Полустабильная абелева разновидность

В алгебраической геометрии полустабильное абелево многообразие — это абелево многообразие, определенное над глобальным или локальным полем , которое характеризуется тем, как оно сокращается в простых числах поля.

Для абелева многообразия $A$ определено над полем $F$ с кольцом целых чисел $R$, рассмотрим Нерона модель $A$, которая является «наилучшей возможной» моделью $A$ определено более $R$. Эту модель можно представить в виде схемы над $\mathrm {Spec} (R)$ (ср. спектр кольца ), для которого общий слой, построенный с помощью морфизма $\mathrm {Spec} (F)\to \mathrm {Spec} (R)$возвращает $A$. Модель Нерона представляет собой гладкую групповую схему , поэтому мы можем рассмотреть $A^{0}$, компонент связности модели Нерона, который содержит тождество группового закона. Это открытая схема подгрупп модели Нерона. Для поля вычетов $k$, $A_{k}^{0}$ это групповое разнообразие над $k$, следовательно, расширение абелева многообразия линейной группой. Если эта линейная группа является алгебраическим тором , так что $A_{k}^{0}$ является полуабелевым многообразием , то $A$ имеет полустабильную редукцию в простом числе, соответствующую $k$. Если $F$ является глобальным полем , то $A$ является полустабильным, если оно имеет хорошую или полустабильную редукцию для всех простых чисел.

Фундаментальная полустабильной редукции о теорема Александра Гротендика утверждает, что абелево многообразие приобретает полустабильную редукцию над конечным расширением $F$.

эллиптическая

Полустабильная эллиптическая кривая может быть описана более конкретно как эллиптическая кривая , имеющая плохую редукцию только мультипликативного типа . Предположим, E — эллиптическая кривая, определенная над рациональных чисел . полем $\mathbb {Q}$. Известно, что существует конечное непустое множество S простых чисел p, для которого E имеет плохую редукцию по модулю p . Последнее означает, что кривая $E_{p}$ полученное приведением E к простому полю с p элементами, имеет особую точку . Грубо говоря, условие мультипликативной редукции сводится к тому, что особая точка является двойной точкой , а не точкой возврата . Решение о том, выполняется ли это условие, можно эффективно вычислить с помощью алгоритма Тейта . Поэтому в данном случае можно решить, является ли редукция полустабильной, а именно, в худшем случае, мультипликативной редукцией.

Теорему о полустабильной редукции для E также можно выразить явно: E приобретает полустабильную редукцию над расширением F, порожденным координатами точек порядка 12.

Ссылки

• Гротендик, Александр (1972). Семинар Буа Мари по алгебраической геометрии - 1967-69 - Группы монодромии в алгебраической геометрии - (SGA 7) - вып. 1 . Конспекты лекций по математике (на французском языке). Полет. 288.Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag . VIII+523. дои : 10.1007/BFb0068688 . ISBN  978-3-540-05987-5 . МР   0354656 .
• Хусмеллер, Дейл Х. (1987). Эллиптические кривые . Тексты для аспирантов по математике . Том. 111. С приложением Рут Лоуренс . Спрингер-Верлаг . ISBN  0-387-96371-5 . Збл   0605.14032 .
• Ланг, Серж (1997). Обзор диофантовой геометрии . Спрингер-Верлаг . п. 70 . ISBN  3-540-61223-8 . Збл   0869.11051 .