Ортогональное дополнение

В математических областях линейной алгебры и анализа ортогональное дополнение подпространства функционального $W$ векторного пространства $V$ оснащен билинейной формой $B$ это набор $W^{\perp }$всех векторов в $V$ которые ортогональны каждому вектору в $W$. Неофициально его называют perp , сокращенно от перпендикулярного дополнения . Это подпространство $V$.

Пример

Позволять $V=(\mathbb {R} ^{5},\langle \cdot ,\cdot \rangle )$ быть векторным пространством, снабженным обычным скалярным произведением $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ (таким образом делая его внутренним пространством продукта ), и пусть

$$W=\{\mathbf {u} \in V:\mathbf {A} x=\mathbf {u} ,\ x\in \mathbb {R} ^{2}\},$$

с

$$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\2&6\\3&9\\5&3\\\end{pmatrix}}.$$

то его ортогональное дополнение

$$W^{\perp }=\{\mathbf {v} \in V:\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =0\ \ \forall \ \mathbf {u} \in W\}$$

также можно определить как

$$W^{\perp }=\{\mathbf {v} \in V:\mathbf {\tilde {A}} y=\mathbf {v} ,\ y\in \mathbb {R} ^{3}\},$$

существование

$$\mathbf {\tilde {A}} ={\begin{pmatrix}-2&-3&-5\\-6&-9&-3\\1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}.$$

Тот факт, что каждый вектор-столбец в $\mathbf {A}$ ортогонален каждому вектору-столбцу в $\mathbf {\tilde {A}}$ можно проверить непосредственным вычислением. Тот факт, что промежутки этих векторов ортогональны, следует из билинейности скалярного произведения. Наконец, тот факт, что эти пространства являются ортогональными дополнениями, следует из приведенных ниже соотношений размерностей.

Общие билинейные формы

Позволять $V$ быть векторным пространством над полем $\mathbb {F}$ оснащен билинейной формой $B.$ Мы определяем $\mathbf {u}$ быть левоортогональным $\mathbf {v}$, и $\mathbf {v}$ быть правоортогональным $\mathbf {u}$, когда $B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=0.$ Для подмножества $W$ из $V,$ определить левоортогональное дополнение $W^{\perp }$ быть

$$W^{\perp }=\left\{\mathbf {x} \in V:B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=0\ \ \forall \ \mathbf {y} \in W\right\}.$$

Имеется соответствующее определение правоортогонального дополнения. Для рефлексивной билинейной формы , где $B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=0\implies B(\mathbf {v} ,\mathbf {u} )=0\ \ \forall \ \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V$левое и правое дополнения совпадают. Это будет так, если $B$ представляет собой симметричную или знакопеременную форму .

Определение распространяется на билинейную форму на свободном модуле над коммутативным кольцом и на полуторалинейную форму, расширенную для включения любого свободного модуля над коммутативным кольцом с сопряжением .

Свойства

• Ортогональное дополнение – это подпространство $V$;
• Если $X\subseteq Y$ затем $X^{\perp }\supseteq Y^{\perp }$;
• Радикальный ​ $V^{\perp }$ из $V$ является подпространством каждого ортогонального дополнения;
• $W\subseteq (W^{\perp })^{\perp }$;
• Если $B$ невырожден ​ и $V$ конечномерна, то $\dim(W)+\dim(W^{\perp })=\dim(V)$.
• Если $L_{1},\ldots ,L_{r}$ являются подпространствами конечномерного пространства $V$ и $L_{*}=L_{1}\cap \cdots \cap L_{r},$ затем $L_{*}^{\perp }=L_{1}^{\perp }+\cdots +L_{r}^{\perp }$.

Внутренние пространства продукта

См. Также: Ортогональная проекция.

В этом разделе рассматриваются ортогональные дополнения в пространстве внутреннего произведения. $H$.

Два вектора $\mathbf {x}$ и $\mathbf {y}$ называются ортогональными, если $\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =0$, что происходит тогда и только тогда, когда $\|\mathbf {x} \|\leq \|\mathbf {x} +s\mathbf {y} \|\ \forall$ скаляры $s$.

Если $C$ любое подмножество внутреннего пространства продукта $H$ тогда это ортогональное дополнение в $H$ векторное подпространство

$${\begin{aligned}C^{\perp }:&=\{\mathbf {x} \in H:\langle \mathbf {x} ,\mathbf {c} \rangle =0\ \ \forall \ \mathbf {c} \in C\}\\&=\{\mathbf {x} \in H:\langle \mathbf {c} ,\mathbf {x} \rangle =0\ \ \forall \ \mathbf {c} \in C\}\end{aligned}}$$

которое всегда является закрытым подмножеством $H$ что удовлетворяет:

• $C^{\bot }=\left(\operatorname {cl} _{H}\left(\operatorname {span} C\right)\right)^{\bot }$;
• $C^{\bot }\cap \operatorname {cl} _{H}\left(\operatorname {span} C\right)=\{0\}$;
• $C^{\bot }\cap \left(\operatorname {span} C\right)=\{0\}$;
• $C\subseteq \left(C^{\bot }\right)^{\bot }$;
• $\operatorname {cl} _{H}\left(\operatorname {span} C\right)=\left(C^{\bot }\right)^{\bot }$.

Если $C$ является векторным подпространством пространства внутреннего продукта $H$ затем

$$C^{\bot }=\left\{\mathbf {x} \in H:\|\mathbf {x} \|\leq \|\mathbf {x} +\mathbf {c} \|\ \ \forall \ \mathbf {c} \in C\right\}.$$

Если $C$ является замкнутым векторным подпространством гильбертова пространства. $H$ затем

$$H=C\oplus C^{\bot }\qquad {\text{ and }}\qquad \left(C^{\bot }\right)^{\bot }=C$$

где $H=C\oplus C^{\bot }$ называется ортогональное разложение $H$ в $C$ и $C^{\bot }$ и это указывает на то, что $C$ является дополненным подпространством $H$ с дополнением $C^{\bot }.$

Свойства

Ортогональное дополнение всегда замкнуто в метрической топологии. В конечномерных пространствах это просто пример того, что все подпространства векторного пространства замкнуты. В бесконечномерных гильбертовых пространствах некоторые подпространства не замкнуты, но все ортогональные дополнения замкнуты. Если $W$ — векторное подпространство пространства внутреннего произведения, ортогональное дополнение ортогонального дополнения $W$ это закрытие ​ $W,$ то есть,

$$\left(W^{\bot }\right)^{\bot }={\overline {W}}.$$

Ниже приведены некоторые другие полезные свойства, которые всегда сохраняются. Позволять $H$ — гильбертово пространство и пусть $X$ и $Y$ — его линейные подпространства. Затем:

• $X^{\bot }={\overline {X}}^{\bot }$;
• если $Y\subseteq X$ затем $X^{\bot }\subseteq Y^{\bot }$;
• $X\cap X^{\bot }=\{0\}$;
• $X\subseteq (X^{\bot })^{\bot }$;
• если $X$ является замкнутым линейным подпространством $H$ затем $(X^{\bot })^{\bot }=X$;
• если $X$ является замкнутым линейным подпространством $H$ затем $H=X\oplus X^{\bot },$ (внутренняя) прямая сумма .

Ортогональное дополнение обобщает аннулятор и дает связь Галуа на подмножествах пространства внутреннего продукта с соответствующим оператором замыкания , топологическим замыканием диапазона.

Конечные размеры

Для конечномерного пространства внутреннего произведения размерности $n$, ортогональное дополнение $k$-мерное подпространство – это $(n-k)$-мерное подпространство, а двойное ортогональное дополнение является исходным подпространством:

$$\left(W^{\bot }\right)^{\bot }=W.$$

Если $\mathbf {A} \in \mathbb {M} _{mn}$, где ${\mathcal {R}}(\mathbf {A} )$, ${\mathcal {C}}(\mathbf {A} )$, и ${\mathcal {N}}(\mathbf {A} )$ относятся к пространству строк , пространству столбцов и пустому пространству $\mathbf {A}$ (соответственно), тогда

$$\left({\mathcal {R}}(\mathbf {A} )\right)^{\bot }={\mathcal {N}}(\mathbf {A} )\qquad {\text{ and }}\qquad \left({\mathcal {C}}(\mathbf {A} )\right)^{\bot }={\mathcal {N}}(\mathbf {A} )^{\operatorname {T} }.$$

Банаховы пространства

Естественный аналог этого понятия существует в общих банаховых пространствах . В этом случае определяется ортогональное дополнение к $W$ подпространством двойственного быть $V$ определяется аналогично аннигилятору

$$W^{\bot }=\left\{x\in V^{*}:\forall y\in W,x(y)=0\right\}.$$

Это всегда замкнутое подпространство $V^{*}$. Существует также аналог свойства двойного дополнения. $W^{\perp \perp }$теперь является подпространством $V^{**}$(что не идентично $V$). Однако рефлексивные пространства обладают естественным изоморфизмом $i$ между $V$ и $V^{**}$. В этом случае мы имеем

$$i{\overline {W}}=W^{\perp \perp }.$$

Это довольно прямое следствие теоремы Хана–Банаха .

Приложения

В специальной теории относительности ортогональное дополнение используется для определения одновременной гиперплоскости в точке мировой линии . Билинейная форма $\eta$ используемое в пространстве Минковского определяет псевдоевклидово пространство событий. Начало координат и все события на световом конусе самоортогональны. Когда событие времени и событие пространства оцениваются как ноль в билинейной форме, тогда они гиперболически-ортогональны . Эта терминология связана с использованием двух сопряженных гипербол в псевдоевклидовой плоскости: диаметры сопряженных этих гипербол гиперболически-ортогональны.

См. также

• Дополненная решетка
• Дополненное подпространство
• Теорема о проекции Гильберта - О замкнутых выпуклых подмножествах в гильбертовом пространстве
• Ортогональная проекция — идемпотентное линейное преобразование векторного пространства в себя. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.

Библиография

• Адкинс, Уильям А.; Вайнтрауб, Стивен Х. (1992), Алгебра: подход с помощью теории модулей , Тексты для аспирантов по математике , том. 136, Шпрингер-Верлаг , ISBN  3-540-97839-9 , Збл   0768.00003
• Халмош, Пол Р. (1974), Конечномерные векторные пространства , Тексты для бакалавров по математике , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-90093-3 , Збл   0288.15002
• Милнор, Дж .; Хуземоллер, Д. (1973), Симметричные билинейные формы , Результаты математики и ее границы , том. 73, Спрингер Верлаг , ISBN  3-540-06009-Х , Збл   0292.10016
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN  978-0-07-054236-5 . OCLC   21163277 .

Внешние ссылки

• Ортогональное дополнение; Минута 9.00 в видео на Youtube
• Обучающее видео с описанием ортогональных дополнений (Академия Хана)