Александр Гротендик

Александр Гротендик
Александр Гротендик в Монреале, 1970 год.
Рожденный ( 1928-03-28 ) 28 марта 1928 г.
Берлин , Пруссия , Германия
Умер 13 ноября 2014 г. (13 ноября 2014 г.) (86 лет)
Сен-Лизье , Арьеж , Франция
Национальность
Альма-матер
Известный Обновление алгебраической геометрии и синтез между ней и теорией чисел и топологией.
Список вещей, названных в честь Александра Гротендика
Награды
Научная карьера
Поля Математика – функциональный анализ , алгебраическая геометрия , гомологическая алгебра.
Учреждения
Диссертация Топологические тензорные произведения и ядерные пространства   (1953)
Докторские консультанты
Докторанты

Александр Гротендик ( / ˈ ɡ r oʊ t ən d iː k / ; Немецкое произношение: [ˌalɛˈksandɐ ˈɡʁoːtn̩ˌdiːk] ⓘ ; Французский: [ɡʁɔtɛndik] ; немецкого происхождения, 28 марта 1928 — 13 ноября 2014) — математик ставший ведущей фигурой в создании современной алгебраической геометрии . [7] [8] Его исследования расширили сферу этой области и добавили в ее основы элементы коммутативной алгебры , гомологической алгебры , теории пучков и теории категорий , в то время как его так называемая «относительная» точка зрения привела к революционным достижениям во многих областях чистой математики . [7] [9] Многие считают его величайшим математиком двадцатого века. [10] [11]

Гротендик начал свою продуктивную и общественную карьеру математика в 1949 году. В 1958 году он был назначен профессором-исследователем в Институте высших научных исследований (IHÉS) и оставался там до 1970 года, когда, движимый личными и политическими убеждениями, он ушел после спор о военном финансировании. Он получил медаль Филдса в 1966 году за достижения в области алгебраической геометрии , гомологической алгебры и K-теории . [12] Позже он стал профессором Университета Монпелье. [1] и, продолжая заниматься соответствующими математическими работами, он вышел из математического сообщества и посвятил себя политическим и религиозным занятиям (сначала буддизму, а затем более католическому христианскому видению). [13] В 1991 году он переехал во французскую деревню Лассер в Пиренеях , где жил в уединении, продолжая работать над математикой и своими философскими и религиозными мыслями до своей смерти в 2014 году. [14]

Жизнь [ править ]

Семья и детство [ править ]

Гротендик родился в Берлине в семье анархистов . Его отец, Александр «Саша» Шапиро (также известный как Александр Танаров), имел хасидские еврейские корни и был заключен в тюрьму в России до переезда в Германию в 1922 году, а его мать, Йоханна «Ханка» Гротендик , происходила из протестантской немецкой семьи в Германии. Гамбург и работал журналистом. [а] Будучи подростками, оба его родителя оторвались от своего раннего прошлого. [16] На момент его рождения мать Гротендика была замужем за журналистом Йоханнесом Раддацем, и первоначально его имя при рождении было записано как «Александр Раддац». Этот брак был расторгнут в 1929 году, и Шапиро признал свое отцовство, но так и не женился на Ханке Гротендике. [16] У Гротендика был брат по материнской линии, его сводная сестра Майди.

Гротендик жил с родителями в Берлине до конца 1933 года, когда его отец переехал в Париж, спасаясь от нацизма . Вскоре после этого последовала его мать. Гротендика оставили на попечение Вильгельма Гейдорна, лютеранского пастора и учителя в Гамбурге . [17] [18] По словам Винфрида Шарлау , за это время его родители приняли участие в гражданской войне в Испании в качестве нестроевых вспомогательных сил. [19] [20] Однако другие утверждают, что Шапиро воевал в составе анархистской милиции. [21]

Вторая мировая война [ править ]

В мае 1939 года Гротендика посадили в поезд во Францию ​​в Гамбурге. Вскоре после этого его отец был интернирован в Ле Верне . [22] Затем он и его мать были интернированы в различные лагеря с 1940 по 1942 год как «нежелательные опасные иностранцы». [23] Первым лагерем был лагерь Риукрос , где его мать заразилась туберкулезом, который в конечном итоге стал причиной ее смерти в 1957 году. Находясь там, Гротендику удалось посещать местную школу в Менделе. Однажды ему удалось бежать из лагеря, намереваясь убить Гитлера . [22] Позже его мать Ханка была переведена в лагерь для интернированных Гурс до конца Второй мировой войны . [22] Гротендику разрешили жить отдельно от матери. [24]

В деревне Ле Шамбон-сюр-Линьон его приютили и спрятали в местных пансионатах или пансионатах , хотя ему время от времени приходилось искать убежища в лесу во время набегов нацистов, выживая порой без еды и воды в течение нескольких дней. [22] [24]

Его отец был арестован в соответствии с антиеврейским законодательством Виши и отправлен в лагерь для интернированных Дранси , а затем передан французским правительством Виши немцам для отправки на убийство в концентрационный лагерь Освенцим в 1942 году. [8] [25]

В Ле-Шамбоне Гротендик посещал Collège Cévenol (ныне известный как Le Collège-Lycée Cévenol International ), уникальную среднюю школу, основанную в 1938 году местными протестантскими пацифистами и антивоенными активистами. Многие из детей-беженцев, спрятавшихся в Ле-Шамбоне, посещали Колледж Севеноль, и именно в этой школе Гротендик, по-видимому, впервые увлекся математикой. [26]

В 1990 году за то, что они рисковали своей жизнью ради спасения евреев, вся деревня была признана « Праведником народов мира ».

и контакты с исследовательской математикой Исследования

После войны молодой Гротендик изучал математику во Франции, сначала в Университете Монпелье, где поначалу он не очень хорошо успевал, проваливая такие предметы, как астрономия. [27] Работая самостоятельно, он заново открыл меру Лебега . После трех лет все более независимого обучения там он отправился продолжить обучение в Париж в 1948 году. [17]

Первоначально Гротендик присутствовал на Анри Картана семинаре в Высшей нормальной школе , но ему не хватало необходимого опыта, чтобы следить за впечатляющим семинаром. По совету Картана и Андре Вейля он перешел в Университет Нанси , где два ведущих эксперта работали над областью интересов Гротендика — топологическими векторными пространствами : Жан Дьедонне и Лоран Шварц . Последний недавно выиграл медаль Филдса. Он показал новому студенту свою последнюю работу; он завершился списком из 14 открытых вопросов, актуальных для локально-выпуклых пространств . Гротендик представил новые математические методы, которые позволили ему решить все эти проблемы за несколько месяцев. [28]

В Нанси он написал диссертацию по функциональному анализу под руководством этих двух профессоров с 1950 по 1953 год. [29] В это время он был ведущим специалистом в области теории топологических векторных пространств. [30] В 1953 году он переехал в Университет Сан-Паулу в Бразилии, куда иммигрировал по нансеновскому паспорту , поскольку отказался принять французское гражданство (поскольку это повлекло бы за собой военную службу вопреки его убеждениям). Он оставался в Сан-Паулу (не считая длительного визита во Францию ​​с октября 1953 г. по март 1954 г.) до конца 1954 г. Его опубликованные работы за время, проведенное в Бразилии, до сих пор относятся к теории топологических векторных пространств; именно там он завершил свою последнюю крупную работу по этой теме (по «метрической» теории банаховых пространств ).

Гротендик переехал в Лоуренс, штат Канзас , в начале 1955 года и там отложил свой старый предмет, чтобы работать в области алгебраической топологии и гомологической алгебры , а также все чаще и в алгебраической геометрии. [31] [32] Именно у Лоуренса Гротендик разработал свою теорию абелевых категорий и основанную на них переформулировку пучковых когомологий , что привело к очень влиятельной « статье Тохоку ». [33]

пригласил его посетить Гарвард В 1957 году Оскар Зариски , но предложение провалилось, когда он отказался подписать клятву, пообещав не работать над свержением правительства Соединенных Штатов - отказ, который, как его предупредили, грозил посадить его в тюрьму. Перспектива тюрьмы его не беспокоила, пока у него был доступ к книгам. [34]

Сравнивая Гротендика в годы его правления в Нэнси со студентами, обучавшимися в Высшей нормальной школе того времени ( Пьер Самюэль , Роже Годеман , Рене Том , Жак Диксмье , Жан Серф , Ивонн Брюа , Жан-Пьер Серр и Бернар Мальгранж ), Лейла Шнепс сказала:

Он был настолько совершенно неизвестен этой группе и их профессорам, происходил из такой обездоленной и хаотичной среды и был, по сравнению с ними, настолько невежественным в начале своей исследовательской карьеры, что его стремительное восхождение к внезапной славе тем более невероятный; совершенно уникальный случай в истории математики. [35]

Его первые работы по топологическим векторным пространствам в 1953 году были успешно применены к физике и информатике, кульминацией которых стала связь между неравенством Гротендика и парадоксом Эйнштейна-Подольского-Розена в квантовой физике . [36]

Годы IHÉS [ править ]

В 1958 году Гротендик был назначен в Институт высоких научных исследований (IHÉS), новый исследовательский институт, финансируемый из частных источников, который, по сути, был создан для Жана Дьедонне и Гротендика. [3] Гротендик привлекал внимание интенсивной и высокопродуктивной деятельностью тамошних семинаров ( де-факто рабочие группы, привлекавшие к основополагающим работам некоторых талантливейших французских и других математиков молодого поколения). [17] Гротендик практически прекратил публикацию статей в традиционных научных журналах . Однако он смог играть доминирующую роль в математике примерно десять лет, собрав сильную школу. [37]

Официально в это время у него были учениками Мишель Демазюр (работавший над SGA3, над групповыми схемами ), Люк Иллюзи (котангенсный комплекс), Мишель Рейно , Жан-Луи Вердье (сооснователь теории производных категорий ) и Пьер Делинь. . В число сотрудников проекта SGA также входили Майкл Артин ( этальные когомологии ), Ник Кац ( теория монодромии и карандаши Лефшеца ). Жан Жиро разработал по теории торсора там расширения неабелевых когомологий также . Многие другие, такие как Дэвид Мамфорд , Робин Хартшорн , Барри Мазур и К. П. Рамануджам, также были вовлечены.

«Золотой век» [ править ]

Работа Александра Гротендика во время так называемого периода «Золотого века» в IHÉS установила несколько объединяющих тем в алгебраической геометрии , теории чисел , топологии , теории категорий и комплексном анализе . [29] Его первым (до IHÉS) открытием в алгебраической геометрии была теорема Гротендика-Хирцебруха-Римана-Роха , обобщение теоремы Хирцебруха-Римана-Роха , доказанное алгебраически; в этом контексте он также представил К-теорию . Затем, следуя программе, которую он изложил в своем выступлении на Международном конгрессе математиков 1958 года , он представил теорию схем , подробно развив ее в своих «Элементах алгебраической геометрии» ( EGA ) и предоставив новые, более гибкие и общие основы алгебраической геометрии. который был принят в этой области с того времени. [17] Далее он представил теорию этальных когомологий схем, предоставив ключевые инструменты для доказательства гипотез Вейля , а также кристаллические когомологии и алгебраические когомологии де Рама , дополняющие ее. Тесно связанный с этими теориями когомологий, он создал теорию топоса как обобщение топологии (актуальной также в категориальной логике ). Он также предоставил, посредством категорической теории Галуа , алгебраическое определение фундаментальных групп схем, породивших теперь знаменитую этальную фундаментальную группу , а затем выдвинул гипотезу о существовании ее дальнейшего обобщения, которое теперь известно как фундаментальная групповая схема. . В качестве основы для своей последовательной теории двойственности он также ввел производные категории , которые были далее развиты Вердье. [38]

Результаты его работы по этим и другим темам были опубликованы в EGA и в менее отточенной форме в заметках Семинара алгебраической геометрии ( SGA ), который он руководил в IHÉS. [17]

Политическая активность [ править ]

Политические взгляды Гротендика были радикальными и пацифистскими . США Он решительно выступал против интервенции во Вьетнам и советского военного экспансионизма . В знак протеста против войны во Вьетнаме он читал лекции по теории категорий в лесах, окружающих Ханой, пока город подвергался бомбардировкам. [39] В 1966 году он отказался присутствовать на Международном конгрессе математиков (ИКМ) в Москве, где ему должна была вручаться медаль Филдса. [7] Он ушел из научной жизни примерно в 1970 году после того, как узнал, что IHÉS частично финансируется военными. [40] Через несколько лет он вернулся в академические круги в качестве профессора Университета Монпелье .

Хотя вопрос военного финансирования был, пожалуй, наиболее очевидным объяснением ухода Гротендика из IHÉS, те, кто его знал, говорят, что причины разрыва были более глубокими. Пьер Картье , посетитель de longue durée («долгосрочный гость») IHÉS, написал статью о Гротендике для специального тома, опубликованного по случаю сорокалетия IHÉS. [41] В этой публикации Картье отмечает, что, будучи сыном антивоенного анархиста и выросшим среди бесправных, Гротендик всегда испытывал глубокое сострадание к бедным и угнетенным. По словам Картье, Гротендик нашел в Бюрес-сюр-Иветт « une Cage dorée » («позолоченная клетка»). Пока Гротендик работал в IHÉS, оппозиция войне во Вьетнаме накалялась, и Картье предполагает, что это также усилило отвращение Гротендика к тому, что он стал мандарином научного мира. [3] Кроме того, после нескольких лет работы в IHÉS Гротендик, казалось, начал искать новые интеллектуальные интересы. К концу 1960-х годов он начал интересоваться научными областями помимо математики. Дэвид Рюэль , физик, поступивший на факультет IHÉS в 1964 году, рассказал, что Гротендик несколько раз приходил к нему поговорить о физике . [б] Биология интересовала Гротендика гораздо больше, чем физика, и он организовал несколько семинаров по биологическим темам. [41]

В 1970 году Гротендик вместе с двумя другими математиками, Клодом Шевалле и Пьером Самуэлем , создал политическую группу под названием Survivre — название позже было изменено на Survivre et vivre . Группа опубликовала бюллетень, посвященный антивоенным и экологическим вопросам. Он также развил резкую критику неизбирательного использования науки и техники. [42] Гротендик посвятил этой группе следующие три года и был главным редактором ее бюллетеня. [1]

Хотя Гротендик продолжал заниматься математическими исследованиями, его стандартная математическая карьера по большей части закончилась, когда он покинул IHÉS. [8] Покинув IHÉS, Гротендик стал временным профессором Коллеж де Франс . на два года [42] Затем он стал профессором Университета Монпелье, где все больше отдалялся от математического сообщества. Он официально вышел на пенсию в 1988 году, через несколько лет после того, как занял исследовательскую должность в CNRS . [1]

Рукописи, написанные в 1980-е годы [ править ]

Хотя в 1980-е годы он не публиковал математические исследования обычным способом, он выпустил несколько влиятельных рукописей, имеющих ограниченное распространение, как математического, так и биографического содержания.

Выпущенный в 1980 и 1981 годах, La Longue Marche à travers la théorie de Galois ( «Долгий поход через теорию Галуа» ) представляет собой рукописную рукопись объемом 1600 страниц, содержащую многие идеи, которые привели к созданию программы Esquisse d'un . [43] Он также включает изучение теории Тейхмюллера .

В 1983 году, вдохновленный перепиской с Рональдом Брауном и Тимом Портером из Бангорского университета , Гротендик написал 600-страничную рукопись под названием « В поисках стеков» . Все началось с письма, адресованного Дэниелу Квиллену . Это письмо и последующие части были распространены из Бангора (см. Внешние ссылки ниже). В них, в неформальной, дневниковой манере, Гротендик объяснил и развил свои идеи о взаимосвязи между алгебраической теорией гомотопий и алгебраической геометрией , а также о перспективах некоммутативной теории стопок . Рукопись, которую редактирует для публикации Г. Мальциниотис, позже привела к созданию еще одного его монументального произведения — Les Dérivateurs . Написанный в 1991 году, этот последний опус объемом около 2000 страниц стал дальнейшим развитием гомотопических идей, начатых в книге «В погоне за стеками» . [7] Большая часть этой работы предвосхитила последующее развитие в середине 1990-х годов мотивной гомотопической теории Фабьена Мореля и Владимира Воеводского .

В 1984 году Гротендик написал предложение Esquisse d'un Program («Набросок программы»). [43] на должность в Национальном центре научных исследований (CNRS). В нем описаны новые идеи изучения пространства модулей комплексных кривых. Хотя Гротендик никогда не публиковал свои работы в этой области, это предложение вдохновило других математиков работать в этой области, став источником теории детских рисунков и анабелевой геометрии . Позже он был опубликован в двух томах под названием «Геометрические действия Галуа» (Cambridge University Press, 1997).

В этот период Гротендик также дал согласие на публикацию некоторых из своих проектов для EGA по теоремам типа Бертини ( EGA V, опубликовано в Ulam Quarterly в 1992–1993 годах и позже размещено на веб-сайте Grothendieck Circle в 2004 году).

В 1000-страничной автобиографической рукописи Récoltes et semailles (1986) Гротендик описывает свой подход к математике и свой опыт работы в математическом сообществе, сообществе, которое первоначально приняло его открыто и гостеприимно, но постепенно стало восприниматься как контролируемое. по конкуренции и статусу. Он жалуется на то, что он считал «похоронами» его работы, и на предательство со стороны бывших учеников и коллег после того, как он покинул сообщество. [17] Работа Récoltes et semailles теперь доступна в Интернете во французском оригинале. [44] и английский перевод находится в стадии разработки. Японский перевод всей книги в четырех томах был выполнен Цудзи Юичи (1938–2002), другом Гротендика по периоду Survivre . Первые три тома (соответствующие частям 0–3 книги) были опубликованы в период с 1989 по 1993 год, а четвертый том (часть IV) был завершен, и, хотя он и не опубликован, его копии в виде машинописной рукописи распространяются. Гротендик помог с переводом и написал к нему предисловие, в котором назвал Цудзи своим «первым настоящим соавтором». [45] [46] [47] [48] [49] [50] Части Récoltes et semailles переведены на испанский язык. [51] а также в русский перевод, изданный в Москве. [52] Французский оригинал был наконец опубликован в двух томах в январе 2022 года с дополнительными текстами, написанными людьми разных профессий, которые обсуждают определенные аспекты книги. [53]

В 1988 году Гротендик отказался от премии Крафорда , направив открытое письмо средствам массовой информации. Он написал, что ему и другим признанным математикам не нужна дополнительная финансовая поддержка, и раскритиковал то, что он считал упадком этики научного сообщества, которое характеризовалось откровенным научным воровством, которое, по его мнению, стало обычным явлением и терпимо. В письме также выражалась уверенность в том, что совершенно непредвиденные события до конца века приведут к беспрецедентному коллапсу цивилизации. Гротендик, однако, добавил, что его взгляды «ни в коем случае не подразумевают критику целей Королевской академии в управлении ее фондами», и добавил: «Я сожалею о неудобствах, которые мой отказ принять премию Крафорда мог причинить вам и Королевская академия». [54]

Ключ к мечте , [55] 315-страничная рукопись, написанная в 1987 году, представляет собой отчет Гротендика о том, как его размышления об источнике снов привели его к выводу о существовании божества . [56] В примечаниях к этой рукописи Гротендик описал жизнь и деятельность 18 «мутантов», людей, которыми он восхищался как провидцев, намного опередивших свое время и возвещающих новую эпоху. [1] Единственным математиком в его списке был Бернхард Риман . [57] Под влиянием католической мистики Марты Робин , которая, как утверждалось, выжила только благодаря Святой Евхаристии, Гротендик чуть не умер от голода в 1988 году. [1] Его растущая озабоченность духовными вопросами также была очевидна в письме под названием Lettre de la Bonne Nouvelle, отправленном 250 друзьям в январе 1990 года. В нем он описал свои встречи с божеством и объявил, что 14 октября 1996 года начнется «Новый век». . [7]

Grothendieck Festschrift , опубликованный в 1990 году, представлял собой трехтомный сборник исследовательских работ, посвященный его шестидесятилетию в 1988 году. [58]

Более 20 000 страниц математических и других работ Гротендика хранятся в Университете Монпелье и остаются неопубликованными. [59] Они были оцифрованы для сохранения и находятся в свободном открытом доступе через портал Института Монпельерен Александра Гротендика. [60] [61]

Уход в и затворничество смерть

В 1991 году Гротендик переехал по новому адресу, о котором он не сообщил своим предыдущим контактам в математическом сообществе. [1] После этого к нему приходили очень немногие. [62] Местные жители помогли ему поддерживать более разнообразную диету после того, как он начал питаться супом из одуванчиков . [63] В какой-то момент Лейла Шнепс и Пьер Лошак разыскали его, после чего завязали краткую переписку. Таким образом, они стали одними из «последних представителей математического истеблишмента, вступивших с ним в контакт». [64] После его смерти выяснилось, что он жил один в доме в Лассерре, Арьеж , небольшой деревне у подножия Пиренеев . [65]

письмо под названием «Декларация о намерении не публиковать» В январе 2010 года Гротендик написал Люку Иллюзи , утверждая, что все материалы, опубликованные в его отсутствие, были опубликованы без его разрешения. Он просил, чтобы ни одна из его работ не воспроизводилась полностью или частично, а копии этой работы были удалены из библиотек. [66] Он охарактеризовал веб-сайт, посвященный его творчеству, как «мерзость». [67] Его диктат, возможно, был отменен в 2010 году. [68]

13 ноября 2014 года в возрасте 86 лет Гротендик скончался в больнице Сен-Жирон, Арьеж . [26] [69]

Гражданство [ править ]

Гротендик родился в Веймарской Германии . В 1938 году в возрасте десяти лет он переехал во Францию ​​как беженец. Записи о его национальности были уничтожены после падения нацистской Германии он не подавал заявление на получение французского гражданства в 1945 году, и после войны . Таким образом, он стал лицом без гражданства , по крайней мере, большую часть своей трудовой жизни и путешествовал по нансеновскому паспорту . [4] [5] [6] Частично его нежелание иметь французское гражданство объясняется нежеланием служить во французской армии, особенно из-за войны в Алжире (1954–62). [3] [6] [15] В конце концов он подал заявление на получение французского гражданства в начале 1980-х годов, после того как ему уже давно миновал возраст, освобождающий его от военной службы. [3]

Семья [ править ]

Гротендик был очень близок со своей матерью, которой посвятил свою диссертацию. Она умерла в 1957 году от туберкулеза , которым заразилась в лагерях для перемещенных лиц. [42]

У него было пятеро детей: сын от домовладелицы во время его пребывания в Нанси; [3] трое детей: Джоанна (1959 г.), Александр (1961 г.) и Матье (1965 г.) с женой Мирей Дюфур; [1] [34] и один ребенок от Жюстин Скальба, с которой он жил в коммуне в начале 1970-х годов. [1]

Математическая работа [ править ]

Ранние математические работы Гротендика были связаны с функциональным анализом . Между 1949 и 1953 годами он работал над докторской диссертацией по этому предмету в Нанси под руководством Жана Дьедонне и Лорана Шварца . Его ключевые вклады включают топологические тензорные произведения топологических векторных пространств , теорию ядерных пространств как основу для распределений Шварца и применение L п пространства при изучении линейных отображений между топологическими векторными пространствами. За несколько лет он стал ведущим авторитетом в этой области функционального анализа — до такой степени, что Дьедонне сравнивает его влияние в этой области с влиянием Банаха . [70]

Однако именно в алгебраической геометрии и смежных областях Гротендик выполнил свою самую важную и влиятельную работу. Примерно с 1955 года он начал работать над теорией пучков и гомологической алгеброй , выпустив влиятельную « статью Тохоку » ( Sur quelques points d'algèbre homologique , опубликованную в « Математическом журнале Тохоку» в 1957 году), где он представил абелевы категории и применил их теорию, чтобы показать в этом контексте эти когомологии пучков можно определить как определенные производные функторы . [17]

Гомологические методы и теория пучков были введены в алгебраическую геометрию Жаном-Пьером Серром. [71] и другие, после того как пучки были определены Жаном Лере . Гротендик вывел их на более высокий уровень абстракции и превратил в ключевой организующий принцип своей теории. Он переключил внимание с изучения отдельных многообразий на свою относительную точку зрения (пар многообразий, связанных морфизмом ) , позволившую широко обобщить многие классические теоремы. [42] Первым крупным применением была относительная версия теоремы Серра, показывающая, что когомологии когерентного пучка на полном многообразии конечномерны; Теорема Гротендика показывает, что высшие прямые образы когерентных пучков при правильном отображении когерентны; это сводится к теореме Серра над одноточечным пространством.

В 1956 году он применил то же мышление к теореме Римана-Роха , которая недавно была обобщена Хирцебрухом на любые измерения . Теорема Гротендика -Римана-Роха была объявлена ​​Гротендиком на первом Математическом семинаре в Бонне в 1957 году. [42] Оно появилось в печати в статье, написанной Арманом Борелем совместно с Серром. Этот результат был его первой работой по алгебраической геометрии. Гротендик спланировал и выполнил программу восстановления основ алгебраической геометрии, которые в то время находились в состоянии изменения и обсуждались на Клода Шевалле семинаре . Свою программу он изложил в своем выступлении на Международном конгрессе математиков 1958 года .

Его основополагающая работа по алгебраической геометрии находится на более высоком уровне абстракции, чем все предыдущие версии. Он адаптировал использование незамкнутых общих точек , что привело к теории схем . Гротендик также был пионером в систематическом использовании нильпотентов . Как «функции» они могут принимать только значение 0, но несут бесконечно малую информацию в чисто алгебраических условиях. Его теория схем зарекомендовала себя как лучшая универсальная основа в этой области благодаря своей выразительности, а также технической глубине. В этой ситуации можно использовать бирациональную геометрию , методы теории чисел , теорию Галуа , коммутативную алгебру и близкие аналоги методов алгебраической топологии , и все это интегрированным образом. [17] [72] [73]

Гротендик известен своим мастерством абстрактных подходов к математике и своим перфекционизмом в вопросах формулировки и представления. [37] Относительно небольшая часть его работ после 1960 года была опубликована обычным способом научного журнала , первоначально распространявшегося в виде дублированных томов заметок семинаров; его влияние было в значительной степени личным. Его влияние распространилось на многие другие разделы математики, например, на современную теорию D-модулей . Хотя его работу хвалили как «Эйнштейна математики», его работа также вызвала негативную реакцию: многие математики искали более конкретные области и проблемы. [74] [75]

ЕГА , СГА , ФГА [ править ]

Основная часть опубликованных работ Гротендика собрана в монументальных, но неполных книгах « Элементы алгебраической геометрии» ( EGA ) и «Семинар алгебраической геометрии» ( SGA ). Сборник Fondements de la Géometrie Algébrique ( FGA ), в котором собраны доклады, прозвучавшие на семинаре Бурбаки , также содержит важный материал. [17]

Работа Гротендика включает изобретение теорий этальных и l-адических когомологий , которые объясняют наблюдение Андре Вейля , в котором доказывалась связь между топологическими характеристиками разнообразия и его диофантовыми (теоретико-числовыми) свойствами. [42] Например, количество решений уравнения над конечным полем отражает топологическую природу его решений над комплексными числами . Вейль понимал, что для доказательства такой связи нужна новая теория когомологий, но ни он, ни какой-либо другой эксперт не видели, как этого добиться, пока такая теория не была высказана Гротендиком.

Кульминацией этой программы стало доказательство гипотезы Вейля , последняя из которых была решена учеником Гротендика Пьером Делинем в начале 1970-х годов, после того как Гротендик в значительной степени отошел от математики. [17]

Основные математические достижения ​

В ретроспективе Гротендика Récoltes et Semailles он выделил двенадцать своих вкладов, которые, по его мнению, можно было назвать «великими идеями». [76] В хронологическом порядке это:

  1. Топологические тензорные произведения и ядерные пространства
  2. «Непрерывная» и «дискретная» двойственность ( производные категории , « шесть операций »)
  3. Йога связи теоремы Гротендика – Римана – Роха K-теории с теорией пересечений
  4. Схемы
  5. Топои
  6. Этальные когомологии и l-адические когомологии
  7. Мотивы и мотивная группа Галуа (⊗-категории Гротендика)
  8. Кристаллы и кристаллические когомологии , йога «коэффициентов де Рама», «коэффициентов Ходжа»...
  9. «Топологическая алгебра»: ∞-стеки, дериваторы ; когомологический формализм топосов как вдохновение для создания новой гомотопической алгебры
  10. Ручная топология
  11. Йога анабелевой алгебраической геометрии , теория Галуа–Тейхмюллера
  12. «Схематическая» или «арифметическая» точка зрения на правильные многогранники и правильные конфигурации всех видов.

Здесь термин йога обозначает своего рода «метатеорию», которую можно использовать эвристически; Мишель Рейно называет другие термины «нить Ариадны» и «философия» эффективными эквивалентами. [77]

Гротендик писал, что из этих тем самой большой по объему были топосы, поскольку они синтезировали алгебраическую геометрию, топологию и арифметику. Темой, которая получила наиболее широкое развитие, были схемы, которые были основой « по преимуществу » для восьми других тем (всех, кроме 1, 5 и 12). Гротендик писал, что первая и последняя темы — топологические тензорные произведения и регулярные конфигурации — имели более скромный размер, чем остальные. Топологические тензорные продукты сыграли роль инструмента, а не источника вдохновения для дальнейших разработок; но он ожидал, что регулярные конфигурации не смогут быть исчерпаны за время жизни математика, посвятившего себя этому делу. Он считал, что самыми глубокими темами являются мотивы, анабелева геометрия и теория Галуа-Тейхмюллера. [78]

Влияние [ править ]

Многие считают Гротендика величайшим математиком двадцатого века. [11] В некрологе Дэвид Мамфорд и Джон Тейт написали:

Хотя на протяжении ХХ века математика становилась все более абстрактной и общей, величайшим мастером этого направления был Александр Гротендик. Его уникальное умение заключалось в том, чтобы исключить все ненужные гипотезы и зарыться в область настолько глубоко, что ее внутренние закономерности на самом абстрактном уровне проявились, а затем, как волшебник, показать, как решение старых проблем стало простым и простым теперь, когда их истинная природа была раскрыта. [11]

К 1970-м годам работа Гротендика считалась влиятельной не только в алгебраической геометрии и смежных областях теории пучков и гомологической алгебры. [79] но повлиял на логику, в области категорической логики. [80]

Геометрия [ править ]

Гротендик подошел к алгебраической геометрии, прояснив основы этой области и разработав математические инструменты, предназначенные для доказательства ряда заметных гипотез. Алгебраическая геометрия традиционно означала понимание геометрических объектов, таких как алгебраические кривые и поверхности, посредством изучения алгебраических уравнений для этих объектов. Свойства алгебраических уравнений, в свою очередь, изучаются с использованием методов теории колец . В этом подходе свойства геометрического объекта связаны со свойствами связанного с ним кольца. Пространство (например, реальное, комплексное или проективное), в котором определен объект, является внешним по отношению к объекту, тогда как кольцо является внутренним.

Гротендик заложил новую основу алгебраической геометрии, сделав внутренние пространства («спектры») и связанные с ними кольца основными объектами изучения. С этой целью он разработал теорию схем , которые неформально можно рассматривать как топологические пространства, в которых коммутативное кольцо сопоставлено каждому открытому подмножеству пространства. Схемы стали основным объектом изучения практиков современной алгебраической геометрии. Их использование в качестве основы позволило геометрии вобрать в себя технические достижения из других областей. [81]

Его обобщение классической теоремы Римана-Роха связало топологические свойства комплексных алгебраических кривых с их алгебраической структурой и теперь носит его имя, будучи названным «теоремой Гротендика-Хирцебруха-Римана-Роха». Инструменты, которые он разработал для доказательства этой теоремы, положили начало изучению алгебраической и топологической К-теории , которая исследует топологические свойства объектов, связывая их с кольцами. [82] После прямого контакта с идеями Гротендика в Боннском Arbeitstagung топологическая К-теория была основана Михаэлем Атьей и Фридрихом Хирцебрухом . [83]

теории Когомологические ​ ​

Построение Гротендиком новых теорий когомологий , которые используют алгебраические методы для изучения топологических объектов, повлияло на развитие алгебраической теории чисел , алгебраической топологии и теории представлений . В рамках этого проекта его создание теории топоса , теоретико-категорного обобщения топологии точечного множества , оказало влияние на области теории множеств и математической логики . [79]

Гипотезы Вейля были сформулированы в конце 1940-х годов как комплекс математических задач арифметической геометрии . Они описывают свойства аналитических инвариантов, называемых локальными дзета-функциями , числа точек на алгебраической кривой или многообразии более высокой размерности. Открытие Гротендиком ℓ-адических этальных когомологий , первого примера теории когомологий Вейля , открыло путь для доказательства гипотез Вейля, которое в конечном итоге было завершено в 1970-х годах его учеником Пьером Делинем . [82] Масштабный подход Гротендика был назван «провидческой программой». [84] Затем ℓ-адические когомологии стали фундаментальным инструментом для теоретиков чисел и нашли применение в программе Ленглендса . [85]

Гротендика Гипотетическая теория мотивов была задумана как «ℓ-адическая» теория, но без выбора «ℓ», простого числа. Оно не обеспечило намеченный путь к гипотезам Вейля, но послужило основой современных разработок в алгебраической K-теории , мотивной теории гомотопий и мотивной интеграции . [86] Эта теория, Дэниела Квиллена работа и теория классов Черна Гротендика считаются основой теории алгебраических кобордизмов , другого алгебраического аналога топологических идей. [87]

Теория категорий [ править ]

Акцент Гротендика на роли универсальных свойств в различных математических структурах сделал теорию категорий общепринятой в качестве организующего принципа математики в целом. Среди своих применений теория категорий создает общий язык для описания аналогичных структур и методов, встречающихся во многих различных математических системах. [88] Его понятие абелевой категории теперь является основным объектом изучения гомологической алгебры . [89] Появление отдельной математической дисциплины теории категорий объясняется влиянием Гротендика, хотя и непреднамеренным. [90]

В популярной культуре [ править ]

Роман «Полковник Лагримас» ( «Слезы полковника» на английском языке, доступен на сайте Restless Books) пуэрториканско-костариканского писателя Карлоса Фонсека представляет собой полубиографический роман о Гротендике. [91]

У группы Stone Hill All Stars есть песня, названная в честь Александра Гротендика. [92]

В романе « Когда мы перестанем понимать мир » Бенджамин Лабатут посвящает одну главу истории Гротендика. [93]

В романе Пассажир» и его продолжении «Стелла Марис» « Кормака Маккарти один из главных героев — ученик Гротендика. [94]

Публикации [ править ]

  • Гротендик, Александр (1955). «Produits Tensoriels Topologiques et Espaces Nucléaires» [Топологические тензорные произведения и ядерные пространства]. Мемуары Американского математического общества (на французском языке). 16 . Провиденс: Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-1216-7 . МР   0075539 . OCLC   1315788 .
  • Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод Чалджуба, Орландо. Нью-Йорк: Издательство Gordon and Breach Science. ISBN  978-0-677-30020-7 . OCLC   886098 .

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

  1. ↑ В показаниях Пьера Картье утверждается, что его мать имела еврейское немецкое происхождение: «то, что я знаю о его жизни, исходит от самого Гротендика». [15]
  2. ↑ Рюэль изобрел концепцию странного аттрактора в динамической системе и вместе с голландским математиком Флорисом Такенсом разработал новую модель турбулентности в 1970-х годах.

Ссылки [ править ]

  1. ^ Перейти обратно: а б с д и ж г час я Шарлау 2008 .
  2. ^ Картье и др. 2007 , с. 7 .
  3. ^ Перейти обратно: а б с д и ж Картье 2004 .
  4. ^ Перейти обратно: а б с Дуру 2012 .
  5. ^ Перейти обратно: а б Картье 2004 , с. 10, сноска 12.
  6. ^ Перейти обратно: а б с Кляйнерт 2007 .
  7. ^ Перейти обратно: а б с д и Джексон 2004б .
  8. ^ Перейти обратно: а б с Брюс Вебер; Джули Ремайер (14 ноября 2014 г.). «Александр Гротендик, математическая загадка, умер в возрасте 86 лет» . Нью-Йорк Таймс . Архивировано из оригинала 1 января 2022 года.
  9. ^ Мамфорд, Дэвид ; Тейт, Джон (2015). «Александр Гротендик (1928–2014) Математик, восстановивший алгебраическую геометрию» . Природа . 517 (7534): 272. Бибкод : 2015Natur.517..272M . дои : 10.1038/517272a . ISSN   0028-0836 . ПМИД   25592527 .
  10. ^ «Некролог Хранителя» . Independent.co.uk .
  11. ^ Перейти обратно: а б с Некролог Александра Гротендика, написанный Дэвидом Мамфордом и Джоном Тейтом Дэвид Мамфорд из Брауновского и Гарвардского университетов: Архив для переизданий: можно ли объяснить схемы биологам , 14 декабря 2014 г.
  12. ^ «Медали Филдса 1966» . mathunion.org . Архивировано из оригинала 22 марта 2019 года . Проверено 5 января 2022 г.
  13. ^ Шарлау, Винфрид. «Кто такой Александр Гротендик? Анархия, математика, духовность, одиночество» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 года.
  14. ^ Рюэль 2007 , с. 40.
  15. ^ Перейти обратно: а б Картье 2001 .
  16. ^ Перейти обратно: а б «Ранние предпосылки гения» . Архивировано из оригинала 15 июня 2011 года . Проверено 15 июня 2011 г.
  17. ^ Перейти обратно: а б с д и ж г час я дж Джексон 2004а .
  18. ^ Филипп Дуру (6 мая 2019 г.). «Научное сокровище или нечитаемая старая бумага? Загадочные архивы Александра Гротендика» [Научное сокровище или нечитаемая старая бумага? Таинственные архивы Александра Гротендика. Ле Монд (на французском языке).
  19. ^ Шарлау 2008 , с. 931.
  20. ^ Шарлаунд , с. 2: «Оба принимали участие в гражданской войне в Испании, не сражаясь активно, но поддерживая».
  21. ^ Херш и Джон-Штайнер 2011 , с. 109.
  22. ^ Перейти обратно: а б с д Амир Д. Аксель, Художник и математик, Basic Books, 2009, стр. 8 и далее, стр. 8–15.
  23. ^ Петр Прагач, «Заметки о жизни и творчестве Александра Гротендика», в книге Петра Прагача (ред.), «Темы когомологических исследований алгебраических многообразий: конспекты лекций Импанги», Springer Science & Business Media, 2006, стр. xi-xxviii, стр. xii.
  24. ^ Перейти обратно: а б Лука Барбьери Виале, «Александр Гротендик: энтузиазм и творчество», в книгах К. Барточчи, Р. Бетти, А. Герраджио, Р. Луккетти (ред.), « Математические жизни: главные герои 20-го века, от Гильберта до Уайлса», Springer Science. & Business Media, 2007, стр. 237–249, стр. 237.
  25. ^ Рюэль 2007 , с. 35 .
  26. ^ Перейти обратно: а б «Александр Гротендик, или Смерть гения, желавшего быть забытым» . Libération Sciences (на французском языке). 13 ноября 2014 года . Проверено 14 ноября 2014 г.
  27. ^ Филипп Дуру (8 февраля 2012 г.). «Александр Гротендик: путешествие в поисках очевидного» . Образы математики (на французском языке). CNRS.
  28. ^ Пейшото, Татьяна; Битенхольца, Вольфганг (2016). «Памяти Александра Гротендика: великого и загадочного гения математики». arXiv : 1605.08112 [ math.HO ].
  29. ^ Перейти обратно: а б Картье и др. 2007 , «Предисловие».
  30. ^ Хорват, Джон (июль 1976 г.). «Топологические векторные пространства А. Гротендика...» (PDF) . Рецензии на книги. Бюллетень Американского математического общества . 82 (4): 515–521. дои : 10.1090/S0002-9904-1976-14076-1 . Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 года.
  31. ^ Шнепс нд .
  32. ^ Кольмез и Серр 2004 .
  33. ^ Гротендик, Александр (1957), «Sur quelques point d'algèbre homologique», Tohoku Mathematical Journal , вторая серия (на французском языке), 9 (2): 119–221, doi : 10.2748/tmj/1178244839 , ISSN   0040-8735 , МР   0102537
  34. ^ Перейти обратно: а б Херш и Джон-Штайнер 2011 , с. 113.
  35. ^ «Глава 3. От студента к знаменитости: 1949-1952» (PDF) . Кто такой Александр Гротендик: анархия, математика, духовность . Том. 2.
  36. ^ Гийом Обрен (17 марта 2020 г.). «1953 год: «Резюме» с неограниченным развитием» . Образы математики (на французском языке). CNRS.
  37. ^ Перейти обратно: а б Амир Д. Аксель (2009). Художник и математик . Основные книги.
  38. ^ Липман, Джозеф (2009). «Заметки о производных категориях и двойственности Гротендика» (PDF) . Основы двойственности Гротендика для диаграмм схем . Конспект лекций по математике. Том. 1960. Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр. 1–259. дои : 10.1007/978-3-540-85420-3 . ISBN  978-3-540-85419-7 . МР   2490557 . Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 года.
  39. ^ Жизнь и работа Александра Гротендика , American Mathematical Monthly , vol. 113, нет. 9, сноска 6.
  40. ^ SGA1, Конспекты лекций Springer 224, стр. xii, xiii
  41. ^ Перейти обратно: а б Джексон, Аллин (март 1999 г.). «IHÉS в сорок лет» (PDF) . Уведомления АМС . 46 (3): 329–337.
  42. ^ Перейти обратно: а б с д и ж Прагач 2005 .
  43. ^ Перейти обратно: а б Александр Гротендик, План программы , английский перевод
  44. ^ Гротендик 1986 .
  45. ^ Рой Лискер. «В гостях у Александра Гротендика» . Проверено 25 января 2022 г.
  46. ^ Шарлау, Винфрид. «Глава 23. Récoltes et Semailles» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 года . Проверено 25 января 2022 г.
  47. ^ Гротендик, Александр (2015 Сугакуша но кодокуна бокен: сугаку то дзико но хаккен эно таби [ Одинокие приключения математика: путешествие в математику и самопознание ] (на японском языке: Гендай Сугаку-ся).
  48. ^ Гротендик, Александр (2015). Сугаку то хадака но Осама: Ару юмэ то сугаку но маисо [ Математика и голый король: сон и погребение математики ] (на японском языке). Перевод Цудзи Юичи (2-е изд.). Киото: Гендай Сугаку-ша.
  49. ^ Гротендик, Александр (2016). Ару юмэ то сугаку но маисо: Ин то ё но каги [ Сон и погребение математики: Ключ к Инь и Ян ] (на японском языке). Перевод Цудзи Юичи (2-е изд.). Киото: Гендай Сугаку-ша.
  50. ^ Гротендик, Александр (1998). Майсо (3) аруива йотцу но соса [ Похороны (3) или Четыре операции ] (Неопубликованная рукопись) (на японском языке). Перевод Цудзи Юичи.
  51. ^ «Жатва и посев: ключ к мечте» (на испанском языке).
  52. ^ «Бесплатные книги: Жатва и посев» . www.mccme.ru . Проверено 12 сентября 2017 г.
  53. ^ «Издание «Урожай и саженцы» Александра Гротендика» . IHES (на французском языке). 13 января 2022 г. . Проверено 23 января 2022 г.
  54. ^ «Письмо о премии Крафорда, английский перевод» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 6 января 2006 года . Проверено 17 июня 2005 г.
  55. ^ Гротендик, Александр. «Ключ песен» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 года . Проверено 2 декабря 2021 г.
  56. ^ Шарлау 2008 , с. 940.
  57. ^ Шарлау, Винфрид, Мутанты - Les Mutants - медитация Александра Гротендика (PDF) (на немецком языке)
  58. ^ Картье и др. 2007 .
  59. ^ Забытое сокровище математического гения (на французском языке)
  60. ↑ «Каракули» Александра Гротендика наконец сохранены (на французском языке)
  61. ^ «ИМАГ» [Добро пожаловать]. Институт Монпельерен Александра Гротендика (на французском языке).
  62. ^ Галчен, Ривка (9 мая 2022 г.). «Таинственное исчезновение революционного математика» . Житель Нью-Йорка .
  63. ^ Джон Дербишир (2006). Неизвестная величина: реальная и воображаемая история алгебры . Пресса национальных академий. п. 314. ИСБН  9780309164801 .
  64. ^ Лейт, Сэм (20 марта 2004 г.). «Эйнштейн математики» . Зритель . Архивировано из оригинала 11 августа 2016 года . Проверено 26 декабря 2019 г.
  65. ^ Стефан Фукар; Филипп Пажо (14 ноября 2014 г.). «Умер Александр Гротендик, величайший математик ХХ века» . Ле Монд (на французском языке).
  66. ^ «Письмо Гротендика» . Секретный семинар по ведению блога . 9 февраля 2010 года . Проверено 12 сентября 2017 г.
  67. ^ «Круг Гротендика» . Архивировано из оригинала 29 сентября 2014 года . Проверено 13 октября 2015 г.
  68. ^ «Переиздание SGA» . Архивировано из оригинала 29 июня 2016 года . Проверено 12 ноября 2013 г.
  69. ^ «Александр Гротендик — некролог» . Архивировано из оригинала 15 ноября 2014 года.
  70. ^ Дьедонне 2007 .
  71. ^ Теплица 1955 г.
  72. ^ Делинь 1998 .
  73. ^ Макларти, Колин . «Поднимающееся море: Гротендик о простоте и общности I» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 года . Проверено 29 апреля 2020 г.
  74. ^ Пек, Морген (31 января 2007 г.). «Равенство математиков» . НаукаЛайн . Александр Гротендик, возможно, самый выдающийся математик 20-го века...
  75. ^ Лейт 2004 : «[Математик ошеломляющих достижений... легендарная фигура в математическом мире».
  76. ^ Гротендик 1986 , с. 21.
  77. ^ Мишель Рейно (октябрь 2003 г.). «Переписка Гротендика-Серра» (PDF) . Рецензия на книгу. Уведомления АМС . 50 (9): 1086. Архивировано из оригинала (PDF) 3 октября 2003 г.
  78. ^ Гротендик 1986 , с. 22.
  79. ^ Перейти обратно: а б Сондерс Мак Лейн ; Ике Мурдейк (1992). Пучки в геометрии и логике: первое введение в теорию топоса . Springer-Verlag New York Inc. ISBN  0-387-97710-4 .
  80. ^ Дов М. Габбай; Акихиро Канамори; Джон Вудс-младший (2012). Наборы и расширения в двадцатом веке . Эльзевир. п. 733. ИСБН  978-0-444-51621-3 .
  81. ^ Майлз Рид (15 декабря 1988 г.). Бакалавриат по алгебраической геометрии . Издательство Кембриджского университета. п. 115 . ISBN  978-0-521-35662-6 .
  82. ^ Перейти обратно: а б Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для аспирантов по математике , том. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN.  978-0-387-90244-9 , МР   0463157
  83. ^ Майкл Атья (3 апреля 2014 г.). Собрание сочинений Майкла Атьи: Том 7: 2002–2013 гг . Издательство Оксфордского университета. стр. 383–. ISBN  978-0-19-968926-2 .
  84. ^ М. Рам Мурти; В. Кумар Мурти (6 октября 2012 г.). Математическое наследие Шриниваса Рамануджана . Springer Science & Business Media. стр. 156–. ISBN  978-81-322-0769-6 .
  85. ^ Р. П. Ленглендс, Модульные формы и l-адические представления, Конспекты лекций по математике. 349. (1973), 361—500.
  86. ^ Дж. С. Милн (1980). Показывает когомологии . Издательство Принстонского университета.
  87. ^ Марк Левин; Фабьен Морель (23 февраля 2007 г.). Алгебраический кобордизм . Springer Science & Business Media. п. viii. ISBN  978-3-540-36824-3 .
  88. ^ Маркиз, Жан-Пьер (2015). Залта, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии (изд. Зима 2015 г.). Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета.
  89. ^ С. Гельфанд; Юрий Манин (1988). Методы гомологической алгебры . Спрингер.
  90. ^ Ральф Кремер (25 июня 2007 г.). Инструмент и объект: история и философия теории категорий . Springer Science & Business Media. стр. 158–. ISBN  978-3-7643-7524-9 .
  91. ^ «Полковник Лагримас» . Беспокойные книги . Проверено 12 сентября 2017 г.
  92. ^ «Александр Гротендик» . Ютуб . Проверено 15 ноября 2021 г.
  93. ^ Лабатут, Бенхамин (2020). Когда мы перестанем понимать мир . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк. ISBN  978-1-68137-566-3 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
  94. ^ «КОРМАК МАККАРТИ НИКОГДА НЕ БЫЛ ЛУЧШЕ» . Атлантика . Проверено 5 декабря 2022 г.

Источники и дополнительная литература [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме Александра Гротендика .
В Wikiquote есть цитаты, связанные с Александром Гротендиком .
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Alexander_Grothendieck&oldid=1225195690"