Пространство Сигала – Баргмана

В математике пространство Сигала-Баргмана (для Ирвинга Сигала и Валентина Баргмана ), также известное как пространство Баргмана или пространство Баргмана-Фока , представляет собой пространство голоморфных функций F от n комплексных переменных, удовлетворяющих условию интегрируемости с квадратом:

\|F\|^{2}:=\pi ^{-n}\int _{\mathbb {C} ^{n}}|F(z)|^{2}\exp(-|z|^{2})\,dz<\infty ,

где dz обозначает 2 n -мерную меру Лебега на $\mathbb {C} ^{n}.$ Это гильбертово пространство относительно соответствующего скалярного продукта:

\langle F\mid G\rangle =\pi ^{-n}\int _{\mathbb {C} ^{n}}{\overline {F(z)}}G(z)\exp(-|z|^{2})\,dz.

Пространство было введено в математическую физику отдельно Баргманном и Сигалом в начале 1960-х годов; см. Баргманн (1961) и Сигал (1963) . Основную информацию о материалах этого раздела можно найти у Фолланда (1989) и Холла (2000) . Сигал с самого начала работал в бесконечномерной обстановке; см. Baez, Segal & Zhou (1992) и Раздел 10 Hall (2000) для получения дополнительной информации по этому аспекту предмета.

Характеристики

Основное свойство этого пространства состоит в том, что поточечная оценка непрерывна , то есть для каждого $a\in \mathbb {C} ^{n},$ существует константа C такая, что

|F(a)|<C\|F\|.

Тогда из теоремы о представлении Рисса следует , что существует единственный F _a в пространстве Сигала – Баргмана такой, что

F(a)=\langle F_{a}\mid F\rangle .

Функция F _a может быть вычислена явно как

F_{a}(z)=\exp({\overline {a}}\cdot z)

где явно

{\overline {a}}\cdot z=\sum _{j=1}^{n}{\overline {a_{j}}}z_{j}.

Функция F _a называется когерентным состоянием (применяемым в математической физике ) с параметром a , а функция

\kappa (a,z):={\overline {F_{a}(z)}}

известно как воспроизводящее ядро пространства Сигала–Баргмана. Обратите внимание, что

F(a)=\langle F_{a}\mid F\rangle =\pi ^{-n}\int _{\mathbb {C} ^{n}}\kappa (a,z)F(z)\exp(-|z|^{2})\,dz,

это означает, что интегрирование с воспроизводящим ядром просто возвращает (т. е. воспроизводит) функцию F , при условии, конечно, что F является элементом пространства (и, в частности, голоморфна).

Обратите внимание, что

\|F_{a}\|^{2}=\langle F_{a}\mid F_{a}\rangle =F_{a}(a)=\exp(|a|^{2}).

следует Из неравенства Коши–Шварца , что элементы пространства Сигала–Баргмана удовлетворяют поточечным оценкам

|F(a)|\leq \|F_{a}\|\|F\|=\exp(|a|^{2}/2)\|F\|.

Квантово-механическая интерпретация

Единичный вектор в пространстве Сигала – Баргмана можно интерпретировать как волновую функцию квантовой частицы, движущейся в пространстве Сигала – Баргмана. $\mathbb {R} ^{n}.$ С этой точки зрения, $\mathbb {C} ^{n}$ играет роль классического фазового пространства, тогда как $\mathbb {R} ^{n}$ это пространство конфигурации. ограничение голоморфности F Для этой интерпретации существенно ; если бы F была произвольной функцией, интегрируемой с квадратом, ее можно было бы локализовать в сколь угодно малой области фазового пространства, что противоречило бы принципу неопределенности. Поскольку, однако, F должен быть голоморфным, он удовлетворяет описанным выше поточечным ограничениям, что обеспечивает ограничение на то, насколько концентрированным может быть F в любой области фазового пространства.

Учитывая единичный вектор F в пространстве Сигала – Баргмана, величина

\pi ^{-n}|F(z)|^{2}\exp(-|z|^{2})

можно интерпретировать как своего рода плотность вероятности в фазовом пространстве для частицы. Поскольку указанная величина явно неотрицательна, она не может совпадать с функцией Вигнера частицы, которая обычно имеет некоторые отрицательные значения. Фактически указанная выше плотность совпадает с функцией Хусими частицы, которая получается из функции Вигнера путем размазывания гауссианой. Эта связь будет уточнена ниже, после того как мы введем преобразование Сигала–Баргмана.

Канонические коммутационные соотношения

Можно ввести операторы уничтожения $a_{j}$ и операторы создания $a_{j}^{*}$ в пространстве Сигала–Баргмана, полагая

a_{j}=\partial /\partial z_{j}

и

a_{j}^{*}=z_{j}

Эти операторы удовлетворяют тем же соотношениям, что и обычные операторы рождения и уничтожения, а именно: $a_{j}$ и $a_{j}^{*}$ общаются между собой и

\left[a_{j},a_{k}^{*}\right]=\delta _{j,k}

Кроме того, сопряжение $a_{j}$ относительно скалярного произведения Сигала – Баргмана есть $a_{j}^{*}.$ (Это следует из обозначений, но совершенно не очевидно из формул для $a_{j}$ и $a_{j}^{*}$ !) Действительно, Баргманну пришлось ввести особую форму скалярного произведения в пространстве Сигала–Баргмана именно для того, чтобы операторы рождения и уничтожения были сопряжены друг другу.

Теперь мы можем построить самосопряженные операторы «положения» и «импульса» A _j и B _j по формулам:

A_{j}=(a_{j}+a_{j}^{*})/{\sqrt {2}}

B_{j}=(a_{j}-a_{j}^{*})/(i{\sqrt {2}})

Эти операторы удовлетворяют обычным каноническим коммутационным соотношениям, и можно показать, что они действуют неприводимо в пространстве Сигала – Баргмана; см. раздел 14.4 Hall (2013) .

Преобразование Сигала – Баргмана.

Поскольку операторы $A j$ и $B j$ из предыдущего раздела удовлетворяют соотношениям Вейля и действуют неприводимо в пространстве Сигала–Баргмана, применима теорема Стоуна–фон Неймана . Таким образом, существует унитарное отображение $B$ из позиционного гильбертова пространства $L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ к пространству Сигала–Баргмана, которое переплетает эти операторы с обычными операторами положения и импульса.

Карта $B$ может быть вычислена явно как модифицированное двойное преобразование Вейерштрасса :

(Bf)(z)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\exp[-(z\cdot z-2{\sqrt {2}}z\cdot x+x\cdot x)/2]f(x)\,dx,

где dx — n -мерная мера Лебега на $\mathbb {R} ^{n}$ и где $z$ находится в $\mathbb {C} ^{n}.$ См. Баргманн (1961) и раздел 14.4 Холла (2013). Можно также описать $(Bf)(z)$ как скалярное произведение $f$ с соответствующим образом нормализованным когерентным состоянием с параметром $z$ , где теперь мы выражаем когерентные состояния в позиционном представлении, а не в пространстве Сигала – Баргмана.

Теперь мы можем уточнить связь между пространством Сигала–Баргмана и функцией Хусими частицы. Если $f$ — единичный вектор в $L^{2}(\mathbb {R} ^{n}),$ тогда мы можем сформировать плотность вероятности на $\mathbb {C} ^{n}$ как

\pi ^{-n}|(Bf)(z)|^{2}\exp(-|z|^{2})~.

Тогда утверждается, что указанная выше плотность является функцией Хусими от $f$ , которую можно получить из функции Вигнера от $f$ путем свертки с двойным гауссианом ( преобразование Вейерштрасса ). Этот факт легко проверить, если использовать формулу для $Bf$ вместе со стандартной формулой для функции Хусими в терминах когерентных состояний.

Поскольку $B$ унитарна, ее эрмитово сопряженное является обратным. Напоминая, что мера по $\mathbb {C} ^{n}$ является $e^{-|z|^{2}}\,dz$ , мы, таким образом, получаем одну формулу обращения для $B$ как

f(x)=\int _{\mathbb {C} ^{n}}\exp[-({\overline {z}}\cdot {\overline {z}}-2{\sqrt {2}}{\overline {z}}\cdot x+x\cdot x)/2](Bf)(z)e^{-|z|^{2}}\,dz.

Однако поскольку $Bf$ — голоморфная функция, может существовать множество интегралов, включающих $Bf$ , которые дают одно и то же значение. (Подумайте об интегральной формуле Коши.) Таким образом, может существовать много различных формул обращения для преобразования Сигала – Баргмана $B$ .

Еще одна полезная формула обращения: ^{[ 1 ]}

f(x)=C\exp(-|x|^{2}/2)\int _{\mathbb {R} ^{n}}(Bf)(x+iy)\exp(-|y|^{2}/2)\,dy,

где

C=\pi ^{-n/4}(2\pi )^{-n/2}.

Эту формулу обращения можно понимать как говорящую, что «волновая функция» $f$ в фазовом пространстве $положения может быть получена из «волновой функции» Bf$ путем интегрирования переменных импульса. Это следует противопоставить функции Вигнера, где плотность вероятности положения получается из (квази) плотности вероятности фазового пространства путем интегрирования импульсных переменных.

Обобщения

Существуют различные обобщения пространства и преобразования Сигала – Баргмана. В одном из них ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]} роль конфигурационного пространства $\mathbb {R} ^{n}$ играет групповое многообразие компактной группы Ли , такой как SU( N ). Роль фазового пространства $\mathbb {C} ^{n}$ затем играет комплексификация компактной группы Ли, например $\operatorname {SL} (N,\mathbb {C} )$ в случае SU( N ). Различные гауссианы, появляющиеся в обычном пространстве Сигала-Баргмана и преобразовании, заменяются тепловыми ядрами . Это обобщенное преобразование Сигала – Баргмана можно применить, например, к вращательным степеням свободы твердого тела, где конфигурационным пространством являются компактные группы Ли SO(3).

Это обобщенное преобразование Сигала-Баргмана порождает систему когерентных состояний , известную как когерентные состояния теплового ядра . Они широко использовались в литературе по петлевой квантовой гравитации .

См. также

Ссылки

^ BC Холл, «Диапазон теплового оператора», в The Ubiquitous Heat Kernel , под редакцией Джея Йоргенсена и Линн Х. Уоллинг , AMS 2006, стр. 203–231.
^ BC Холл, « Преобразование когерентного состояния Сигала-Баргмана для компактных групп Ли », Journal of Functional Analysis 122 (1994), 103–151
^ BC Холл, « Обратное преобразование Сигала – Баргмана для компактных групп Ли », Journal of Functional Analysis 143 (1997), 98–116.

Источники

Баргманн, В. (1961), «О гильбертовом пространстве аналитических функций и связанном с ним интегральном преобразовании», Communications on Pure and Applied Mathematics , 14 (3): 187, doi : 10.1002/cpa.3160140303 , hdl : 10338.dmlcz /143587
Сигал, И.Е. (1963), «Математические проблемы релятивистской физики», Кац, М. (ред.), Труды летнего семинара, Боулдер, Колорадо, 1960, Vol. II , Лекции по прикладной математике, Американское математическое общество, гл. ВИ, LCCN 62-21480
Фолланд, Г. (1989), Гармонический анализ в фазовом пространстве , Princeton University Press , ISBN 978-0691085289
Баэз, Дж .; Сигал, IE; Чжоу, З. (1992), Введение в алгебраическую и конструктивную квантовую теорию поля , Princeton University Press, ISBN 978-0691605128
Холл, Британская Колумбия (2000), «Голоморфные методы анализа и математической физики» , Перес-Эстева, С.; Виллегас-Блас, К. (ред.), Первая летняя школа по анализу и математической физике: квантование, преобразование Сигала-Баргмана и полуклассический анализ , Современная математика, том. 260, AMS , стр. 1–59, ISBN. 978-0-8218-2115-2
Холл, Британская Колумбия (2013), Квантовая теория для математиков , Тексты для выпускников по математике, том. 267, Springer Verlag , номер домена : 10.1007/978-1-4614-7116-5 , ISBN. 978-1-4614-7115-8 , S2CID 117837329

[1] BC Холл, «Диапазон теплового оператора», в The Ubiquitous Heat Kernel , под редакцией Джея Йоргенсена и Линн Х. Уоллинг , AMS 2006, стр. 203–231.

[2] BC Холл, « Преобразование когерентного состояния Сигала-Баргмана для компактных групп Ли », Journal of Functional Analysis 122 (1994), 103–151

[3] BC Холл, « Обратное преобразование Сигала – Баргмана для компактных групп Ли », Journal of Functional Analysis 143 (1997), 98–116.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

v т и гильбертовы пространства
Basic concepts	Adjoint Inner product and L-semi-inner product Hilbert space and Prehilbert space Orthogonal complement Orthonormal basis
Main results	Bessel's inequality Cauchy–Schwarz inequality Riesz representation
Other results	Hilbert projection theorem Parseval's identity Polarization identity (Parallelogram law)
Maps	Compact operator on Hilbert space Densely defined Hermitian form Hilbert–Schmidt Normal Self-adjoint Sesquilinear form Trace class Unitary
Examples	Cⁿ(K) with K compact & n<∞ Segal–Bargmann F