова пространства $и$ каждого векторного подпространства $M$ в $X$ Y $X$ обладает свойством метрического расширения от $M$ до $X$ .

1-расширения

Если $M$ — векторное подпространство нормированного пространства $X$ над полем $\mathbb {K}$ тогда нормированное пространство $Y$ обладает свойством немедленного 1-расширения с $M$ на $X$ , если для каждого $x \notin M$ каждое непрерывное линейное отображение $f : M \to Y$ имеет непрерывное линейное расширение. $F:M\oplus (\mathbb {K} x)\to Y$ такой, что $‖ ж ‖ знак равно ‖ F ‖$ . Мы говорим, что $Y$ обладает свойством немедленного 1-расширения, если $Y$ обладает свойством немедленного 1-расширения от $M$ до $X$ для любого банахова пространства $X$ и каждого векторного подпространства $M$ в $X$ .

Инъективные пространства

Локально выпуклое топологическое векторное пространство $Y$ инъективно . ^{[ 1 ]} если для каждого локально выпуклого пространства $Z,$ содержащего $Y$ как топологическое векторное подпространство, существует непрерывная проекция из $Z$ на $Y$ .

Банахово пространство $Y$ . 1-инъективно ^{[ 1 ]} или $P 1$ -пространство , если для каждого банахова пространства $Z$ , содержащего $Y$ как нормированное векторное подпространство (т. е. норма $Y$ идентична обычному ограничению на $Y$ нормы $Z$ ), существует непрерывный проектор из $Z$ на $Y,$ имеющий норма 1.

Характеристики

Чтобы TVS $Y$ имел свойство расширения, он должен быть полным (поскольку должна быть возможность расширить карту идентичности $\mathbf {1} :Y\to Y$ от $Y$ завершения $Z$ Y $до$ ; то есть к отображению $Z \to Y$ ). ^{[ 1 ]}

Существование

Если $f : M \to Y$ — непрерывное линейное отображение векторного подпространства $M$ в $X$ в полное хаусдорфово пространство $Y$ то всегда существует единственное непрерывное линейное расширение $f$ из $M$ до замыкания $M$ в $X.$ , ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} Следовательно, достаточно рассматривать лишь отображения замкнутых векторных подпространств в полные хаусдорфовы пространства. ^{[ 1 ]}

Результаты

Любое локально выпуклое пространство, обладающее свойством расширения, инъективно. ^{[ 1 ]} Если $Y$ — инъективное банахово пространство, то для каждого банахова пространства $X$ каждый непрерывный линейный оператор из векторного подпространства $X$ в $Y$ имеет непрерывное линейное расширение на все $X$ . ^{[ 1 ]}

В 1953 году Александр Гротендик показал, что любое банахово пространство со свойством расширения либо конечномерно, несепарабельно либо . ^{[ 1 ]}

Теорема ^{[ 1 ]} — Предположим, что $Y$ — банахово пространство над полем $\mathbb {K} .$ Тогда следующие условия эквивалентны:

$Y$ 1-инъективен;
$Y$ имеет свойство расширения метрики;
$Y$ имеет свойство немедленного 1-расширения;
$Y$ обладает свойством центрального радиуса;
$Y$ обладает свойством слабого пересечения;
$Y$ 1-дополняемо в любом банаховом пространстве, в которое оно вложено по норме;
Всякий раз, когда $Y$ в нормо-вложенном в банахово пространство $X$ затем идентификационная карта $\mathbf {1} :Y\to Y$ может быть продолжено до непрерывного линейного отображения нормы $1$ к $X$ ;
$Y$ линейно изометричен $C\left(T,\mathbb {K} ,\|{\dot {}}\|_{\infty }\right)$ для некоторого компакта, хаусдорфова пространства , экстремально несвязного $T.$ пространства (Это пространство $T$ единственно с точностью до гомеоморфизма).

где, если, кроме того, $Y$ — векторное пространство над действительными числами, мы можем добавить к этому списку:

$Y$ обладает свойством двоичного пересечения;
$Y$ линейно изометрична полной архимедовой упорядоченной векторной решетке с единицей порядка и наделена нормой единицы порядка.

Теорема ^{[ 1 ]} — Предположим, что $Y$ — вещественное банахово пространство со свойством метрического расширения. Тогда следующие условия эквивалентны:

$Y$ является рефлексивным ;
$Y$ отделим ;
$Y$ конечномерен;
$Y$ линейно изометричен $C\left(T,\mathbb {K} ,\|\cdot \|_{\infty }\right),$ для некоторого дискретного конечного пространства $T.$

Примеры

Продукты базовой отрасли

Предположим, что $X$ является векторным пространством над $\mathbb {K}$ , где $\mathbb {K}$ либо $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$ и пусть $T$ быть любым набором. Позволять $Y:=\mathbb {K} ^{T},$ который является продуктом $\mathbb {K}$ взятый $|T|$ раз или, что то же самое, набор всех $\mathbb {K}$ -значные функции на $T$ . Давать $Y$ его обычная топология произведения , которая превращает его в TVS по Хаусдорфу локально выпуклую . Затем $Y$ имеет свойство расширения. ^{[ 1 ]}

Для любого набора $T,$ пространство Lp $\ell ^{\infty }(T)$ имеет как свойство расширения, так и свойство расширения метрики.

См. также

Непрерывное линейное расширение - Математический метод функционального анализа
Непрерывный линейный оператор
Теорема Хана – Банаха - Теорема о продолжении ограниченных линейных функционалов.
Теорема о разделении гиперплоскостей - О существовании гиперплоскостей, разделяющих непересекающиеся выпуклые множества.

Цитаты

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м Наричи и Бекенштейн, 2011 , стр. 341–370.
^ Рудин 1991 , с. 40 Установлено только для линейных отображений в F-пространства ; обрисовывает доказательства.

Ссылки

Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834 .
Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5 . OCLC 21163277 .
Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135 .
Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1 . OCLC 853623322 .

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011341–370-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м Наричи и Бекенштейн, 2011 , стр. 341–370.

[2] Рудин 1991 , с. 40 Установлено только для линейных отображений в F-пространства ; обрисовывает доказательства.

[ 1 ]

[ 2 ]

v т и Топологические векторные пространства (ТВП)
Basic concepts	Banach space Completeness Continuous linear operator Linear functional Fréchet space Linear map Locally convex space Metrizability Operator topologies Topological vector space Vector space
Main results	Anderson–Kadec Banach–Alaoglu Closed graph theorem F. Riesz's Hahn–Banach (hyperplane separation Vector-valued Hahn–Banach) Open mapping (Banach–Schauder) Bounded inverse Uniform boundedness (Banach–Steinhaus)
Maps	Bilinear operator form Linear map Almost open Bounded Continuous Closed Compact Densely defined Discontinuous Topological homomorphism Functional Linear Bilinear Sesquilinear Norm Seminorm Sublinear function Transpose
Types of sets	Absolutely convex/disk Absorbing/Radial Affine Balanced/Circled Banach disks Bounding points Bounded Complemented subspace Convex Convex cone (subset) Linear cone (subset) Extreme point Pre-compact/Totally bounded Prevalent/Shy Radial Radially convex/Star-shaped Symmetric
Set operations	Affine hull (Relative) Algebraic interior (core) Convex hull Linear span Minkowski addition Polar (Quasi) Relative interior
Types of TVSs	Asplund B-complete/Ptak Banach (Countably) Barrelled BK-space (Ultra-) Bornological Brauner Complete Convenient (DF)-space Distinguished F-space FK-AK space FK-space Fréchet tame Fréchet Grothendieck Hilbert Infrabarreled Interpolation space K-space LB-space LF-space Locally convex space Mackey (Pseudo)Metrizable Montel Quasibarrelled Quasi-complete Quasinormed (Polynomially Semi-) Reflexive Riesz Schwartz Semi-complete Smith Stereotype (B Strictly Uniformly) convex (Quasi-) Ultrabarrelled Uniformly smooth Webbed With the approximation property
Category