Ортогональное дополнение

В математических областях линейной алгебры и функционального ортогональное дополнение подпространства анализа $W$ векторного пространства $V$ оснащен билинейной формой $B$ это набор $W^{\perp }$ всех векторов в $V$ которые ортогональны каждому вектору в $W$ . Неофициально его называют perp , сокращенно от перпендикулярного дополнения . Это подпространство $V$ .

Пример [ править ]

Позволять $V=(\mathbb {R} ^{5},\langle \cdot ,\cdot \rangle )$ быть векторным пространством, снабженным обычным скалярным произведением $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ (таким образом делая его внутренним пространством продукта ), и пусть

W=\{\mathbf {u} \in V:\mathbf {A} x=\mathbf {u} ,\ x\in \mathbb {R} ^{2}\},

с

\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\2&6\\3&9\\5&3\\\end{pmatrix}}.

то его ортогональное дополнение

W^{\perp }=\{\mathbf {v} \in V:\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =0\ \ \forall \ \mathbf {u} \in W\}

также можно определить как

W^{\perp }=\{\mathbf {v} \in V:\mathbf {\tilde {A}} y=\mathbf {v} ,\ y\in \mathbb {R} ^{3}\},

существование

\mathbf {\tilde {A}} ={\begin{pmatrix}-2&-3&-5\\-6&-9&-3\\1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}.

Тот факт, что каждый вектор-столбец в $\mathbf {A}$ ортогонален каждому вектору-столбцу в $\mathbf {\tilde {A}}$ можно проверить непосредственным вычислением. Тот факт, что промежутки этих векторов ортогональны, следует из билинейности скалярного произведения. Наконец, тот факт, что эти пространства являются ортогональными дополнениями, следует из приведенных ниже соотношений размерностей.

Общие билинейные формы [ править ]

Позволять $V$ быть векторным пространством над полем $\mathbb {F}$ оснащен билинейной формой $B.$ Мы определяем $\mathbf {u}$ быть левоортогональным $\mathbf {v}$ , и $\mathbf {v}$ быть правоортогональным $\mathbf {u}$ , когда $B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=0.$ Для подмножества $W$ из $V,$ определить левоортогональное дополнение $W^{\perp }$ быть

W^{\perp }=\left\{\mathbf {x} \in V:B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=0\ \ \forall \ \mathbf {y} \in W\right\}.

Имеется соответствующее определение правоортогонального дополнения. Для рефлексивной билинейной формы , где $B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=0\implies B(\mathbf {v} ,\mathbf {u} )=0\ \ \forall \ \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V$ левое и правое дополнения совпадают. Это будет так, если $B$ представляет собой симметричную или знакопеременную форму .

Определение распространяется на билинейную форму на свободном модуле над коммутативным кольцом и на полуторалинейную форму, расширенную для включения любого свободного модуля над коммутативным кольцом с сопряжением . ^[1]

Свойства [ править ]

Ортогональное дополнение – это подпространство $V$ ;
Если $X\subseteq Y$ затем $X^{\perp }\supseteq Y^{\perp }$ ;
Радикальный $V^{\perp }$ из $V$ является подпространством каждого ортогонального дополнения;
$W\subseteq (W^{\perp })^{\perp }$ ;
Если $B$ невырожден и $V$ конечномерна, то $\dim(W)+\dim(W^{\perp })=\dim(V)$ .
Если $L_{1},\ldots ,L_{r}$ являются подпространствами конечномерного пространства $V$ и $L_{*}=L_{1}\cap \cdots \cap L_{r},$ затем $L_{*}^{\perp }=L_{1}^{\perp }+\cdots +L_{r}^{\perp }$ .

Внутренние пространства продукта [ править ]

В этом разделе рассматриваются ортогональные дополнения в пространстве внутреннего произведения. $H$ . ^[2]

Два вектора $\mathbf {x}$ и $\mathbf {y}$ называются ортогональными , если $\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =0$ , что происходит тогда и только тогда, когда $\|\mathbf {x} \|\leq \|\mathbf {x} +s\mathbf {y} \|\ \forall$ скаляры $s$ . ^[3]

Если $C$ любое подмножество внутреннего пространства продукта $H$ тогда это ортогональное дополнение в $H$ векторное подпространство

{\begin{aligned}C^{\perp }:&=\{\mathbf {x} \in H:\langle \mathbf {x} ,\mathbf {c} \rangle =0\ \ \forall \ \mathbf {c} \in C\}\\&=\{\mathbf {x} \in H:\langle \mathbf {c} ,\mathbf {x} \rangle =0\ \ \forall \ \mathbf {c} \in C\}\end{aligned}}

которое всегда является закрытым подмножеством

H

^[3]^{[доказательство 1]} что удовлетворяет:

$C^{\bot }=\left(\operatorname {cl} _{H}\left(\operatorname {span} C\right)\right)^{\bot }$ ;
$C^{\bot }\cap \operatorname {cl} _{H}\left(\operatorname {span} C\right)=\{0\}$ ;
$C^{\bot }\cap \left(\operatorname {span} C\right)=\{0\}$ ;
$C\subseteq \left(C^{\bot }\right)^{\bot }$ ;
$\operatorname {cl} _{H}\left(\operatorname {span} C\right)=\left(C^{\bot }\right)^{\bot }$ .

Если $C$ является векторным подпространством пространства внутреннего продукта $H$ затем

C^{\bot }=\left\{\mathbf {x} \in H:\|\mathbf {x} \|\leq \|\mathbf {x} +\mathbf {c} \|\ \ \forall \ \mathbf {c} \in C\right\}.

Если

C

является замкнутым векторным подпространством гильбертова пространства.

H

затем ^[3]

H=C\oplus C^{\bot }\qquad {\text{ and }}\qquad \left(C^{\bot }\right)^{\bot }=C

где

H=C\oplus C^{\bot }

называется ортогональное разложение

H

в

C

и

C^{\bot }

и это указывает на то, что

C

является дополненным подпространством

H

с дополнением

C^{\bot }.

Свойства [ править ]

Ортогональное дополнение всегда замкнуто в метрической топологии. В конечномерных пространствах это просто пример того, что все подпространства векторного пространства замкнуты. В бесконечномерных гильбертовых пространствах некоторые подпространства не замкнуты, но все ортогональные дополнения замкнуты. Если $W$ — векторное подпространство пространства внутреннего произведения, ортогональное дополнение ортогонального дополнения $W$ это закрытие $W,$ то есть,

\left(W^{\bot }\right)^{\bot }={\overline {W}}.

Ниже приведены некоторые другие полезные свойства, которые всегда сохраняются. Позволять $H$ — гильбертово пространство и пусть $X$ и $Y$ — его линейные подпространства. Затем:

$X^{\bot }={\overline {X}}^{\bot }$ ;
если $Y\subseteq X$ затем $X^{\bot }\subseteq Y^{\bot }$ ;
$X\cap X^{\bot }=\{0\}$ ;
$X\subseteq (X^{\bot })^{\bot }$ ;
если $X$ является замкнутым линейным подпространством $H$ затем $(X^{\bot })^{\bot }=X$ ;
если $X$ является замкнутым линейным подпространством $H$ затем $H=X\oplus X^{\bot },$ (внутренняя) прямая сумма .

Ортогональное дополнение обобщает аннулятор и дает связь Галуа на подмножествах пространства внутреннего продукта с соответствующим оператором замыкания , топологическим замыканием диапазона.

Конечные размеры [ править ]

Для конечномерного пространства внутреннего произведения размерности $n$ , ортогональное дополнение $k$ -мерное подпространство – это $(n-k)$ -мерное подпространство, а двойное ортогональное дополнение является исходным подпространством:

\left(W^{\bot }\right)^{\bot }=W.

Если $\mathbf {A} \in \mathbb {M} _{mn}$ , где ${\mathcal {R}}(\mathbf {A} )$ , ${\mathcal {C}}(\mathbf {A} )$ , и ${\mathcal {N}}(\mathbf {A} )$ относятся к пространству строк , пространству столбцов и пустому пространству $\mathbf {A}$ (соответственно), тогда ^[4]

\left({\mathcal {R}}(\mathbf {A} )\right)^{\bot }={\mathcal {N}}(\mathbf {A} )\qquad {\text{ and }}\qquad \left({\mathcal {C}}(\mathbf {A} )\right)^{\bot }={\mathcal {N}}(\mathbf {A} )^{\operatorname {T} }.

Банаховы пространства [ править ]

Естественный аналог этого понятия существует в общих банаховых пространствах . В этом случае определяется ортогональное дополнение к $W$ быть двойственного подпространством $V$ определяется аналогично аннигилятору

W^{\bot }=\left\{x\in V^{*}:\forall y\in W,x(y)=0\right\}.

Это всегда замкнутое подпространство $V^{*}$ . Существует также аналог свойства двойного дополнения. $W^{\perp \perp }$ теперь является подпространством $V^{**}$ (что не идентично $V$ ). Однако рефлексивные пространства обладают естественным изоморфизмом $i$ между $V$ и $V^{**}$ . В этом случае мы имеем

i{\overline {W}}=W^{\perp \perp }.

Это довольно прямое следствие теоремы Хана–Банаха .

Приложения [ править ]

В специальной теории относительности ортогональное дополнение используется для определения одновременной гиперплоскости в точке мировой линии . Билинейная форма $\eta$ используемое в пространстве Минковского определяет псевдоевклидово пространство событий. ^[5]Начало координат и все события на световом конусе самоортогональны. Когда событие времени и событие пространства оцениваются как ноль в билинейной форме, тогда они гиперболически-ортогональны . Эта терминология связана с использованием двух сопряженных гипербол в псевдоевклидовой плоскости: диаметры сопряженных этих гипербол гиперболически-ортогональны.

См. также [ править ]

Дополненная решетка
Дополненное подпространство
Теорема о проекции Гильберта - О замкнутых выпуклых подмножествах в гильбертовом пространстве
Ортогональная проекция — идемпотентное линейное преобразование векторного пространства в себя.

Примечания [ править ]

^ Если $C=\varnothing$ затем $C^{\bot }=H,$ который закрыт в $H$ так что предположим $C\neq \varnothing .$ Позволять ${\textstyle P:=\prod _{c\in C}\mathbb {F} }$ где $\mathbb {F}$ является основным скалярным полем $H$ и определить $L:H\to P$ к $L(h):=\left(\langle h,c\rangle \right)_{c\in C},$ который является непрерывным, поскольку это верно для каждой из его координат $h\mapsto \langle h,c\rangle .$ Затем $C^{\bot }=L^{-1}(0)=L^{-1}\left(\{0\}\right)$ закрыт в $H$ потому что $\{0\}$ закрыт в $P$ и $L:H\to P$ является непрерывным. Если $\langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle$ линейна по своей первой (соответственно второй) координате, то $L:H\to P$ — линейное отображение (соответственно антилинейное отображение ); в любом случае, его ядро $\operatorname {ker} L=L^{-1}(0)=C^{\bot }$ является векторным подпространством $H.$ КЭД

Ссылки [ править ]

^ Адкинс и Вайнтрауб (1992) стр.359
^ Адкинс и Вайнтрауб (1992) стр.272
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Рудин 1991 , с. 306–312.
^ "Ортогональное дополнение"
^ Г. Д. Биркгоф (1923) Относительность и современная физика , страницы 62,63, издательство Гарвардского университета

Библиография [ править ]

Адкинс, Уильям А.; Вайнтрауб, Стивен Х. (1992), Алгебра: подход с помощью теории модулей , Тексты для аспирантов по математике , том. 136, Шпрингер-Верлаг , ISBN 3-540-97839-9 , Збл 0768.00003
Халмос, Пол Р. (1974), Конечномерные векторные пространства , Тексты для бакалавров по математике , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90093-3 , Збл 0288.15002
Милнор, Дж .; Хуземоллер, Д. (1973), Симметричные билинейные формы , Результаты математики и ее границы , том. 73, Спрингер Верлаг , ISBN 3-540-06009-Х , Збл 0292.10016
Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5 . OCLC 21163277 .

Внешние ссылки [ править ]

[4] Если $C=\varnothing$ затем $C^{\bot }=H,$ который закрыт в $H$ так что предположим $C\neq \varnothing .$ Позволять ${\textstyle P:=\prod _{c\in C}\mathbb {F} }$ где $\mathbb {F}$ является основным скалярным полем $H$ и определить $L:H\to P$ к $L(h):=\left(\langle h,c\rangle \right)_{c\in C},$ который является непрерывным, поскольку это верно для каждой из его координат $h\mapsto \langle h,c\rangle .$ Затем $C^{\bot }=L^{-1}(0)=L^{-1}\left(\{0\}\right)$ закрыт в $H$ потому что $\{0\}$ закрыт в $P$ и $L:H\to P$ является непрерывным. Если $\langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle$ линейна по своей первой (соответственно второй) координате, то $L:H\to P$ — линейное отображение (соответственно антилинейное отображение ); в любом случае, его ядро $\operatorname {ker} L=L^{-1}(0)=C^{\bot }$ является векторным подпространством $H.$ КЭД

[1] Адкинс и Вайнтрауб (1992) стр.359

[2] Адкинс и Вайнтрауб (1992) стр.272

[FOOTNOTERudin1991306–312-3] Перейти обратно: ^а ^б ^с Рудин 1991 , с. 306–312.

[5] "Ортогональное дополнение"

[6] Г. Д. Биркгоф (1923) Относительность и современная физика , страницы 62,63, издательство Гарвардского университета

[1]

[2]

[3]

[доказательство 1]

[4]

[5]

v т Это гильбертовы пространства
Basic concepts	Adjoint Inner product and L-semi-inner product Hilbert space and Prehilbert space Orthogonal complement Orthonormal basis
Main results	Bessel's inequality Cauchy–Schwarz inequality Riesz representation
Other results	Hilbert projection theorem Parseval's identity Polarization identity (Parallelogram law)
Maps	Compact operator on Hilbert space Densely defined Hermitian form Hilbert–Schmidt Normal Self-adjoint Sesquilinear form Trace class Unitary
Examples	Cⁿ(K) with K compact & n<∞ Segal–Bargmann F