Алгебраический тор

В математике — алгебраический тор , где одномерный тор обычно обозначается $\mathbf {G} _{\mathbf {m} }$, $\mathbb {G} _{m}$, или $\mathbb {T}$, является типом коммутативной аффинной алгебраической группы, обычно встречающейся в проективной алгебраической геометрии и торической геометрии . Алгебраические торы более высокой размерности можно моделировать как произведение алгебраических групп. $\mathbf {G} _{\mathbf {m} }$. Эти группы были названы по аналогии с теорией торов в теории групп Ли (см. Картановская подгруппа ). Например, над комплексными числами $\mathbb {C}$ алгебраический тор $\mathbf {G} _{\mathbf {m} }$ изоморфна групповой схеме $\mathbb {C} ^{*}={\text{Spec}}(\mathbb {C} [t,t^{-1}])$, который является теоретико-схемным аналогом группы Ли $U(1)\subset \mathbb {C}$. Фактически, любой $\mathbf {G} _{\mathbf {m} }$-действие в комплексном векторном пространстве можно вернуть к $U(1)$-действие от включения $U(1)\subset \mathbb {C} ^{*}$ как настоящие многообразия.

Торы имеют фундаментальное значение в теории алгебраических групп и групп Ли, а также в изучении связанных с ними геометрических объектов, таких как симметричные пространства и здания .

Алгебраические торы над полями

В большинстве случаев мы предполагаем, что базовое поле совершенно (например, конечное или имеет нулевую характеристику). Эта гипотеза необходима для того, чтобы иметь гладкую групповую схему. ^{стр. 64} , поскольку для алгебраической группы $G$ быть гладким по характеристике $p$, карты

$$(\cdot )^{p^{r}}:{\mathcal {O}}(G)\to {\mathcal {O}}(G)$$

должна быть геометрически уменьшена для достаточно больших $r$, то есть изображение соответствующей карты на $G$ является гладким для достаточно большого размера $r$.

В общем случае вместо алгебраических замыканий приходится использовать сепарабельные замыкания.

Мультипликативная группа поля

Основная статья: Мультипликативная группа

Если $F$ является полем, то мультипликативная группа над $F$ алгебраическая группа $\mathbf {G} _{\mathbf {m} }$ такой, что для любого расширения поля $E/F$ тот $E$-точки изоморфны группе $E^{\times }$. Чтобы правильно определить ее как алгебраическую группу, можно взять аффинное многообразие, определяемое уравнением $xy=1$ в аффинной плоскости над $F$ с координатами $x,y$. Тогда умножение задается ограничением регулярного рационального отображения $F^{2}\times F^{2}\to F^{2}$ определяется $((x,y),(x',y'))\mapsto (xx',yy')$ а обратное — это ограничение регулярного рационального отображения $(x,y)\mapsto (y,x)$.

Определение

Позволять $F$ быть полем с алгебраическим замыканием ${\overline {F}}$. Тогда $F$-тор — алгебраическая группа, определенная над $F$ который изоморфен над ${\overline {F}}$ конечному произведению копий мультипликативной группы.

Другими словами, если $\mathbf {T}$ это $F$-группа является тором тогда и только тогда, когда $\mathbf {T} ({\overline {F}})\cong ({\overline {F}}^{\times })^{r}$ для некоторых $r\geq 1$. Основная терминология, связанная с торами, следующая.

• Целое число $r$ называется рангом или абсолютным рангом тора $\mathrm {T}$.
• Говорят, что тор расщеплен по расширению поля. $E/F$ если $\mathbf {T} (E)\cong (E^{\times })^{r}$. Существует единственное минимальное конечное расширение $F$ над которым $\mathbf {T}$ расщепляется, что называется расщепления полем $\mathbf {T}$.
• The $F$-ранг ​ $\mathbf {T}$ — максимальный ранг расщепляемого подтора тора $\mathbf {T}$. Тор расщеплен тогда и только тогда, когда его $F$-ранг равен его абсолютному рангу.
• Тор называется анизотропным, если его $F$-ранг равен нулю.

Изогении

Изогения между алгебраическими группами — это сюръективный морфизм с конечным ядром; два тора называются изогенными , если существует изогения первого ко второму. Особенно хорошо ведут себя изогении между торами: для любой изогении $\phi :\mathbf {T} \to \mathbf {T} '$ существует «двойная» изогения $\psi :\mathbf {T} '\to \mathbf {T}$ такой, что $\psi \circ \phi$ это карта власти. В частности, изогенность - это отношение эквивалентности между торами.

Примеры

Над алгебраически замкнутым полем

Над любым алгебраически замкнутым полем $k={\overline {k}}$ существует с точностью до изоморфизма единственный тор любого заданного ранга. Для звания $n$ алгебраический тор над $k$ это задается групповой схемой $\mathbf {G} _{m}={\text{Spec}}_{k}(k[t_{1},t_{1}^{-1},\ldots ,t_{n},t_{n}^{-1}])$^{стр. 230} .

Над реальными цифрами

Над полем действительных чисел $\mathbb {R}$ существует ровно (с точностью до изоморфизма) два тора ранга 1:

• расщепленный тор $\mathbb {R} ^{\times }$
• компактная форма, которую можно реализовать как унитарную группу $\mathbf {U} (1)$ или как специальная ортогональная группа $\mathrm {SO} (2)$. Это анизотропный тор. Как группа Ли она также изоморфна 1- тору. $\mathbf {T} ^{1}$, что объясняет картину диагонализуемых алгебраических групп как торов.

Любой действительный тор изогенен конечной сумме этих двух; например настоящий тор $\mathbb {C} ^{\times }$ дважды покрыто (но не изоморфно) $\mathbb {R} ^{\times }\times \mathbb {T} ^{1}$. Это дает пример изогенных неизоморфных торов.

Над конечным полем

Над конечным полем $\mathbb {F} _{q}$ имеется два тора ранга 1: расщепленный, мощности $q-1$, и анизотропный по мощности $q+1$. Последняя может быть реализована как матричная группа

$$\left\{{\begin{pmatrix}t&du\\u&t\end{pmatrix}}:t,u\in \mathbb {F} _{q},t^{2}-du^{2}=1\right\}\subset \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {F} _{q}).$$

В более общем смысле, если $E/F$ является конечным расширением поля степени $d$ то ограничение Вейля из $E$ к $F$ мультипликативной группы $E$ это $F$-тор ранга $d$ и $F$-ранг 1 (обратите внимание, что ограничение скаляров на неразделимое расширение поля приведет к коммутативной алгебраической группе, которая не является тором). Ядро $N_{E/F}$ своей полевой нормы также является тором, который анизотропен и имеет ранг $d-1$. Любой $F$-тор ранга один либо расщеплен, либо изоморфен ядру нормы квадратичного расширения. Два приведенных выше примера являются частными случаями этого: компактный вещественный тор является ядром полевой нормы $\mathbb {C} /\mathbb {R}$ и анизотропный тор над $\mathbb {F} _{q}$ является ядром полевой нормы $\mathbb {F} _{q^{2}}/\mathbb {F} _{q}$.

Веса и совеса

Над сепарабельно замкнутым полем тор T допускает два примарных инварианта. Весовая ​ решетка $X^{\bullet }(T)$ — группа алгебраических гомоморфизмов T → G _m и решетка ковесов $X_{\bullet }(T)$ — группа алгебраических гомоморфизмов G _m → T . Обе эти свободные абелевы группы имеют ранг тора и имеют каноническое невырожденное спаривание. $X^{\bullet }(T)\times X_{\bullet }(T)\to \mathbb {Z}$ данный $(f,g)\mapsto \deg(f\circ g)$, где степень — это число n такое, что композиция равна отображению n-й степени мультипликативной группы. Функтор, заданный взятием весов, представляет собой антиэквивалентность категорий между торами и свободными абелевыми группами, а функтор ковеса является эквивалентностью. В частности, отображения торов характеризуются линейными преобразованиями весов или ковесов, а группа автоморфизмов тора является общей линейной группой над Z . Квазиобратный функтору весов задается функтором дуализации свободных абелевых групп в торы, определяемым его функтором точек как:

$D(M)_{S}(X):=\mathrm {Hom} (M,\mathbb {G} _{m,S}(X)).$

Эту эквивалентность можно обобщить, чтобы она распространялась на группы мультипликативного типа (выделенный класс формальных групп ) и произвольные абелевы группы, и такое обобщение может быть удобно, если кто-то хочет работать с категорией с хорошим поведением, поскольку категория торов не у меня нет ядер или фильтруемых копределов.

Когда поле K не является сепарабельно замкнутым, решетки весов и ковесов тора над K определяются как соответствующие решетки над сепарабельным замыканием. Это индуцирует канонические непрерывные действия абсолютной группы Галуа группы K на решетках. Веса и ковеса, фиксируемые этим действием, являются в точности отображениями, определенными над K . Функтор взятия весов является антиэквивалентностью категории торов над K с алгебраическими гомоморфизмами и категорией конечно порожденных абелевых групп без кручения с действием абсолютной группы Галуа группы K .

Учитывая конечное сепарабельное расширение поля L / K и тор T над L , мы имеем модуля Галуа изоморфизм

$X^{\bullet }(\mathrm {Res} _{L/K}T)\cong \mathrm {Ind} _{G_{L}}^{G_{K}}X^{\bullet }(T).$

Если T — мультипликативная группа, то это придает ограничению скаляров структуру модуля перестановки. Торы, решетки весов которых являются модулями перестановок для группы Галуа, называются квазирасщепимыми, а все квазирасщепляемые торы являются конечными произведениями ограничений скаляров.

Тори в полупростых группах

Линейные представления торов

Как видно из приведенных выше примеров, торы можно представить в виде линейных групп. Альтернативное определение торов:

Линейная алгебраическая группа является тором тогда и только тогда, когда она диагонализуема над алгебраическим замыканием.

Тор расщеплен над полем тогда и только тогда, когда он диагонализуем над этим полем.

Разделение ранга полупростой группы

Если $\mathbf {G}$ — полупростая алгебраическая группа над полем $F$ затем:

• его ранг (или абсолютный ранг ) — это ранг максимальной подгруппы тора в $\mathbf {G}$ (заметим, что все максимальные торы сопряжены над $F$ так что ранг четко определен);
• его $F$-ранг (иногда называемый $F$-split Rank ) — максимальный ранг подгруппы тора в $G$ который разделен на $F$.

Очевидно, что ранг больше или равен $F$-классифицировать; группа называется расщепленной тогда и только тогда, когда имеет место равенство (т. е. существует максимальный тор в $\mathbf {G}$ который разделен на $F$). Группа называется анизотропной, если она не содержит расщепленных торов (т. е. ее $F$-ранг равен нулю).

Классификация полупростых групп

Основная статья: Индекс сисек

В классической теории полупростых алгебр Ли над комплексным полем играют подалгебры Картана фундаментальную роль в классификации с помощью корневых систем и диаграмм Дынкина . Эта классификация эквивалентна классификации связных алгебраических групп над комплексным полем, и подалгебры Картана соответствуют в них максимальным торам. Фактически классификация переносится на случай произвольного основного поля в предположении существования расщепляемого максимального тора (который автоматически выполняется над алгебраически замкнутым полем). Без предположения о расщепленности все становится намного сложнее и необходимо разработать более детальную теорию, которая все еще частично основана на изучении сопряженных действий торов.

Если $\mathbf {T}$ — максимальный тор в полупростой алгебраической группе $\mathbf {G}$ тогда над алгебраическим замыканием возникает корневая система $\Phi$ в векторном пространстве $V=X^{*}(\mathbf {T} )\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R}$. С другой стороны, если ${}_{F}\mathbf {T} \subset \mathbf {T}$ является максимальным $F$-расщепить тор его действие на $F$-алгебра Ли $\mathbf {G}$ дает начало другой корневой системе ${}_{F}\Phi$. Карта ограничений $X^{*}(\mathbf {T} )\to X^{*}(_{F}\mathbf {T} )$ вызывает карту $\Phi \to {}_{F}\Phi \cup \{0\}$ а индекс Титса — это способ кодирования свойств этого отображения и действия группы Галуа ${\overline {F}}/F$ на $\Phi$. Индекс Титса представляет собой «относительную» версию «абсолютной» диаграммы Дынкина, связанной с $\Phi$; очевидно, что данной диаграмме Дынкина может соответствовать лишь конечное число индексов Титса.

Еще один инвариант, связанный с расщепленным тором. ${}_{F}\mathbf {T}$ — анизотропное ядро : это полупростая алгебраическая группа, полученная как производная подгруппа централизатора ${}_{F}\mathbf {T}$ в $\mathbf {G}$ (последняя представляет собой лишь редуктивную группу). Как следует из названия, это анизотропная группа, и ее абсолютный тип однозначно определяется ${}_{F}\Phi$.

Тогда первым шагом на пути к классификации является следующая теорема

Два полупростых $F$-алгебраические группы изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые индексы Титса и изоморфные анизотропные ядра.

Это сводит проблему классификации к анизотропным группам и к определению того, какие индексы Титса могут встречаться для данной диаграммы Дынкина. Последняя проблема была решена Титсом (1966) . Первый связан с когомологий Галуа группами $F$. Точнее, каждому индексу Титса сопоставлена ​​уникальная квазирасщепляемая группа над $F$; тогда каждый $F$-группа с тем же индексом является внутренней формой этой квазирасщепимой группы, и они классифицируются когомологиями Галуа $F$ с коэффициентами в присоединенной группе.

Тори и геометрия

и ранг

Если $G$ является полупростой группой Ли, то ее вещественный ранг равен $\mathbb {R}$-ранг, как определено выше (для любого $\mathbb {R}$-алгебраическая группа, группа вещественных точек которой изоморфна $G$), другими словами, максимальное $r$ такое, что существует вложение $(\mathbb {R} ^{\times })^{r}\to G$. Например, реальный ранг $\mathrm {SL} _{n}(\mathbb {R} )$ равно $n-1$, и реальный ранг $\mathrm {SO} (p,q)$ равно $\min(p,q)$.

Если $X$ - симметричное пространство, связанное с $G$ и $T\subset G$ является максимальным расщепляемым тором, то существует единственная орбита $T$ в $X$ которое представляет собой полностью геодезическое плоское подпространство в $X$. На самом деле это максимальное плоское подпространство, и все такие максимальные подпространства получаются таким образом как орбиты расщепленных торов. Таким образом, существует геометрическое определение вещественного ранга как максимальной размерности плоского подпространства в $X$.

Q-ранг решеток

Если группа Ли $G$ получается как вещественные точки алгебраической группы $\mathbf {G}$ над рациональным полем $\mathbb {Q}$ тогда $\mathbb {Q}$-ранг $\mathbf {G}$ имеет также геометрическое значение. Чтобы добраться до него, нужно ввести арифметическую группу $\Gamma$ связанный с $\mathbf {G}$, что примерно представляет собой группу целых точек $\mathbf {G}$, и факторпространство $M=\Gamma \backslash X$, который является римановым орбифолдом и, следовательно, метрическим пространством. Тогда любой асимптотический конус $M$ гомеоморфен конечному симплициальному комплексу с верхнемерными симплексами размерности, равной $\mathbb {Q}$-ранг $\mathbf {G}$. В частности, $M$ компактен тогда и только тогда, когда $\mathbf {G}$ является анизотропным.

Обратите внимание, что это позволяет определить $\mathbf {Q}$-ранг любой решетки в полупростой группе Ли как размерность ее асимптотического конуса.

Здания

Основная статья: Строительство (математика)

Если $\mathbf {G}$ является полупростой группой над $\mathbb {Q} _{p}$ максимальные расщепленные торы в $\mathbf {G}$ соответствуют квартирам здания Брюа-Титс $X$ связанный с $\mathbf {G}$. В частности, размерность $X$ равен $\mathbb {Q} _{p}$-ранг $\mathbf {G}$.

базовой

Определение

Учитывая базовую схему S , алгебраический тор над S определяется как схема над S которая fpqc локально изоморфна конечному произведению копий мультипликативной групповой схемы Gm _{групповая} / S над S. , Другими словами, существует точно плоское отображение X → S такое, что любая точка в X имеет квазикомпактную открытую окрестность U , образ которой является открытой аффинной подсхемой S , такая что замена базы на U дает конечное произведение копий ГЛ _{1, U} = G _м / U . Один особенно важный случай - это когда S является спектром поля K , что делает тор над S алгебраической группой, расширение которой до некоторого конечного сепарабельного расширения является конечным произведением копий Gm _L / L . В общем, кратность этого произведения (т. е. размерность схемы) называется рангом тора и является локально постоянной функцией на S .

Большинство понятий, определенных для торов над полями, относятся к этому более общему положению.

Примеры

Одним из распространенных примеров алгебраического тора является рассмотрение аффинного конуса. ${\text{Aff}}(X)\subset \mathbb {A} ^{n+1}$ проективной схемы $X\subset \mathbb {P} ^{n}$. Затем, после удаления начала координат, индуцированное отображение проекции

$$\pi :({\text{Aff}}(X)-\{0\})\to X$$

дает структуру алгебраического тора над $X$.

Вес

Для общей базовой схемы S веса и ковеса определяются как fpqc-пучки свободных абелевых групп на S . Они обеспечивают представления фундаментальных группоидов базы относительно топологии fpqc. Если тор локально тривиализируем относительно более слабой топологии, такой как этальная топология, то пучки групп спускаются к одним и тем же топологиям, и эти представления факторизуются через соответствующие факторгруппоиды. В частности, этальный пучок порождает квазиизотривиальный тор, и если S локально нетеров и нормален (в более общем смысле, геометрически неразветвлен ), тор изотривиален. В качестве частичного обратного утверждения теорема Гротендика утверждает, что любой тор конечного типа квазиизотривиален, т. е. расщепляется этальной сюръекцией.

ранга n Для тора T над S скрученная форма — это тор над S , для которого существует fpqc-накрытие S, для которого их базовые расширения изоморфны, т. е. это тор того же ранга. Классы изоморфизма скрученных форм расщепленного тора параметризуются неабелевыми плоскими когомологиями. $H^{1}(S,GL_{n}(\mathbb {Z} ))$, где группа коэффициентов образует постоянный пучок. В частности, скрученные формы расщепленного тора T над полем K параметризуются элементами точечного множества когомологий Галуа $H^{1}(G_{K},GL_{n}(\mathbb {Z} ))$ с тривиальным действием Галуа на коэффициенты. В одномерном случае коэффициенты образуют группу второго порядка, а классы изоморфизма скрученных форм G _m находятся в естественной биекции с сепарабельными квадратичными расширениями K .

Поскольку взятие решетки весов является эквивалентностью категорий, коротким точным последовательностям торов соответствуют короткие точные последовательности соответствующих решеток весов. В частности, расширения торов классифицируются по Ext ¹ шкивы. Они естественно изоморфны группам плоских когомологий $H^{1}(S,\mathrm {Hom} _{\mathbb {Z} }(X^{\bullet }(T_{1}),X^{\bullet }(T_{2})))$. Над полем расширения параметризуются элементами соответствующей группы когомологий Галуа.

Арифметические инварианты

В своей работе о числах Тамагавы Т. Оно ввёл тип функториальных инвариантов торов над конечными сепарабельными расширениями выбранного поля k . Такой инвариант представляет собой набор положительных вещественных функций f _K на классах изоморфизма торов над K , поскольку K пробегает конечные сепарабельные расширения k , удовлетворяющие трем свойствам:

1. Мультипликативность: Учитывая два тора T ₁ и T ₂ над K , f _K ( T ₁ × T ₂ ) = f _K ( T ₁ ) f _K ( T ₂ )
2. Ограничение: для конечного сепарабельного расширения L / K , значение f _L вычисленное на торе L, f K _, вычисленное на его ограничении скаляров на K. равно
3. Проективная тривиальность: если T — тор над K , решетка весов которого является проективным модулем Галуа, то f _K ( T ) = 1.

Т. Оно показал, что таким инвариантом является число Тамагавы тора над числовым полем. Кроме того, он показал, что это частное двух когомологических инвариантов, а именно порядка группы $H^{1}(G_{k},X^{\bullet }(T))\cong Ext^{1}(T,\mathbb {G} _{m})$ (иногда ошибочно называемая группой Пикара группы T , хотя она не классифицирует торсоры G _m над T ) и порядок группы Тейта–Шафаревича .

Приведенное выше понятие инварианта естественным образом обобщается на торы над произвольными базовыми схемами, при этом функции принимают значения в более общих кольцах. Хотя порядок группы расширений является общим инвариантом, два других приведенных выше инварианта, похоже, не имеют интересных аналогов за пределами области полей дробей одномерных областей и их пополнений.

См. также

• Торическая геометрия
• Тор
• Криптография на основе тора
• алгебра Хопфа

Ссылки

• А. Гротендик, SGA 3 Exp. VIII–X
• Т. Оно, О числах Тамагавы
• Т. Оно, О числе Тамагавы алгебраических торов Annals of Mathematics 78 (1) 1963.
• Титс, Жак (1966). «Классификация алгебраических полупростых групп». В Бореле, Арманд; Мостоу, Джордж Д. (ред.). Алгебраические группы и разрывные группы . Материалы симпозиумов по чистой математике. Том. 9. Американская математика. соц. стр. 33–62.
• Витте-Моррис, Дэйв (2015). Введение в арифметические группы . Дедуктивный пресс. п. 492. ИСБН  978-0-9865716-0-2 .