Ортогональная группа

В математике ортогональная группа в размерности n , обозначаемая O( n ) , представляет собой группу сохраняющих расстояние преобразований размерности евклидова пространства n , которые сохраняют фиксированную точку, где групповая операция задается составными преобразованиями. Ортогональную группу иногда называют общей ортогональной группой по аналогии с общей линейной группой . Эквивалентно, это группа размера n × n ортогональных матриц , где групповая операция задается умножением матриц (ортогональная матрица — это действительная матрица матрица которой , обратная равна ее транспонированию ). Ортогональная группа — это алгебраическая группа и группа Ли . Он компактный .

Ортогональная группа размерности n имеет две связные компоненты . Та, которая содержит единичный элемент , является нормальной подгруппой , называемой специальной ортогональной группой и обозначаемой SO( n ) . Она состоит из всех ортогональных матриц определителя 1. Эту группу также называют группой вращений , обобщая тот факт, что в размерностях 2 и 3 ее элементами являются обычные вращения вокруг точки (в размерности 2) или прямой (в размерности 3). ). В низкой размерности эти группы были широко изучены, см. SO(2) , SO(3) и SO(4) . Другой компонент состоит из всех ортогональных матриц определителя −1 . Этот компонент не образует группу, поскольку произведение любых двух его элементов имеет определитель 1 и, следовательно, не является элементом компонента.

В более широком смысле, для любого поля F матрица размера n × n с элементами в F, такая, что ее обратная пропорция равна ее транспонированию, называется ортогональной матрицей над F . Ортогональные n × n ​матрицы образуют подгруппу, обозначаемую O( n , F ) общей линейной группы GL( n , F ) ; то есть

$$\operatorname {O} (n,F)=\left\{Q\in \operatorname {GL} (n,F)\mid Q^{\mathsf {T}}Q=QQ^{\mathsf {T}}=I\right\}.$$

В более общем смысле, учитывая невырожденную симметричную билинейную форму или квадратичную форму. в векторном пространстве над полем ортогональная группа формы — это группа обратимых линейных отображений , сохраняющих форму. Предыдущие ортогональные группы представляют собой особый случай, когда на каком-то основании билинейная форма представляет собой скалярное произведение или, что то же самое, квадратичная форма представляет собой сумму квадратов координат.

Все ортогональные группы являются алгебраическими группами , поскольку условие сохранения формы можно выразить как равенство матриц.

Имя

Название «ортогональная группа» происходит от следующей характеристики ее элементов. Учитывая евклидово векторное пространство E размерности n , элементы ортогональной группы O( n ) являются, с точностью до равномерного масштабирования ( гомотетии ), линейными отображениями из E в E , которые отображают ортогональные векторы в ортогональные векторы.

В евклидовой геометрии

Ортогональ O( n ) — это подгруппа полной линейной группы GL( n , R ) , состоящая из всех эндоморфизмов , сохраняющих евклидову норму ; то есть эндоморфизмы g такие, что $\|g(x)\|=\|x\|.$

Пусть E( n ) — группа евклидовых изометрий пространства евклидова S размерности n . Эта группа не зависит от выбора того или иного пространства, так как все евклидовы пространства одной размерности изоморфны . Подгруппа стабилизатора точки x ∈ S — это подгруппа элементов g ∈ E( n ) таких, что g ( x ) = x . Этот стабилизатор является (или, точнее, изоморфен) O( n ) , поскольку выбор точки в качестве начала координат вызывает изоморфизм между евклидовым пространством и связанным с ним евклидовым векторным пространством.

Существует естественный групповой гомоморфизм p из E( n ) в O( n ) , который определяется формулой

$p(g)(y-x)=g(y)-g(x),$

где, как обычно, вычитание двух точек обозначает вектор перемещения , который отображает вторую точку в первую. Это четко определенный гомоморфизм, поскольку простая проверка показывает, что если две пары точек имеют одинаковую разность, то же самое верно и для их изображений по g (подробнее см. Аффинное пространство § Вычитание и аксиомы Вейля ).

Ядро p — это векторное пространство переводов. Итак, сдвиги образуют нормальную подгруппу в E( n ) , стабилизаторы двух точек сопряжены под действием сдвигов и все стабилизаторы изоморфны O( n ) .

Более того, евклидова группа является полупрямым произведением O ( n ) и группы сдвигов. Отсюда следует, что изучение евклидовой группы по существу сводится к изучению O( n ) .

группа

Выбрав ортонормированный базис евклидова векторного пространства, ортогональную группу можно отождествить с группой (при умножении матриц) ортогональных матриц , которые являются матрицами такими, что

$QQ^{\mathsf {T}}=I.$

этого уравнения следует, что квадрат определителя Q равен Из 1 , и, следовательно, определитель Q равен либо 1 , либо −1 . Ортогональные матрицы с определителем 1 образуют подгруппу, называемую специальной ортогональной группой , обозначаемой SO( n ) , состоящую из всех прямых изометрий O ( n ) , которые сохраняют ориентацию пространства.

SO( n ) — нормальная подгруппа O( n ) как ядро ​​определителя, который является гомоморфизмом группы, образом которого является мультипликативная группа {−1, +1} . Это означает, что ортогональная группа является внутренним полупрямым произведением SO ( n ) и любой подгруппы, образованной тождеством и отражением .

Группа с двумя элементами {± I } (где I — единичная матрица) является нормальной подгруппой и даже характеристической подгруппой группы O( n ) , а если n четно, то и группы SO( n ) . Если n нечетно, O( n ) является внутренним прямым произведением SO ( n ) и {± I } .

Группа SO(2) абелева ) (это не относится к SO( n ) для любого n > 2 . Ее конечные подгруппы представляют собой циклическую группу Ck _k вращений -кратных для каждого положительного целого числа k . Все эти группы являются нормальными подгруппами O(2) и SO(2) .

Каноническая форма

Для любого элемента из O( n ) существует ортогональный базис, где его матрица имеет вид

${\begin{bmatrix}{\begin{matrix}R_{1}&&\\&\ddots &\\&&R_{k}\end{matrix}}&0\\0&{\begin{matrix}\pm 1&&\\&\ddots &\\&&\pm 1\end{matrix}}\\\end{bmatrix}},$

где матрицы R ₁ , ..., R _k представляют собой матрицы вращения 2х2, то есть матрицы вида

${\begin{bmatrix}a&b\\-b&a\end{bmatrix}},$

с ​ ² + б ² = 1 .

Это следует из спектральной теоремы путем перегруппировки собственных значений , которые являются комплексно-сопряженными , и принимая во внимание, что все абсолютные значения собственных значений ортогональной матрицы равны 1 .

Элемент принадлежит SO( n ) находится четное число −1 тогда и только тогда, когда на диагонали .

Особый случай n = 3 известен как теорема Эйлера о вращении , которая утверждает, что каждый (неединичный) элемент SO(3) представляет собой вращение вокруг уникальной пары ось-угол.

Размышления

Отражения — это элементы O( n ), каноническая форма которых равна

${\begin{bmatrix}-1&0\\0&I\end{bmatrix}},$

где I - единичная матрица ( n - 1) × ( n - 1) , а нули обозначают нулевые матрицы строк или столбцов. Другими словами, отражение — это преобразование, преобразующее пространство в его зеркальное отражение относительно гиперплоскости .

Во втором измерении каждое вращение можно разложить на произведение двух отражений . Точнее, поворот на угол θ — это произведение двух отражений, оси которых образуют угол θ /2 .

Произведения до n элементарных отражений всегда достаточно для генерации любого элемента O( n ) . Это непосредственно следует из приведенной выше канонической формы и случая размерности два.

Теорема Картана –Дьедонне является обобщением этого результата на ортогональную группу невырожденной квадратичной формы над полем характеристики, отличной от двух.

Отражение через начало координат (карта v ↦ − v ) является примером элемента O( n ) , который не является продуктом менее чем n отражений.

Группа симметрии сфер

Ортогональная группа O( n ) — это группа симметрии n ( ) и − 1) -сферы (при n = 3 это просто сфера всех объектов со сферической симметрией, если начало координат выбрано в центре.

Группа симметрии круга O ( — 2) . сохраняющая ориентацию, Подгруппа SO(2), изоморфна (как вещественная группа Ли) группе кругов , также известной как U (1) , мультипликативной группе комплексных чисел с абсолютным значением, равным единице. Этот изоморфизм переводит комплексное число exp( φ i ) = cos( φ ) + i sin( φ ) абсолютного значения   1 в специальную ортогональную матрицу

${\begin{bmatrix}\cos(\varphi )&-\sin(\varphi )\\\sin(\varphi )&\cos(\varphi )\end{bmatrix}}.$

В более высокой размерности O( n ) имеет более сложную структуру (в частности, он больше не является коммутативным). Топологические n структуры n -сферы и O( ) сильно коррелированы, и эта корреляция широко используется для изучения обоих топологических пространств .

Структура группы

Группы O( n ) и SO( ) являются вещественными компактными группами Ли размерности n n ( n − 1)/2 . Группа O( n ) имеет два связных компонента , причем SO( n ) является единичным компонентом , то есть связным компонентом, содержащим единичную матрицу .

Как алгебраические группы

Ортогональную группу O( n ) можно отождествить с группой матриц A таких, что A ^Т А = Я. ​ Поскольку оба члена этого уравнения являются симметричными матрицами , это дает n ( n + 1)/2 уравнений, которым должны удовлетворять элементы ортогональной матрицы, и которым не все элементы любой неортогональной матрицы удовлетворяют.

Это доказывает, что O( n ) является алгебраическим множеством . Более того, это можно доказать что его размерность

${\frac {n(n-1)}{2}}=n^{2}-{\frac {n(n+1)}{2}},$

из чего следует, что O( n ) — полное пересечение . Это означает, что все его неприводимые компоненты имеют одинаковую размерность и что у него нет встроенных компонентов .Фактически, O( n ) имеет две неприводимые компоненты, которые различаются знаком определителя (то есть det( A ) = 1 или det( A ) = −1 ). Оба являются неособыми алгебраическими многообразиями одной и той же размерности n ( n - 1)/2 . Компонент с det( A ) = 1 — это SO( n ) .

торы и

Максимальный тор в компактной группе Ли G — это максимальная подгруппа среди подгрупп, изоморфных T ^к для некоторого k , где T = SO(2) — стандартный одномерный тор.

В O(2 n ) и SO(2 n ) для каждого максимального тора существует базис, на котором тор состоит из блочно-диагональных матриц вида

${\begin{bmatrix}R_{1}&&0\\&\ddots &\\0&&R_{n}\end{bmatrix}},$

где каждый R _j принадлежит SO(2) . В O(2 n + 1) и SO(2 n + 1) максимальные торы имеют одинаковую форму, окаймленные строкой и столбцом нулей, и 1 на диагонали.

Группа Вейля группы SO(2 n + 1) является полупрямым произведением $\{\pm 1\}^{n}\rtimes S_{n}$ нормальной элементарной абелевой 2-подгруппы и симметрической группы , где нетривиальный элемент каждого {±1} фактора {±1} ^н действует на соответствующий фактор окружности T × {1} путем инверсии , а симметрическая группа S _n действует на оба {±1} ^н и T × {1 } перестановкой множителей. Элементы группы Вейля представлены матрицами размера O(2 n ) × {±1} .Коэффициент Sn _{представлен матрицами перестановок блоков с} блоками 2х2 и конечной единицей по диагонали. { ±1} ^н компонент представлен блочно-диагональными матрицами с блоками 2х2 либо

${\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\quad {\text{or}}\quad {\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}},$

с последним компонентом ±1, выбранным для определения определителя 1 .

Группа Вейля группы SO(2 n ) — это подгруппа $H_{n-1}\rtimes S_{n}<\{\pm 1\}^{n}\rtimes S_{n}$ SO (2 n + 1) , где H _{n −1} < {±1} ^н является ядром гомоморфизма произведения {±1} ^н → {±1}, заданный формулой $\left(\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{n}\right)\mapsto \varepsilon _{1}\cdots \varepsilon _{n}$; то есть H _{n −1} < {±1} ^н — подгруппа с четным числом знаков минус. Группа Вейля SO(2 n ) представлена ​​в SO(2 n ) прообразами при стандартной инъекции SO(2 n ) → SO(2 n + 1) представителей группы Вейля SO(2 n + 1) . Это матрицы с нечетным числом ${\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}$ блоки не имеют оставшейся последней координаты -1 , чтобы сделать их определители положительными, и, следовательно, не могут быть представлены в SO(2 n ) .

Топология

Низкоразмерная топология

Маломерные (действительные) ортогональные группы — это знакомые пространства :

• О(1) = С ⁰ , двухточечное пространство дискретное
• ТАК(1) = {1}
• SO(2) — это S ¹
• SO(3) — это R P ³
• SO(4) SU дважды покрывается ( 2) × SU (2) = S ³ × С ³ .

Фундаментальная группа

С точки зрения алгебраической топологии , для n > 2 фундаментальная группа SO ( n , R ) является циклической порядка 2 , а спиновая группа Spin( n ) является его универсальным покрытием . При n = 2 фундаментальная группа является бесконечной циклической , а универсальное накрытие соответствует вещественной прямой (группа Spin(2) — единственное связное 2-кратное накрытие ).

Гомотопические группы

Обычно гомотопические группы π _k ( O ) вещественной ортогональной группы связаны с гомотопическими группами сфер и, следовательно, их вообще трудно вычислить. Однако можно вычислить гомотопические группы стабильной ортогональной группы (также известной как бесконечная ортогональная группа), определяемой как прямой предел последовательности включений:

$\operatorname {O} (0)\subset \operatorname {O} (1)\subset \operatorname {O} (2)\subset \cdots \subset O=\bigcup _{k=0}^{\infty }\operatorname {O} (k)$

Поскольку все включения замкнуты, а значит, и корасслоения , это также можно интерпретировать как объединение. С другой стороны, С ^н является однородным пространством для O( n + 1) и имеет следующее расслоение :

$\operatorname {O} (n)\to \operatorname {O} (n+1)\to S^{n},$

что можно понимать как «Ортогональная группа O( n + 1) действует транзитивно на единичной сфере S ^н , а стабилизатор точки (считаемый единичным вектором ) — это ортогональная группа перпендикулярного дополнения , которая является ортогональной группой на одно измерение ниже». Таким образом, естественное включение O( n ) → O( n + 1) есть ( n − 1) -связен , поэтому гомотопические группы стабилизируются, и π _k (O( n + 1)) = π _k (O( n )) для n > k + 1 : таким образом, гомотопические группы стабильного пространства равны нижние гомотопические группы неустойчивых пространств.

Из периодичности Ботта получаем Ω ⁸ O ≅ O , поэтому гомотопические группы O являются 8-кратно периодическими, что означает π _{k + 8} ( O ) = π _k ( O ) , и нужно только перечислить 8 нижних гомотопических групп:

${\begin{aligned}\pi _{0}(O)&=\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \\\pi _{1}(O)&=\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \\\pi _{2}(O)&=0\\\pi _{3}(O)&=\mathbf {Z} \\\pi _{4}(O)&=0\\\pi _{5}(O)&=0\\\pi _{6}(O)&=0\\\pi _{7}(O)&=\mathbf {Z} \end{aligned}}$

с

С помощью конструкции сцепления гомотопические группы стабильного пространства O отождествляются со стабильными векторными расслоениями на сферах ( с точностью до изоморфизма ) со сдвигом размерности на 1: π _k ( O ) = π _{k + 1} ( BO ) . Установка KO = BO × Z = Ω ⁻¹ O × Z (чтобы π ₀ укладывалось в периодичность), получаем:

${\begin{aligned}\pi _{0}(KO)&=\mathbf {Z} \\\pi _{1}(KO)&=\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \\\pi _{2}(KO)&=\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \\\pi _{3}(KO)&=0\\\pi _{4}(KO)&=\mathbf {Z} \\\pi _{5}(KO)&=0\\\pi _{6}(KO)&=0\\\pi _{7}(KO)&=0\end{aligned}}$

гомотопических

Малоразмерные группы

Первые несколько гомотопических групп можно вычислить, используя конкретные описания маломерных групп.

• π ₀ ( O ) = π ₀ (O(1)) = Z /2 Z , из сохранения/реверса ориентации (этот класс сохраняется до O(2) и, следовательно, стабильно)
• π ₁ ( O ) = π ₁ (SO(3)) = Z / 2 Z , что является спином , полученным из SO(3) = R P ³ = С ³ / ( Z / 2 Z ) .
• π ₂ ( O ) = π ₂ (SO(3)) = 0 , который сюръектируется на π ₂ (SO(4)) ; это последнее, таким образом, исчезает.

Группы лжи

Из общих фактов о группах Ли следует , что π ₂ ( G ) всегда равна нулю, а π ₃ ( G ) свободна ( свободная абелева ).

Векторные пучки

π ₀ ( K O) — векторное расслоение над S ⁰ , который состоит из двух точек. Таким образом, над каждой точкой расслоение тривиально, а нетривиальность расслоения — это разница между размерностями векторных пространств над двумя точками, поэтому π ₀ ( K O) = Z размерность — .

Пространства циклов

Используя конкретные описания пространств петель в периодичности Ботта , можно интерпретировать высшие гомотопии O в терминах более простых для анализа гомотопий более низкого порядка. Используя π ₀ , O и O /U имеют две компоненты, K O = B O × Z и K Sp = B Sp × Z имеют счетное число компонент, а остальные связны.

Интерпретация

В двух словах:

• π ₀ ( K O) = Z имеет размерность
• π ₁ ( K O) = Z /2 Z – об ориентации
• π ₂ ( K O) = Z /2 Z — о спине
• π ₄ ( K O) = Z посвящен топологической квантовой теории поля .

Пусть R — любая из четырех тел алгебр R , C , H , O и пусть L _R — тавтологическое линейное расслоение над проективной прямой R P ¹ , и [ L _R ] его класс в K-теории. Отмечая, что Р П ¹ = С ¹ , КП ​ ¹ = С ² , Х П ¹ = С ⁴ , ВКЛ ¹ = С ⁸ , они дают векторные расслоения над соответствующими сферами, и

• π ₁ ( K O) порождается [ L _R ]
• π ₂ ( K O) порождается [ L _C ]
• π ₄ ( K O) порождается [ L _H ]
• π ₈ ( K O) порождается [ L _O ]

С точки зрения геометрии симплектической π ₀ ( K O) ≅ π ₈ ( K O) = Z можно интерпретировать как индекс Маслова , думая о нем как о фундаментальной группе π ₁ (U/O) стабильного лагранжиана. Грассманиан как U/O ≅ Ω ⁷ ( K O) , поэтому π ₁ (U/O) = π ₁₊₇ ( K O) .

Башня Уайтхед

Ортогональная группа закрепляет башню Уайтхеда :

$\cdots \rightarrow \operatorname {Fivebrane} (n)\rightarrow \operatorname {String} (n)\rightarrow \operatorname {Spin} (n)\rightarrow \operatorname {SO} (n)\rightarrow \operatorname {O} (n)$

которое получается последовательным удалением (убийством) гомотопических групп возрастающего порядка. Это делается путем построения коротких точных последовательностей, начинающихся с пространства Эйленберга – Маклейна для удаляемой гомотопической группы. Первые несколько записей в башне — это спиновая группа и струнная группа , им предшествует группа пятибран . Гомотопические группы, которые уничтожаются, в свою очередь: π ₀ ( O ) для получения SO из O , π ₁ ( O ) для получения Spin из SO , π ₃ ( O ) для получения String из Spin , а затем π ₇ ( O ) и более высокого порядка и так далее, чтобы получить браны .

Неопределённой квадратичной формы над действительными числами

Основная статья: Неопределенная ортогональная группа

Над действительными числами невырожденные квадратичные формы классифицируются законом инерции Сильвестра , который утверждает, что в векторном пространстве размерности n такая форма может быть записана как разность суммы p квадратов и суммы q квадратов: с p + q = n . Другими словами, существует основа, на которой матрица квадратичной формы представляет собой диагональную матрицу с p элементами, равными 1 , и q элементами, равными −1 . Пара ( p , q ), называемая инерцией , является инвариантом квадратичной формы в том смысле, что она не зависит от способа вычисления диагональной матрицы.

Ортогональная группа квадратичной формы зависит только от инерции и поэтому обычно обозначается O( p , q ) . Более того, поскольку квадратичная форма и ее противоположность имеют одну и ту же ортогональную группу, то O( p , q ) = O( q , p ) .

Стандартная ортогональная группа — это O( n ) = O( n , 0) = O(0, n ) . Итак, в оставшейся части этого раздела предполагается, что ни p, ни q не равны нулю.

Подгруппа матриц определителя 1 в O( p , q ) обозначается SO( p , q ) . Группа O( p , q ) имеет четыре компонента связности, в зависимости от того, сохраняет ли элемент ориентацию в любом из двух максимальных подпространств, где квадратичная форма является положительно определенной или отрицательно определенной. Компонента единицы, элементы которой сохраняют ориентацию на обоих подпространствах, обозначается SO ⁺ ( п , q ) .

Группа O(3, 1) — это группа Лоренца , которая является фундаментальной в теории относительности . Здесь 3 соответствует пространственным координатам, а 1 соответствует временной координате.

О сложных квадратичных формах

Над полем C комплексных чисел каждая невырожденная квадратичная форма от n переменных эквивалентна x ₁ ² + ... + х _н ² . Таким образом, с точностью до изоморфизма существует только одно невырожденное комплексное квадратичное пространство размерности n и одна связанная с ним ортогональная группа, обычно обозначаемая O( n , C ) . Это группа комплексных ортогональных матриц , комплексных матриц, произведение которых с их транспонированием является единичной матрицей.

Как и в реальном случае, O( n , C ) имеет две компоненты связности. Компонент идентичности состоит из всех матриц определителя 1 из O( n , C ) ; он обозначается SO( n , C ) .

Группы O( n , C ) и SO( n , C ) являются комплексными группами Ли размерности n ( n - 1)/2 над C (размерность над R вдвое больше). При n ≥ 2 эти группы некомпактны.Как и в реальном случае, SO( n , C ) не является односвязным: для n > 2 фундаментальная группа SO ( n , C ) является циклической порядка 2 , тогда как фундаментальная группа SO(2, C ) является З. ​

Над конечными полями

Характеристика отличается от двух

Над полем характеристики, отличной от двух, две квадратичные формы эквивалентны , если их матрицы конгруэнтны , то есть если изменение базиса преобразует матрицу первой формы в матрицу второй формы. Две эквивалентные квадратичные формы, очевидно, имеют одну и ту же ортогональную группу.

Невырожденные квадратичные формы над конечным полем характеристики, отличной от двух, полностью классифицируются на классы конгруэнтности, и в результате этой классификации существует только одна ортогональная группа в нечетном измерении и две в четном измерении.

Точнее, теорема о разложении Витта утверждает, что (в характеристике, отличной от двух) каждое векторное пространство, снабженное невырожденной квадратичной формой Q, можно разложить в прямую сумму попарно ортогональных подпространств.

$V=L_{1}\oplus L_{2}\oplus \cdots \oplus L_{m}\oplus W,$

где каждый L _i является гиперболической плоскостью (т. е. существует базис такой, что матрица ограничения Q на L _i имеет вид $\textstyle {\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}$), а ограничение Q на W анизотропно ) (т. е. Q ( w ) ≠ 0 для каждого ненулевого w в W .

Теорема Шевалле -Уорнинга утверждает, что над конечным полем размерность W не превышает двух.

Если размерность V нечетна, размерность W , таким образом, равна единице, и его матрица конгруэнтна либо $\textstyle {\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}$ или чтобы $\textstyle {\begin{bmatrix}\varphi \end{bmatrix}},$ где 𝜑 — неквадратный скаляр. В результате существует только одна ортогональная группа, которая обозначается O(2 n + 1, q ) , где q — количество элементов конечного поля (степень нечетного простого числа).

Если размерность W равна двум и −1 не является квадратом в основном поле (то есть, если число ее элементов q конгруэнтно 3 по модулю 4), матрица ограничения Q на W конгруэнтна либо I или – I , где I – единичная матрица 2×2. Если размерность W равна двум и −1 является квадратом в основном поле (то есть, если q конгруэнтно 1 по модулю 4), матрица ограничения Q на W конгруэнтна матрице $\textstyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&\varphi \end{bmatrix}},$ φ — любой неквадратный скаляр.

Это означает, что если размерность V четна, существует только две ортогональные группы, в зависимости от того, равна ли размерность W нулю или двум. Они обозначаются соответственно O ⁺ (2 n , q ) и O ⁻ (2 п , q ) .

Ортогональная группа O ^е (2, q ) — группа диэдра порядка 2( q − ε ) , где ε = ± .

Доказательство

Для изучения ортогональной группы O ^е (2, q ) можно предположить, что матрица квадратичной формы равна $Q={\begin{bmatrix}1&0\\0&-\omega \end{bmatrix}},$ потому что для квадратичной формы существует базис, в котором ее матрица диагонализуема. Матрица $A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$ принадлежит ортогональной группе, если AQA ^Т = Q , то есть ² – ωб ² = 1 , ac – ωbd = 0 и c ² – ωд ² = – ω . Поскольку a и b не могут быть одновременно равны нулю (из-за первого уравнения), второе уравнение подразумевает существование ε в F _q , такого что c = εωb и d = εa . Сообщая эти значения в третьем уравнении и используя первое уравнение, можно получить, что ε ² = 1 и, таким образом, ортогональная группа состоит из матриц

${\begin{bmatrix}a&b\\\varepsilon \omega b&\varepsilon a\end{bmatrix}},$

где ​ ² – ωб ² = 1 и ε = ±1 . Более того, определитель матрицы равен ε .

Для дальнейшего изучения ортогональной группы удобно ввести квадратный корень α из ω . Этот квадратный корень принадлежит F _q, если ортогональная группа равна O ⁺ (2, q ) и F _{q ²} в противном случае. Полагая x = a + αb и y = a – αb , имеем

$xy=1,\qquad a={\frac {x+y}{2}}\qquad b={\frac {x-y}{2\alpha }}.$

Если $A_{1}={\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}\\\omega b_{1}&a_{1}\end{bmatrix}}$ и $A_{2}={\begin{bmatrix}a_{2}&b_{2}\\\omega b_{2}&a_{2}\end{bmatrix}}$ две матрицы с определителем один в ортогональной группе, то

$A_{1}A_{2}={\begin{bmatrix}a_{1}a_{2}+\omega b_{1}b_{2}&a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}\\\omega b_{1}a_{2}+\omega a_{1}b_{2}&\omega b_{1}b_{2}+a_{1}a_{1}\end{bmatrix}}.$

Это ортогональная матрица ${\begin{bmatrix}a&b\\\omega b&a\end{bmatrix}},$с а знак равно а ₁ а ₂ + ωb ₁ б ₂ и б знак равно а ₁ б ₂ + б ₁ а ₂ . Таким образом

$a+\alpha b=(a_{1}+\alpha b_{1})(a_{2}+\alpha b_{2}).$

Отсюда следует, что отображение ( a , b ) ↦ a + αb является гомоморфизмом группы ортогональных матриц определителя один в мультипликативную группу F _{q ²} .

В случае с О ⁺ (2 n , q ) образ — это мультипликативная группа F _q , которая является циклической группой порядка q .

В случае с О ^– (2 n , q ) , указанные выше x и y сопряжены и, следовательно , являются образом друг друга согласно автоморфизму Фробениуса . Это означало, что $y=x^{-1}=x^{q},$ и, таким образом , х ^{д +1} = 1 . Для каждого такого x можно восстановить соответствующую ортогональную матрицу. Отсюда следует, что карта $(a,b)\mapsto a+\alpha b$ является групповым изоморфизмом ортогональных матриц определителя 1 группе ( q + 1) -корней из единицы . Эта группа является циклической группой порядка q + 1 , состоящей из степеней g ^{q -1} , где g — примитивный F q _{элемент ²} ,

Для завершения доказательства достаточно проверить, что группа всех ортогональных матриц не абелева и является полупрямым произведением группы {1, −1} и группы ортогональных матриц определителя один.

Сравнение этого доказательства с реальным случаем может оказаться проясняющим.

Здесь задействованы два групповых изоморфизма:

${\begin{aligned}\mathbf {Z} /(q+1)\mathbf {Z} &\to T\\k&\mapsto g^{(q-1)k},\end{aligned}}$

где g — примитивный элемент F _{q ²} а T — мультипликативная группа элемента нормы один в F _{q ²}  ;

${\begin{aligned}\mathbf {T} &\to \operatorname {SO} ^{+}(2,\mathbf {F} _{q})\\x&\mapsto {\begin{bmatrix}a&b\\\omega b&a\end{bmatrix}},\end{aligned}}$

с $a={\frac {x+x^{-1}}{2}}$ и $b={\frac {x-x^{-1}}{2\alpha }}.$

В реальном случае соответствующие изоморфизмы таковы:

${\begin{aligned}\mathbf {R} /2\pi \mathbf {R} &\to C\\\theta &\mapsto e^{i\theta },\end{aligned}}$

где C — круг комплексных чисел нормы один;

${\begin{aligned}\mathbf {C} &\to \operatorname {SO} (2,\mathbf {R} )\\x&\mapsto {\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}},\end{aligned}}$

с $\cos \theta ={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}$ и $\sin \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}.$

Если характеристика не равна двум, порядок ортогональных групп равен

$\left|\operatorname {O} (2n+1,q)\right|=2q^{n^{2}}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{2i}-1\right),$

$\left|\operatorname {O} ^{+}(2n,q)\right|=2q^{n(n-1)}\left(q^{n}-1\right)\prod _{i=1}^{n-1}\left(q^{2i}-1\right),$

$\left|\operatorname {O} ^{-}(2n,q)\right|=2q^{n(n-1)}\left(q^{n}+1\right)\prod _{i=1}^{n-1}\left(q^{2i}-1\right).$

Во второй характеристике формулы те же, за исключением того, что 2 | множитель О(2 n + 1, q ) | необходимо удалить.

Инвариант Диксона

Для ортогональных групп инвариант Диксона представляет собой гомоморфизм ортогональной группы в факторгруппу Z /2 Z (целые числа по модулю 2), принимающий значение 0 в случае, если элемент является произведением четного числа отражений, и значение 1 иначе.

Алгебраически инвариант Диксона можно определить как D ( f ) = ранг ( I − f ) по модулю 2 , где I — тождество ( Тейлор 1992 , теорема 11.43). Над полями, не имеющими характеристики 2, он эквивалентен определителю: определитель равен -1 в степени инварианта Диксона.В полях характеристики 2 определитель всегда равен 1, поэтому инвариант Диксона дает больше информации, чем определитель.

Специальная ортогональная группа является ядром инварианта Диксона. и обычно имеет индекс 2 в O( n , F ) . Когда характеристика F не равна 2, инвариант Диксона равен 0, если определитель равен 1 . Таким образом, когда характеристика не равна 2, SO( n , F ) обычно определяется как элементы O( n , F ) с определителем 1 . Каждый элемент в O( n , F ) имеет определитель ±1 . Таким образом, в характеристике 2 определитель всегда равен 1 .

Инвариант Диксона также можно определить для групп Клиффорда и групп штифтов аналогичным образом (во всех измерениях).

Ортогональные группы характеристики 2

Ортогональные группы над полями характеристики 2 часто демонстрируют особое поведение, некоторые из которых перечислены в этом разделе. (Раньше эти группы были известны как гипоабелевы группы , но этот термин больше не используется.)

• Любая ортогональная группа над любым полем порождается отражениями, за исключением уникального примера, когда векторное пространство является 4-мерным над полем с двумя элементами и индекс Витта равен 2. Отражение во второй характеристике имеет несколько иное определение. Во второй характеристике отражение, ортогональное вектору u, переводит вектор v в v + B ( v , u )/ Q ( u ) · u , где B — билинейная форма и Q — квадратичная форма, связанная с ортогональной геометрией. Сравните это с отражением Хаусхолдера нечетной характеристики или нулевой характеристики, которое переводит v в v - 2· B ( v , u )/ Q ( u ) · u .
• Центр I ортогональной группы обычно имеет порядок 1 по характеристике 2, а не 2, поскольку = − I .
• В нечетных размерностях 2 n + 1 в характеристике 2 ортогональные группы над совершенными полями такие же, как симплектические группы в размерности 2 n . В действительности симметричная форма является знакопеременной в характеристике 2, а поскольку размерность нечетна, она должна иметь ядро ​​размерности 1, а фактор по этому ядру представляет собой симплектическое пространство размерности 2 n , на которое действует ортогональная группа.
• В четных размерностях характеристики 2 ортогональная группа является подгруппой симплектической группы, поскольку симметричная билинейная форма квадратичной формы также является знакопеременной формой.

Спинорная норма

Спинорная норма — это гомоморфизм ортогональной группы над полем F в факторгруппу F. ^× / ( Ф ^× ) ² ( мультипликативная группа поля F с точностью до умножения на квадратные элементы), переводящая отражение в векторе нормы n в образ n в F ^× / ( Ф ^× ) ² .

Для обычной ортогональной группы над вещественными числами она тривиальна, но часто нетривиальна над другими полями или для ортогональной группы квадратичной формы над вещественными числами, которая не является положительно определенной.

Галуа и

В теории когомологий Галуа алгебраических групп вводятся некоторые дополнительные точки зрения. Они имеют объяснительное значение, в частности по отношению к теории квадратичных форм; но по большей части они были постфактум , поскольку речь идет об открытии этого явления. Первый момент заключается в том, что квадратичные формы над полем можно идентифицировать как форму Галуа H ¹ , или скрученные формы ( торсоры ) ортогональной группы. Как алгебраическая группа, ортогональная группа, как правило, не является ни связной, ни односвязной; последний пункт приводит к спиновым явлениям, а первый связан с определителем .

«Спиновое» название спинорной нормы можно объяснить связью со спиновой группой (точнее, контактной группой ). Теперь это можно быстро объяснить с помощью когомологий Галуа (которые, однако, появились после введения этого термина за счет более прямого использования алгебр Клиффорда ). Спиновое накрытие ортогональной группы дает короткую точную последовательность алгебраических групп .

$1\rightarrow \mu _{2}\rightarrow \mathrm {Pin} _{V}\rightarrow \mathrm {O_{V}} \rightarrow 1$

Здесь µ ₂ — алгебраическая группа квадратных корней из 1 ; над полем характеристики, отличной от 2, это примерно то же самое, что двухэлементная группа с тривиальным действием Галуа. Связывающий гомоморфизм из H ⁰ (O _V ) , которая представляет собой просто группу O _V ( F ) F -значных точек, к H ¹ ( µ ₂ ) по существу является спинорной нормой, поскольку H ¹ (μ ₂ ) изоморфна мультипликативной группе поля по модулю квадратов.

Существует также связующий гомоморфизм из H ¹ ортогональной группы к H ² ядра спинового накрытия. Когомологии неабелевы, так что это все, что мы можем сделать, по крайней мере, с обычными определениями.

Алгебра лжи

Алгебра Ли, соответствующая группам Ли O( n , F ) и SO( n , F ), состоит из кососимметричных матриц размера n × n со скобкой Ли [, ] , заданной коммутатором . Обеим группам соответствует одна алгебра Ли. Его часто обозначают ${\mathfrak {o}}(n,F)$ или ${\mathfrak {so}}(n,F)$и называется ортогональной алгеброй Ли или специальной ортогональной алгеброй Ли . числами эти алгебры Ли для разных n являются компактными вещественными формами двух из четырех семейств полупростых алгебр Ли : в нечетной размерности Bk _{Над действительными} , где n = 2k + 1 , и в четной размерности D _r , где n = 2 р .

Поскольку группа SO( n ) неодносвязна, теория представлений ортогональных алгебр Ли включает как представления, соответствующие обычным представлениям ортогональных групп, так и представления, соответствующие проективным представлениям ортогональных групп. (Проективные представления SO( n ) — это просто линейные представления универсального покрытия, спиновой группы Spin( n ).) Последние представляют собой так называемые спиновые представления , которые важны в физике.

В более общем смысле, для векторного пространства V (над полем с характеристикой, не равной 2) с невырожденной симметричной билинейной формой (⋅, ⋅) специальная ортогональная алгебра Ли состоит из бесследовых эндоморфизмов $\varphi$ которые кососимметричны для этой формы ( $(\varphi A,B)+(A,\varphi B)=0$). Вместо этого над полем характеристики 2 рассмотрим знакопеременные эндоморфизмы. Конкретно мы можем приравнять их к знакопеременным тензорам Λ ² В. ​Переписку ведут:

$v\wedge w\mapsto (v,\cdot )w-(w,\cdot )v$

Это описание в равной степени применимо и к неопределенным специальным ортогональным алгебрам Ли. ${\mathfrak {so}}(p,q)$ для симметричных билинейных форм с сигнатурой ( p , q ) .

В отношении действительных чисел эта характеристика используется для интерпретации ротора векторного поля (естественно, 2-вектора) как бесконечно малого вращения или «завитка», отсюда и название.

Связанные группы

Ортогональные группы и специальные ортогональные группы имеют ряд важных подгрупп, супергрупп, факторгрупп и накрывающих групп. Они перечислены ниже.

Включения O( n ) ⊂ U( n ) ⊂ USp(2 n ) и USp( n ) ⊂ U( n ) ⊂ O(2 n ) являются частью последовательности из 8 включений, используемых в геометрическом доказательстве периодичности Ботта. теорема , а соответствующие фактор-пространства являются симметричными пространствами, представляющими независимый интерес – например, U( n )/O( n ) является лагранжианом Грассманианом .

Подгруппы

В физике, особенно в области компактификации Калуцы – Клейна , важно выяснить подгруппы ортогональной группы. Основные из них:

$\mathrm {O} (n)\supset \mathrm {O} (n-1)$ - сохранить ось

$\mathrm {O} (2n)\supset \mathrm {U} (n)\supset \mathrm {SU} (n)$ – U( n ) – это те, которые сохраняют совместимую комплексную структуру или совместимую симплектическую структуру – см. свойство 2 из 3 ; SU( n ) также сохраняет комплексную ориентацию.

$\mathrm {O} (2n)\supset \mathrm {USp} (n)$

$\mathrm {O} (7)\supset \mathrm {G} _{2}$

Супергруппы лжи

Ортогональная группа O( n ) также является важной подгруппой различных групп Ли:

${\begin{aligned}\mathrm {U} (n)&\supset \mathrm {O} (n)\\\mathrm {USp} (2n)&\supset \mathrm {O} (n)\\\mathrm {G} _{2}&\supset \mathrm {O} (3)\\\mathrm {F} _{4}&\supset \mathrm {O} (9)\\\mathrm {E} _{6}&\supset \mathrm {O} (10)\\\mathrm {E} _{7}&\supset \mathrm {O} (12)\\\mathrm {E} _{8}&\supset \mathrm {O} (16)\end{aligned}}$

Конформная группа

Основная статья: Конформная группа

Будучи изометриями , реальные ортогональные преобразования сохраняют углы и, таким образом, являются конформными отображениями , хотя не все конформные линейные преобразования ортогональны. Говоря классическим языком, это разница между конгруэнтностью и подобием , примером которой является конгруэнтность треугольников AAA (угол-угол-угол) SSS (сторона-сторона-сторона) и подобие треугольников . Группа конформных линейных отображений R ^н обозначается CO( n ) для конформной ортогональной группы и состоит из произведения ортогональной группы на группу расширений . Если n нечетно, эти две подгруппы не пересекаются и представляют собой прямое произведение : CO(2 k + 1) = O(2 k + 1) × R ^∗ , где Р ^∗ = R ∖{0 } — вещественная мультипликативная группа , при этом, если n четно, эти подгруппы пересекаются в ±1 , так что это не прямое произведение, а прямое произведение с подгруппой расширения на положительный скаляр: CO (2 к ) = О(2 к ) × р ⁺ .

Аналогично можно определить CSO( n ) ; это всегда: CSO( n ) = CO( n ) ∩ GL ⁺ ( п ) знак равно ТАК ( п ) × р ⁺ .

Дискретные подгруппы

Поскольку ортогональная группа компактна, дискретные подгруппы эквивалентны конечным подгруппам. Эти подгруппы известны как точечные группы и могут быть реализованы как группы симметрии многогранников . Очень важный класс примеров — конечные группы Кокстера , включающие группы симметрии правильных многогранников .

Особенно изучена размерность 3 — см. точечные группы в трёх измерениях , группы многогранников и список сферических групп симметрии . В двумерном пространстве конечные группы либо циклические, либо диэдральные – см. точечные группы в двух измерениях .

Другие конечные подгруппы включают:

• Матрицы перестановок группа Кокстера An ₍ )
• Знаковые матрицы перестановок ( группа Кокстера B _n ); также равно пересечению ортогональной группы с целочисленными матрицами .

факторгруппы

Ортогональная группа не является ни односвязной , ни бесцентровой и, следовательно, имеет как накрывающую , так и факторгруппу соответственно:

• Две покрывающие группы Pin , Pin ₊ ( n ) → O( n ) и Pin ₋ ( n ) → O( n ) ,
• Факторпроективная ортогональная группа , O( n ) → PO( n ) .

Это все обложки 2 к 1.

Для специальной ортогональной группы соответствующими группами являются:

• Спиновая группа , Spin( n ) → SO( n ) ,
• Проективная специальная ортогональная группа , SO( n ) → PSO( n ) .

Спин представляет собой покрытие 2 к 1, тогда как в четном измерении PSO(2 k ) является покрытием 2 к 1, а в нечетном измерении PSO (2 k + 1) является покрытием 1 к 1; т. е. изоморфен SO(2 k + 1) . Эти группы Spin( n ) , SO( n ) и PSO( n ) являются формами групп Ли компактной специальной ортогональной алгебры Ли . ${\mathfrak {so}}(n,\mathbf {R} )$ – Спин – это односвязная форма, тогда как PSO – бесцентровая форма, а SO , вообще говоря, не является ни тем, ни другим.

В размерности 3 и выше это покрытия и факторы, а в размерности 2 и ниже они несколько вырождены; подробности смотрите в конкретных статьях.

однородное пространство:

Основная статья: коллектор Штифеля

Главным однородным пространством ортогональной группы O( n ) является многообразие Штифеля V _n ( R ^н ) ортонормированных базисов (ортонормированных n -шкалов ).

Другими словами, пространство ортонормированных базисов похоже на ортогональную группу, но без выбора базовой точки: для данного ортогонального пространства не существует естественного выбора ортонормированного базиса, но как только он дан, появляется однозначный -одно соответствие между базисами и ортогональной группой. Конкретно, линейное отображение определяется тем, куда оно отправляет базис: точно так же, как обратимое отображение может перевести любой базис в любой другой базис, ортогональное отображение может перевести любой ортогональный базис в любой другой ортогональный базис.

Остальные многообразия Штифеля V _k ( R ^н ) при k < n неполных это ортонормированных базисов (ортонормальных k -фреймов) по-прежнему являются однородными пространствами для ортогональной группы, но не главными однородными пространствами: любой k -фрейм можно перевести в любой другой k -фрейм с помощью ортогонального отображения, но карта не определяется однозначно.

См. также

Конкретные преобразования

• Координатные вращения и отражения
• Отражение через начало

Конкретные группы

• группа вращения, SO(3, R )
• ТАК(8)

Связанные группы

• неопределенная ортогональная группа
• унитарная группа
• симплектическая группа

Списки групп

• список конечных простых групп
• список простых групп Ли

Теория представлений

• Представления классических групп Ли
• Алгебра Брауэра

Ссылки

• Касселс, JWS (1978), Рациональные квадратичные формы , Монографии Лондонского математического общества, том. 13, Академик Пресс , ISBN  0-12-163260-1 , Збл   0395.10029
• Гроув, Ларри К. (2002), Классические группы и геометрическая алгебра , Аспирантура по математике , том. 39, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN.  978-0-8218-2019-3 , МР   : 1859189
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для аспирантов по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер, ISBN  978-3319134666
• Тейлор, Дональд Э. (1992), Геометрия классических групп , Серия сигм в чистой математике, том. 9, Берлин: Heldermann Verlag, ISBN  3-88538-009-9 , МР   1189139 , Збл   0767.20001

Внешние ссылки

• «Ортогональная группа» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Джон Баэз «Находки этой недели по математической физике», неделя 105
• Джон Баэз об Октонионах
• (на итальянском языке) n-мерная параметризация специальной ортогональной группы