Когерентные состояния в математической физике

Когерентные состояния были введены в физический контекст, сначала как квазиклассические состояния в квантовой механике , затем как основа квантовой оптики , и в этом духе они описаны в статье «Когерентные состояния» (см. также ). Однако они породили огромное разнообразие обобщений, которые привели к появлению огромного количества литературы по математической физике .В данной статье мы обозначим основные направления исследований по этому направлению. Для получения более подробной информации мы ссылаемся на несколько существующих опросов.

Общее определение

Позволять ${\mathfrak {H}}\,$ — комплексное сепарабельное гильбертово пространство , $X$ пространство локально компактное и $d\nu$ мера по $X$. Для каждого $x$ в $X$, обозначаем $|x\rangle$ вектор в ${\mathfrak {H}}$. Предположим, что этот набор векторов обладает следующими свойствами:

1. Отображение $x\mapsto |x\rangle$ слабо непрерывен, т. е. для каждого вектора $|\psi \rangle$ в ${\mathfrak {H}}$, функция $\Psi (x)=\langle x|\psi \rangle$ непрерывен (в топологии $X$).
2. Разрешение личности $$\int _{X}|x\rangle \langle x|\,d\nu (x)=I_{\mathfrak {H}}$$ выполняется в слабом смысле в гильбертовом пространстве ${\mathfrak {H}}$, т. е. для любых двух векторов $|\phi \rangle ,|\psi \rangle$ в ${\mathfrak {H}}$, имеет место следующее равенство: $$\int _{X}\langle \phi |x\rangle \langle x|\psi \rangle \,d\nu (x)=\langle \phi |\psi \rangle \,.$$

Набор векторов $|x\rangle$ удовлетворяющее двум вышеперечисленным свойствам, называется семейством обобщенных когерентных состояний . Чтобы восстановить предыдущее определение (данное в статье Когерентное состояние ) канонических или стандартных когерентных состояний (CCS), достаточно взять $X\equiv \mathbb {C}$, комплексная плоскость и ${\textstyle d\nu (x)\equiv {\frac {1}{\pi }}d^{2}x.}$

Иногда разрешение условия идентичности заменяется более слабым условием с векторами $|x\rangle$ просто формируя общий набор в ${\mathfrak {H}}\,$ и функции $\Psi (x)=\langle x|\psi \rangle$, как $|\psi \rangle$ проходит через ${\mathfrak {H}}$, образующее воспроизводящее ядро ​​гильбертова пространства .Цель в обоих случаях состоит в том, чтобы гарантировать, что произвольный вектор $|\psi \rangle$ быть выражена как линейная (целая) комбинация этих векторов. Действительно, разрешение тождества немедленно подразумевает, что $$|\psi \rangle =\int _{X}\Psi (x)\left|x\right\rangle \,d\nu (x)\,,$$где $\Psi (x)=\langle x|\psi \rangle$.

Эти векторы $\Psi$ являются интегрируемыми с квадратом непрерывными функциями на $X$ и удовлетворяем воспроизводящему свойству $$\int _{X}K(x,y)\Psi (y)\,d\nu (y)=\Psi (x)\,,$$где $K(x,y)=\langle x|y\rangle$ — воспроизводящее ядро, удовлетворяющее следующим свойствам

$${\begin{aligned}K(x,y)&={\overline {K(y,x)}}\;,\qquad K(x,x)>0\,,\\\int _{X}K(x,z)\,K(z,y)\,d\nu (z)&=K(x,y)\,.\end{aligned}}$$

Некоторые примеры

В этом разделе мы представляем некоторые из наиболее часто используемых типов когерентных состояний в качестве иллюстрации общей структуры, приведенной выше.

Нелинейные когерентные состояния

Большой класс обобщений СКС получается простой модификацией их аналитической структуры. Позволять $\varepsilon _{1}\leq \varepsilon _{2}\leq \dots \leq \varepsilon _{n}\leq \cdots$ — бесконечная последовательность положительных чисел ( $\varepsilon _{1}\neq 0$). Определять $\varepsilon _{n}!=\varepsilon _{1}\varepsilon _{2}\ldots \varepsilon _{n}$ и по соглашению установлено $\varepsilon _{0}!=1$. В том же пространстве Фока , в котором описывалась CCS, мы теперь определяем соответствующие деформированные или нелинейные когерентные состояния с помощью разложения

$$\vert \alpha \rangle ={\mathcal {N}}(\vert \alpha \vert ^{2})^{-1/2}\,\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\alpha ^{n}}{\sqrt {\varepsilon _{n}!}}}|n\rangle \,.$$Коэффициент нормализации ${\mathcal {N}}(\vert \alpha \vert ^{2})$ выбирается так, что $\langle \alpha \vert \alpha \rangle =1$. Эти обобщенные когерентные состояния сверхполны в пространстве Фока и удовлетворяют разрешению тождества $$\int _{\mathcal {D}}\vert \alpha \rangle \langle \alpha \vert \;{\mathcal {N}}(\vert \alpha \vert ^{2})\;d\nu (\alpha ,{\overline {\alpha }})=I\,,$$

${\mathcal {D}}$ будучи открытым диском в комплексной плоскости радиуса $L$, радиус сходимости ряда ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\alpha ^{n}}{\sqrt {\varepsilon _{n}!}}}}$ (в случае CCS, $L=\infty$.) Мера $d\nu$ имеет общий вид $d\theta \,d\lambda (r)$ (для $\alpha =re^{i\theta }$), где $d\lambda$ связано с $\varepsilon _{n}!$ через моментное состояние.

Еще раз видим, что для произвольного вектора $|\phi \rangle$ в пространстве Фока функция $\Phi (\alpha )=\langle \phi |\alpha \rangle$ имеет форму $\Phi (\alpha )={\mathcal {N}}(\vert \alpha \vert ^{2})^{-{\frac {1}{2}}}f(\alpha )$, где $f\,$ является аналитической функцией в области ${\mathcal {D}}$. Воспроизводящее ядро, связанное с этими когерентными состояниями, $$K({\overline {\alpha }},\alpha ')=\langle \alpha |\alpha '\rangle =\left[{\mathcal {N}}(\vert \alpha \vert ^{2}){\mathcal {N}}(\vert \alpha '\vert ^{2})\right]^{-{\frac {1}{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {({\overline {\alpha }}\alpha ')^{n}}{\varepsilon _{n}!}}\,.$$

Когерентные состояния Барута – Жирарделло

По аналогии со случаем CCS можно определить обобщенный оператор уничтожения $A$ своим действием на векторы $|\alpha \rangle$, $$A|\alpha \rangle =\alpha |\alpha \rangle \,,$$и его сопряженный оператор $A^{\dagger }$. Они действуют на состояния Фока $|n\rangle$ как $$A|n\rangle ={\sqrt {\varepsilon _{n}}}|n-1\rangle \,,\qquad A^{\dagger }|n\rangle ={\sqrt {\varepsilon _{n+1}}}|n+1\rangle \,.$$В зависимости от точных значений величин $\varepsilon _{n}$, эти два оператора вместе с тождеством $I$ и все их коммутаторы могут генерировать широкий спектр алгебр, включая различные типы деформированных квантовых алгебр . Термин «нелинейный», который часто применяется к этим обобщенным когерентным состояниям, снова пришел из квантовой оптики, где многие такие семейства состояний используются при изучении взаимодействия между полем излучения и атомами, где сила самого взаимодействия зависит от частоты радиации. Конечно, эти когерентные состояния в целом не будут обладать ни теоретико-групповыми свойствами, ни свойствами минимальной неопределенности CCS (они могут иметь более общие свойства).

Операторы $A$ и $A^{\dagger }$ определенного выше общего типа, также известны как лестничные операторы . Когда такие операторы появляются как генераторы представлений алгебр Ли, собственные векторы $A$ обычно называют когерентными состояниями Барута–Жирарделло . Типичный пример получается из представлений алгебры Ли группы SU(1,1) в пространстве Фока .

Когерентные состояния Газо – Клаудера

Неаналитическое расширение приведенного выше выражения нелинейных когерентных состояний часто используется для определения обобщенных когерентных состояний, связанных с физическими гамильтонианами, имеющими чисто точечные спектры. Эти когерентные состояния, известные как когерентные состояния Газо-Клаудера , помечены переменными действие-угол . Предположим, что нам дан физический гамильтониан ${\textstyle H=\sum _{n=0}^{\infty }E_{n}\left|n\right\rangle \left\langle n\right|}$, с $E_{0}=0$, т. е. имеет собственные значения энергии $E_{n}$ и собственные векторы $|n\rangle$, который, как мы предполагаем, образует ортонормированный базис гильбертова пространства состояний ${\mathfrak {H}}$. Запишем собственные значения в виде $E_{n}=\omega \varepsilon _{n}$ введя последовательность безразмерных величин $\{\varepsilon _{n}\}$ заказал как: $0=\varepsilon _{0}<\varepsilon _{1}<\varepsilon _{2}<\cdots$. Тогда для всех $J\geq 0$ и $\gamma \in \mathbb {R}$когерентные состояния Газо–Клаудера определяются как

$$|J,\gamma \rangle ={\mathcal {N}}(J)^{-{\frac {1}{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }\,{\frac {J^{n/2}e^{-i\varepsilon _{n}\gamma }}{\sqrt {\varepsilon _{n}!}}}|n\rangle \,,$$где снова ${\mathcal {N}}$ является нормировочным коэффициентом, который оказывается зависимым от $J$ только. Эти когерентные состояния удовлетворяют условию временной устойчивости :

$$e^{-iHt}\vert J,\gamma \rangle =\vert J,\gamma +\omega t\rangle \,,$$и личность действия , $$\langle J,\gamma |H|J,\gamma \rangle _{\mathfrak {H}}=\omega J\,.$$Хотя эти обобщенные когерентные состояния действительно образуют слишком полный набор в ${\mathfrak {H}}$, разрешение тождества обычно задается не интегральным соотношением, как указано выше, а вместо этого интегралом в смысле Бора, как это используется в теории почти периодических функций .

На самом деле конструкция КР Газо–Клаудера может быть расширена до векторной КР и гамильтонианов с вырожденным спектром, как показали Али и Багарелло.

Когерентные состояния теплового ядра

конфигурационное пространство которой является групповым многообразием компактной группы Ли K. Другой тип когерентного состояния возникает при рассмотрении частицы , в которых обычная гауссиана в евклидовом пространстве заменяется тепловым ядром на K. Холл ввёл когерентные состояния , Пространство параметров когерентных состояний представляет собой « комплексификацию » K ; например, если K — это SU( n ) , то комплексификация — это SL( n , C ) . Эти когерентные состояния имеют разрешение идентичности, которое приводит к пространству Сигала-Баргмана над комплексификацией. Результаты Холла были распространены Стенцелем на компактные симметрические пространства, включая сферы. Когерентные состояния теплового ядра в случае $K=\mathrm {SU} (2)$, были применены в теории квантовой гравитации Тиманом и его сотрудниками. Хотя в построении участвуют две разные группы Ли, когерентные состояния теплового ядра не относятся к типу Переломова.

Теоретико-групповой подход

Гилмор и Переломов независимо друг от друга осознали, что построение когерентных состояний иногда можно рассматривать как групповую теоретическую проблему.

Чтобы убедиться в этом, вернемся ненадолго к случаю CCS. Там действительно оператор смещения $D(\alpha )$ является не чем иным, как представителем в пространстве Фока элемента группы Гейзенберга (также называемой группой Вейля – Гейзенберга), чья алгебра Ли порождается формулой $X,\,P$ и $I$. Однако, прежде чем перейти к CCS, сначала рассмотрим общий случай.

Позволять $G$ — локально компактная группа и предположим, что она имеет непрерывное неприводимое представление $U$ в гильбертовом пространстве ${\mathfrak {H}}$ унитарными операторами $U(g),\;g\in G$. Это представление называется интегрируемым с квадратом, если существует ненулевой вектор $|\psi \rangle$ в ${\mathfrak {H}}$ для которого интеграл $$c(\psi )=\int _{G}\vert \langle \psi |U(g)\psi \rangle \vert ^{2}\,d\mu (g)$$сходится. Здесь $d\mu$ — левоинвариантная мера Хаара на $G$. Вектор $|\psi \rangle$ для чего $c(\psi )<\infty$ называется допустимым , и можно показать, что существование одного такого вектора гарантирует существование всего плотного множества таких векторов в ${\mathfrak {H}}$. Более того, если группа $G$ является унимодулярным , т. е. если левая и правая инвариантные меры совпадают, то из существования одного допустимого вектора следует, что каждый вектор из ${\mathfrak {H}}$ допустимо. Учитывая квадратно интегрируемое представление $U$ и допустимый вектор $|\psi \rangle$, определим векторы

$$|g\rangle ={\frac {1}{\sqrt {c(\psi )}}}\,U(g)|\psi \rangle ,{\text{ for all }}g\in G.$$Эти векторы являются аналогами канонических когерентных состояний, записанных там в терминах представления группы Гейзенберга (однако см. раздел о CS Гилмора-Переломова ниже). Далее можно показать, что разрешение тождества $$\int _{G}\left|g\right\rangle \left\langle g\right|\,d\mu (g)=I_{\mathfrak {H}}$$держится ${\mathfrak {H}}$. Таким образом, векторы $|g\rangle$ составляют семейство обобщенных когерентных состояний. Функции $F(g)=\langle g|\phi \rangle$ для всех векторов $|\phi \rangle$ в ${\mathfrak {H}}$ интегрируемы с квадратом по мере $d\mu$ и множество таких функций, фактически непрерывных в топологии $G$, образует замкнутое подпространство $L^{2}(G,d\mu )$. Кроме того, отображение $\phi \mapsto F$ представляет собой линейную изометрию между ${\mathfrak {H}}$ и $L^{2}(G,d\mu )$ и при этой изометрии представление $U$ сопоставляется с подпредставлением левого регулярного представления $G$ на $L^{2}(G,d\mu )$.

Пример: вейвлеты

Типичным примером приведенной выше конструкции является аффинная группа прямой: $G_{\text{Aff}}$. Это группа всех матриц 2×2 типа, $$g={\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}\,,$$$a$ и $b$ действительные числа с $a\neq 0$. Мы также напишем $g=(b,a)$, с действием на $\mathbb {R}$ данный $(b,a)\cdot x=b+ax$. Эта группа неунимодулярна, а левая инвариантная мера задается формулой $d\mu (b,a)=a^{-2}\,db\,da$ (правая инвариантная мера равна $a^{-1}\,db\,da$). Аффинная группа имеет унитарное неприводимое представление в гильбертовом пространстве. $L^{2}(\mathbb {R} ,dx)$. Векторы в $L^{2}(\mathbb {R} ,dx)$ являются измеримыми функциями $\varphi (x)$ действительной переменной $x$ и (унитарные) операторы $U(b,a)$ этого представления действуют на них как $$(U(b,a)\varphi )(x)={\frac {1}{\sqrt {\vert a\vert }}}\,\varphi \left({\frac {x-b}{a}}\right)={\frac {1}{\sqrt {\vert a\vert }}}\,\varphi \left((b,a)^{-1}\cdot x\right)\,.$$Если $\psi$ это функция в $L^{2}(\mathbb {R} ,dx)$ такое, что его преобразование Фурье ${\widehat {\psi }}$ удовлетворяет условию (допустимости) $$\int _{\mathbb {R} }{\frac {\vert {\widehat {\psi }}(k)\vert ^{2}}{\vert k\vert }}\,dk<\infty \,,$$то можно показать, что это допустимый вектор, т. е. $$c(\psi )=\int _{G_{\text{Aff}}}\left\vert \left\langle \psi |U(b,a)\psi \right\rangle \right\vert ^{2}\,{\frac {db\,da}{a^{2}}}<\infty \,.$$Таким образом, согласно изложенной выше общей конструкции, векторы $$|b,a\rangle ={\frac {1}{\sqrt {c(\psi )}}}\,U(b,a)\psi \,,\qquad (b,a)\in G_{\text{Aff}}$$определить семейство обобщенных когерентных состояний и получить разрешение тождества $$\int _{G_{\text{Aff}}}\left|b,a\right\rangle \left\langle b,a\right|{\frac {db\,da}{a^{2}}}=I$$на $L^{2}(\mathbb {R} ,dx)$.В литературе по анализу сигналов вектор, удовлетворяющий приведенному выше условию допустимости, называется материнским вейвлетом , а обобщенные когерентные состояния $|b,a\rangle$ называются вейвлетами . Затем сигналы идентифицируются с векторами $|\varphi \rangle$ в $L^{2}(\mathbb {R} ,dx)$ и функция $$F(b,a)=\langle b,a|\varphi \rangle \,,$$называется непрерывным вейвлет-преобразованием сигнала $\varphi$.

Эту концепцию можно распространить на два измерения: группу $G_{\text{Aff}}$ заменяется так называемой группой подобия плоскости, которая состоит из перемещений плоскости, вращений и глобальных расширений. Полученные 2D-вейвлеты и некоторые их обобщения широко используются при обработке изображений .

Gilmore–Perelomov coherent states

Построение когерентных состояний с использованием описанных выше представлений групп недостаточно. Она уже не может дать CCS, так как они индексируются не элементами группы Гейзенберга , а скорее точками фактора последней по ее центру, причем это частное составляет именно $\mathbb {R} ^{2}$. Ключевое наблюдение заключается в том, что центр группы Гейзенберга покидает вектор вакуума. $|0\rangle$ инвариантен с точностью до фазы. Обобщая эту идею, Гилмор и Переломов рассмотрим локально компактную группу $G$ и унитарное неприводимое представление $U$ из $G$ в гильбертовом пространстве ${\mathfrak {H}}$, не обязательно интегрируемый с квадратом. Исправить вектор $|\psi \rangle$ в ${\mathfrak {H}}$, единичной нормы, и обозначим через $H$ подгруппа $G$ состоящий из всех элементов $h$ которые оставляют его инвариантным с точностью до фазы , то есть $$U(h)\left|\psi \right|\rangle =e^{i\omega (h)}\left|\psi \right\rangle \,,$$где $\omega$ является вещественной функцией $h$. Позволять $X=G/H$ быть левым смежным классом и $x$ произвольный элемент в $X$. Выбор представителя семьи $g(x)\in G$, для каждого смежного класса $x$, определим векторы $$|x\rangle =U(g(x))\left|\psi \right\rangle \in {\mathfrak {H}}.$$Зависимость этих векторов от конкретного выбора представителя смежного класса $g(x)$ происходит только через фазу. Действительно, если вместо $g(x)$, мы взяли другого представителя $g(x)'\in G$ для того же класса $x$, то поскольку $g(x)'=g(x)h$ для некоторых $h\in H$, у нас было бы $U(g(x)')|\psi \rangle =e^{i\omega (h)}|x\rangle$. Следовательно, с квантовой механики оба $|x\rangle$ и $U(g(x)')|\psi \rangle$ представляют одно и то же физическое состояние и, в частности, оператор проектирования $\left|x\right\rangle \left\langle x\right|$ зависит только от смежного класса. Векторы $|x\rangle$ определенные таким образом, называются когерентными состояниями Гилмора–Переломова . С $U$ предполагается неприводимым, набор всех этих векторов как $x$ проходит через $G/H$ плотный в ${\mathfrak {H}}$. В этом определении обобщенных когерентных состояний не постулируется никакого разрешения идентичности. Однако, если $X$ несет инвариантную меру под действием естественного действия $G$, и если формальный оператор $B$ определяется как $$B=\int _{X}\left|x\right\rangle \left\langle x\right|d\mu (x)\,,$$ограничено, то оно обязательно кратно тождеству, и снова получается разрешение тождества.

Когерентные состояния Гилмора–Переломова были обобщены на квантовые группы , но для этого мы обратимся к литературе.

Дальнейшее обобщение: когерентные состояния в смежных пространствах.

Конструкция Переломова может быть использована для определения когерентных состояний любой локально компактной группы. С другой стороны, особенно в случае несостоятельности конструкции Гилмора–Переломова, существуют другие конструкции обобщенных когерентных состояний с использованием групповых представлений, которые обобщают понятие квадратичной интегрируемости на однородные пространства группы.

Короче говоря, в этом подходе мы начинаем с унитарного неприводимого представления. $U$ и пытается найти вектор $|\psi \rangle$, подгруппа $H$ и раздел $\sigma :G/H\to G$ такой, что $$\int _{G/H}\left|x\right\rangle \left\langle x\right|d\mu (x)=T\,,$$где $|x\rangle =U(\sigma (x))\left|\psi \right\rangle$, $T$ — ограниченный положительный оператор с ограниченным обратным и $d\mu$ является квазиинвариантной мерой относительно $X=G/H$. Не предполагается, что $|\psi \rangle$ быть инвариантным с точностью до фазы под действием $H$ и очевидно, что лучшая ситуация — это когда $T$ является кратным тождеству. Несмотря на некоторую техническую сложность, эта общая конструкция обладает огромной универсальностью для групп полупрямых продуктов типа $\mathbb {R} ^{n}\rtimes K$, где $K$ является закрытой подгруппой $GL(n,\mathbb {R} )$. Таким образом, это полезно для многих физически важных групп, таких как группа Пуанкаре или евклидова группа , которые не имеют интегрируемых с квадратом представлений в смысле предыдущего определения. В частности, интегральное условие, определяющее оператор $T$ гарантирует, что любой вектор $|\phi \rangle$ в ${\mathfrak {H}}$ можно записать в терминах обобщенных когерентных состояний $|x\rangle$ а именно, $$|\phi \rangle =\int _{X}\Psi (x)|x\rangle \,d\mu (x)\,,\qquad \Psi (x)=\langle x|T^{-1}\phi \rangle \,,$$что является основной целью любого когерентного государства.

Когерентные состояния: байесовская конструкция для квантования набора мер

Теперь мы отходим от стандартной ситуации и представляем общий метод построения когерентных состояний, начиная с нескольких наблюдений над структурой этих объектов как суперпозиций собственных состояний некоторого самосопряженного оператора, как это было с гамильтонианом гармонического осциллятора для стандартной КС. . Суть квантовой механики заключается в том, что эта суперпозиция имеет вероятностный оттенок. Фактически мы замечаем, что вероятностная структура канонических когерентных состояний включает два распределения вероятностей, лежащих в основе их построения. Существует своего рода двойственность, распределение Пуассона, определяющее вероятность обнаружения $n$ возбуждения, когда квантовая система находится в когерентном состоянии $|z\rangle$и гамма-распределение на множестве $\mathbb {C}$ комплексных параметров, точнее в диапазоне $\mathbb {R} ^{+}$ квадрата радиальной переменной. Обобщение следует этой схеме двойственности. Позволять $X$ быть набором параметров, снабженных мерой $\mu$ и связанное с ним гильбертово пространство $L^{2}(X,d\mu )$ комплексных функций, интегрируемых с квадратом по $\mu$. Давайте выберем в $L^{2}(X,d\mu )$ конечное или счетное ортонормированное множество ${\mathcal {O}}=\{\phi _{n}\,,\,n=0,1,\dots \}$: $$\langle \phi _{m}|\phi _{n}\rangle =\int _{X}{\overline {\phi _{m}(x)}}\,\phi _{n}(x)\,d\mu (x)=\delta _{mn}\,.$$В случае бесконечной счетности это множество должно подчиняться (критическому) условию конечности: $$0<{\mathcal {N}}(x):=\sum _{n}\vert \phi _{n}(x)\vert ^{2}<\infty \,\quad \mathrm {a.e.} \,.$$Позволять ${\mathfrak {H}}$ — сепарабельное комплексное гильбертово пространство с ортонормированным базисом. $\{|e_{n}\rangle \,,\,n=0,1,\dots \}$ во взаимно однозначном соответствии с элементами ${\mathcal {O}}$. Два приведенных выше условия означают, что семейство нормализованных когерентных состояний ${\mathcal {F}}_{\mathfrak {H}}=\{|x\rangle \,,\,x\in X\}$ в ${\mathfrak {H}}$, которые определяются $$|x\rangle ={\frac {1}{\sqrt {{\mathcal {N}}(x)}}}\sum _{n}{\overline {\phi _{n}(x)}}\,|e_{n}\rangle \,,$$разрешает идентичность в ${\mathfrak {H}}$: $$\int _{X}d\mu (x)\,{\mathcal {N}}(x)\left|x\right\rangle \left\langle x\right|=I_{\mathfrak {H}}\,.$$Такое отношение позволяет реализовать когерентное состояние или кадровое квантование набора параметров. $X$ путем сопоставления с функцией $X\ni x\mapsto f(x)$ который удовлетворяет соответствующим условиям, следующий оператор в ${\mathfrak {H}}$: $$f(x)\mapsto A_{f}:=\int _{X}\mu (dx)\,{\mathcal {N}}(x)\,f(x)\left|x\right\rangle \left\langle x\right|.$$Оператор $A_{f}$ симметричен, если $f(x)$ вещественна и самосопряжена (как квадратичная форма), если $f(x)$ вещественна и полуограничена. Оригинал $f(x)$ — верхний символ , обычно неуникальный, для оператора $A_{f}$. Ее будем называть классической наблюдаемой относительно семейства ${\mathcal {F}}_{\mathfrak {H}}$ если так называемый нижний символ $A_{f}$, определяемый как $${\check {f}}(x):=\langle x|A_{f}|x\rangle =\int _{X}\mu (dx')\,{\mathcal {N}}(x')\,f(x')\,\vert \langle x|x'\rangle \vert ^{2}\,.$$имеет умеренные функциональные свойства, которые необходимо уточнить в соответствии с дополнительными топологическими свойствами, присвоенными исходному набору $X$.Последний момент в этой конструкции пространства квантовых состояний касается его статистических аспектов.Действительно, существует взаимодействие между двумя распределениями вероятностей:

1. Почти для каждого $x$, дискретное распределение,

   $$n\mapsto {\frac {\vert \phi _{n}(x)\vert ^{2}}{{\mathcal {N}}(x)}}.$$

   Эту вероятность можно рассматривать как относящуюся к экспериментам, проводимым над системой в рамках некоторого экспериментального протокола с целью измерения спектральных значений определенного самосопряженного оператора. $A$, т.е. квантовая наблюдаемая , действующая в ${\mathfrak {H}}$ и имеющий дискретное спектральное разрешение ${\textstyle A=\sum _{n}a_{n}\left|e_{n}\right\rangle \left\langle e_{n}\right|}$.
2. Для каждого $n$, непрерывное распределение на $(X,\mu )$, $$X\ni x\mapsto \vert \phi _{n}(x)\vert ^{2}\,.$$Здесь мы наблюдаем байесовскую двойственность, типичную для когерентных состояний. Есть две интерпретации: разрешение единства, подтвержденное когерентными государствами. $|x\rangle$ вводит предпочтительную априорную меру на множестве $X$, который представляет собой набор параметров дискретного распределения, причем само это распределение играет роль функции правдоподобия . Соответствующие дискретно индексированные непрерывные распределения становятся связанными условными апостериорными распределениями . Следовательно, вероятностный подход к экспериментальным наблюдениям относительно $A$ должно служить ориентиром при выборе набора $\phi _{n}(x)$х.Отметим, что непрерывное априорное распределение будет иметь значение для квантования, тогда как дискретное апостериорное характеризует измерение физического спектра, из которого строится когерентная суперпозиция квантовых состояний. $|e_{n}\rangle$.

См. также

• Когерентные состояния
• Гипотеза Либа
• Квантование