Ее мера

В математическом анализе мера Хаара присваивает «инвариантный объем» подмножествам локально компактных топологических групп , тем самым определяя интеграл для функций на этих группах.

Эта мера была введена Альфредом Хааром в 1933 году, хотя ее частный случай для групп Ли был введен Адольфом Гурвицем в 1897 году под названием «инвариантный интеграл». ^[1]^[2] Меры Хаара используются во многих областях анализа , теории чисел , теории групп , теории представлений , статистики , теории вероятностей и эргодической теории .

Предварительные сведения [ править ]

Позволять $(G,\cdot )$ — локально компактная Хаусдорфа топологическая группа . $\sigma$ -алгебра , порожденная всеми открытыми подмножествами $G$ называется алгеброй Бореля . Элемент борелевской алгебры называется борелевским множеством . Если $g$ является элементом $G$ и $S$ является подмножеством $G$ , затем мы определяем левый и переводы правый $S$ по g следующим образом:

Левый перевод: $gS=\{g\cdot s\,:\,s\in S\}.$
Правильный перевод: $Sg=\{s\cdot g\,:\,s\in S\}.$

Слева и справа преобразуются наборы Бореля карты в множества Бореля.

Мера $\mu$ на борелевских подмножествах $G$ называется левотрансляционно-инвариантным, если для всех борелевских подмножеств $S\subseteq G$ и все $g\in G$ надо

\mu (gS)=\mu (S).

Мера $\mu$ на борелевских подмножествах $G$ называется трансляционно-инвариантным справа, если для всех борелевских подмножеств $S\subseteq G$ и все $g\in G$ надо

\mu (Sg)=\mu (S).

Теорема Хаара [ править ]

Существует с точностью до положительной мультипликативной константы единственная счётно-аддитивная нетривиальная мера. $\mu$ на борелевских подмножествах $G$ удовлетворяющий следующим свойствам:

Мера $\mu$ инвариантен к левому переводу: $\mu (gS)=\mu (S)$ для каждого $g\in G$ и все множества Бореля $S\subseteq G$ .
Мера $\mu$ конечно на каждом компакте: $\mu (K)<\infty$ для всех компактных $K\subseteq G$ .
Мера $\mu$ является внешним регулярным на борелевских множествах $S\subseteq G$ : $\mu (S)=\inf\{\mu (U):S\subseteq U,U{\text{ open}}\}.$
Мера $\mu$ является внутренним регулярным на открытых множествах $U\subseteq G$ : $\mu (U)=\sup\{\mu (K):K\subseteq U,K{\text{ compact}}\}.$

Такая мера по $G$ называется левой мерой Хаара. Как следствие вышеперечисленных свойств, можно показать, что $\mu (U)>0$ для каждого непустого открытого подмножества $U\subseteq G$ . В частности, если $G$ тогда компактен $\mu (G)$ конечен и положителен, поэтому мы можем однозначно указать левую меру Хаара на $G$ добавив условие нормировки $\mu (G)=1$ .

По полной аналогии можно также доказать существование и единственность правой меры Хаара на $G$ . Эти две меры не обязательно должны совпадать.

Некоторые авторы определяют меру Хаара на множествах Бэра, а не на множествах Бореля. Это делает ненужными условия регулярности, поскольку меры Бэра автоматически регулярны. Халмош ^[3] довольно сбивчиво использует термин «множество Бореля» для элементов $\sigma$ -кольцо , порожденное компактами, и определяет меры Хаара на этих множествах.

Левая мера Хаара удовлетворяет внутреннему условию регулярности для всех $\sigma$ -конечные борелевские множества, но не могут быть внутренними регулярными для всех борелевских множеств. Например, произведение единичного круга (с его обычной топологией) и вещественной прямой с дискретной топологией представляет собой локально компактную группу с продуктовой топологией , и мера Хаара на этой группе не является внутренне регулярной для замкнутого подмножества. $\{1\}\times [0,1]$ . (Компактные подмножества этого вертикального отрезка являются конечными множествами, а точки имеют меру $0$ , поэтому мера любого компактного подмножества этого вертикального отрезка равна $0$ . Но, используя внешнюю регулярность, можно показать, что отрезок имеет бесконечную меру.)

Существование и единственность (с точностью до масштабирования) левой меры Хаара впервые в полной общности доказал Андре Вейль . ^[4] В доказательстве Вейля использовалась выбранная аксиома , а Анри Картан представил доказательство, избегающее ее использования. ^[5]Доказательство Картана также устанавливает существование и единственность одновременно. Упрощенное и полное изложение аргумента Картана было дано Альфсеном в 1963 году. ^[6] Частный случай инвариантной меры для локально компактных групп со второй счетностью был показан Хааром в 1933 году. ^[1]

Примеры [ править ]

Если $G$ — дискретная группа , то компактные подмножества совпадают с конечными подмножествами и (инвариантная слева и справа) мера Хаара на $G$ является счетной мерой .
Мера Хаара на топологической группе $(\mathbb {R} ,+)$ это принимает значение $1$ на интервале $[0,1]$ равно ограничению меры Лебега на борелевские подмножества $\mathbb {R}$ . Это можно обобщить до $(\mathbb {R} ^{n},+).$
Чтобы определить меру Хаара $\mu$ в группе круга $\mathbb {T}$ , рассмотрим функцию $f$ от $[0,2\pi ]$ на $\mathbb {T}$ определяется $f(t)=(\cos(t),\sin(t))$ . Затем $\mu$ может быть определен $\mu (S)={\frac {1}{2\pi }}m(f^{-1}(S)),$ где $m$ является мерой Лебега на $[0,2\pi ]$ . Фактор $(2\pi )^{-1}$ выбирается так, что $\mu (\mathbb {T} )=1$ .
Если $G$ - группа положительных действительных чисел при умножении, то мера Хаара $\mu$ дан кем-то $\mu (S)=\int _{S}{\frac {1}{t}}\,dt$ для любого подмножества Бореля $S$ положительных действительных чисел. Например, если $S$ принимается за интервал $[a,b]$ , то находим $\mu (S)=\log(b/a)$ . Теперь позволим мультипликативной группе действовать на этом интервале умножением всех ее элементов на число $g$ , в результате чего $gS$ являющийся интервалом $[g\cdot a,g\cdot b].$ Измерив этот новый интервал, мы находим $\mu (gS)=\log((g\cdot b)/(g\cdot a))=\log(b/a)=\mu (S).$
Если $G$ - группа ненулевых действительных чисел с операцией умножения, то мера Хаара $\mu$ дан кем-то $\mu (S)=\int _{S}{\frac {1}{|t|}}\,dt$ для любого подмножества Бореля $S$ ненулевых действительных чисел.
Для общей линейной группы $G=GL(n,\mathbb {R} )$ , любая левая мера Хаара является правой мерой Хаара, и одна такая мера $\mu$ дан кем-то $\mu (S)=\int _{S}{1 \over |\det(X)|^{n}}\,dX$ где $dX$ обозначает меру Лебега на $\mathbb {R} ^{n^{2}}$ идентифицируется с совокупностью всех $n\times n$ -матрицы. Это следует из формулы замены переменных .
Обобщая предыдущие три примера, если группа $G$ представляется как открытое подмногообразие $\mathbb {R} ^{n}$ с гладкими групповыми операциями, то левая мера Хаара на $G$ дан кем-то ${\frac {1}{|J_{(x\cdot )}(e_{1})|}}d^{n}x$ , где $e_{1}$ является элементом групповой идентичности $G$ , $J_{(x\cdot )}(e_{1})$ - определитель Якобиана левого умножения на $x$ в $e_{1}$ , и $d^{n}x$ является мерой Лебега на $\mathbb {R} ^{n}$ . Это следует из формулы замены переменных . Правая мера Хаара задается таким же образом, за исключением $J_{(\cdot x)}(e_{1})$ являющийся якобианом правого умножения на $x$ .
Для ортогональной группы $G=O(n)$ , его мера Хаара может быть построена следующим образом (как распределение случайной величины). Первый образец $A\sim N(0,1)^{n\times n}$ , то есть матрица, все записи которой являются выборками IID нормального распределения со средним нулевым значением и единицей дисперсии. Затем используйте процесс Грама – Шмидта на матрице; результирующая случайная величина принимает значения в $O(n)$ и оно распределяется в соответствии с вероятностной мерой Хаара в этой группе. ^[7] Поскольку специальная ортогональная группа $SO(n)$ является открытой подгруппой $O(n)$ ограничение меры Хаара $O(n)$ к $SO(n)$ дает меру Хаара на $SO(n)$ (в терминах случайных величин это означает придание детерминанту значения 1, события с вероятностью 1/2).
Тот же метод, что и для $O(n)$ можно использовать для построения меры Хаара на унитарной группе $U(n)$ . Для специальной унитарной группы $G=SU(n)$ (который имеет меру 0 в $U(n)$ ), его мера Хаара может быть построена следующим образом. Первый образец $A$ от меры Хаара (нормированной к единице, так что это распределение вероятностей) на $U(n)$ , и разреши $e^{i\theta }=\det A$ , где $\theta$ может быть любой из углов, тогда независимо отбирайте $k$ из равномерного распределения по $\{1,...,n\}$ . Затем $e^{-i{\frac {\theta +2\pi k}{n}}}A$ распределяется как мера Хаара на $SU(n)$ .
Позволять $G$ — множество всех аффинных линейных преобразований $A:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ формы $r\mapsto xr+y$ для некоторых фиксированных $x,y\in \mathbb {R}$ с $x>0.$ Ассоциироваться с $G$ операция композиции функций $\circ$ , который превращается $G$ в неабелеву группу. $G$ можно отождествить с правой полуплоскостью $(0,\infty )\times \mathbb {R} =\left\{(x,y)~:~x,y\in \mathbb {R} ,x>0\right\}$ при котором групповая операция становится $(s,t)\circ (u,v)=(su,sv+t).$ Левоинвариантная мера Хаара $\mu _{L}$ (соответственно правоинвариантная мера Хаара $\mu _{R}$ ) на $G=(0,\infty )\times \mathbb {R}$ дан кем-то $\mu _{L}(S)=\int _{S}{\frac {1}{x^{2}}}\,dx\,dy$ и $\mu _{R}(S)=\int _{S}{\frac {1}{x}}\,dx\,dy$ для любого подмножества Бореля $S$ из $G=(0,\infty )\times \mathbb {R} .$ Это потому, что если $S\subseteq (0,\infty )\times \mathbb {R}$ является открытым подмножеством, то для $(s,t)\in G$ фиксировано, интегрирование заменой дает $\mu _{L}((s,t)\circ S)=\int _{(s,t)\circ S}{\frac {1}{x^{2}}}\,dx\,dy=\int _{S}{\frac {1}{(su)^{2}}}|(s)(s)-(0)(0)|\,du\,dv=\mu _{L}(S)$ в то время как для $(u,v)\in G$ зафиксированный, $\mu _{R}(S\circ (u,v))=\int _{S\circ (u,v)}{\frac {1}{x}}\,dx\,dy=\int _{S}{\frac {1}{su}}|(u)(1)-(v)(0)|\,ds\,dt=\mu _{R}(S).$
На любой группе Ли размерности $d$ левой мере Хаара можно сопоставить любой ненулевой левоинвариант $d$ -форма $\omega$ , как мера Лебега $|\omega |$ ; и аналогично для правых мер Хаара. Это также означает, что модульная функция может быть вычислена как абсолютное значение определителя присоединенного представления .
Единичная гипербола $\{(x,y):x^{2}-y^{2}=1,x>0\}$ можно рассматривать как группу при умножении, определенном как с расщепленными комплексными числами $z=x+yj,\ \ j^{2}=+1.$ Обычная мера площади в полумесяце $C=\{(x,y):|y|<x,\ \ x^{2}-y^{2}<1\}$ служит для определения гиперболического угла как площади его гиперболического сектора . Мера Хаара единичной гиперболы порождается гиперболическим углом отрезков гиперболы. Например, мера одной единицы определяется отрезком, идущим от (1,1) до (e,1/e), где e — число Эйлера . Гиперболический угол использовался в математической физике, где быстрота заменяла классическую скорость .
Если $G$ — группа ненулевых кватернионов , тогда $G$ можно рассматривать как открытое подмножество $\mathbb {R} ^{4}$ . Мера Хаара $\mu$ дан кем-то $\mu (S)=\int _{S}{\frac {1}{(x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2})^{2}}}\,dx\,dy\,dz\,dw$ где $dx\wedge dy\wedge dz\wedge dw$ обозначает меру Лебега в $\mathbb {R} ^{4}$ и $S$ является борелевским подмножеством $G$ .
Если $G$ представляет собой аддитивную группу $p$ -адические числа для простого числа $p$ , то мера Хаара определяется соотношением $a+p^{n}O$ иметь меру $p^{-n}$ , где $O$ это кольцо $p$ -адические целые числа.

Построение Хаара меры

Конструкция с использованием компактных подмножеств [ править ]

Следующий метод построения меры Хаара по сути является методом, использованным Хааром и Вейлем.

Для любых подмножеств $S,T\subseteq G$ с $S$ непустое определение $[T:S]$ быть наименьшим количеством левых переводов $S$ это покрытие $T$ (так что это неотрицательное целое число или бесконечность). Это не аддитивно для компактных наборов. $K\subseteq G$ , хотя он обладает тем свойством, что $[K:U]+[L:U]=[K\cup L:U]$ для непересекающихся компактов $K,L\subseteq G$ при условии, что $U$ является достаточно малой открытой окрестностью единицы (в зависимости от $K$ и $L$ ). Идея меры Хаара состоит в том, чтобы взять своего рода предел $[K:U]$ как $U$ становится меньше, чтобы сделать его аддитивным для всех пар непересекающихся компактов, хотя сначала его необходимо нормализовать, чтобы предел не был просто бесконечностью. Так что исправьте компактный набор $A$ с непустой внутренностью (которая существует, поскольку группа локально компактна) и для компактного множества $K$ определять

\mu _{A}(K)=\lim _{U}{\frac {[K:U]}{[A:U]}}

где предел берется для подходящего направленного набора открытых окрестностей единицы, в конечном итоге содержащихся в любой данной окрестности; существование направленного множества такого, что существует предел, следует из теоремы Тихонова .

Функция $\mu _{A}$ аддитивен на непересекающихся компактных подмножествах $G$ , что подразумевает, что это обычный контент . Из обычного содержимого можно построить меру, сначала расширив $\mu _{A}$ открыть множества по внутренней регулярности, затем ко всем множествам по внешней регулярности, а затем ограничить его борелевскими множествами. (Даже для открытых наборов $U$ , соответствующая мера $\mu _{A}(U)$ не обязательно задаваться формулой lim sup, приведенной выше. Проблема в том, что функция, заданная формулой lim sup, в общем случае не является счетно-субаддитивной и, в частности, бесконечна на любом множестве без компактного замыкания, поэтому не является внешней мерой.)

Конструкция с использованием компактно поддерживаемых функций [ править ]

Картан предложил другой способ построения меры Хаара как меры Радона (положительный линейный функционал от непрерывных функций с компактным носителем), который аналогичен конструкции, приведенной выше, за исключением того, что $A$ , $K$ , и $U$ являются положительными непрерывными функциями компактного носителя, а не подмножествами $G$ . В этом случае мы определяем $[K:U]$ быть нижней частью чисел $c_{1}+\cdots +c_{n}$ такой, что $K(g)$ меньше линейной комбинации $c_{1}U(g_{1}g)+\cdots +c_{n}U(g_{n}g)$ левых переводов $U$ для некоторых $g_{1},\ldots ,g_{n}\in G$ . Как и прежде, мы определяем

\mu _{A}(K)=\lim _{U}{\frac {[K:U]}{[A:U]}}

.

Тот факт, что предел существует, требует некоторых усилий, чтобы доказать, хотя преимущество этого метода состоит в том, что доказательство позволяет избежать использования аксиомы выбора, а также дает уникальность меры Хаара в качестве побочного продукта. Функционал $\mu _{A}$ продолжается до положительного линейного функционала на непрерывных функциях с компактным носителем и, таким образом, дает меру Хаара. (Обратите внимание, что хотя предел линеен по $K$ , индивидуальные условия $[K:U]$ обычно не являются линейными по $K$ .)

Построение с использованием средних значений функций [ править ]

Фон Нейман предложил метод построения меры Хаара с использованием средних значений функций, однако он работает только для компактных групп. Идея состоит в том, что данная функция $f$ на компактной группе можно найти выпуклую комбинацию ${\textstyle \sum a_{i}f(g_{i}g)}$ (где ${\textstyle \sum a_{i}=1}$ ) ее левого транслятора, отличающегося от постоянной функции не более чем на какое-то малое число $\epsilon$ . Затем показано, что как $\epsilon$ стремится к нулю, значения этих постоянных функций стремятся к пределу, который называется средним значением (или интегралом) функции $f$ .

Для локально компактных, но некомпактных групп эта конструкция не дает меры Хаара, поскольку среднее значение функций с компактным носителем равно нулю. Однако нечто подобное действительно работает для почти периодических функций в группе, которые имеют среднее значение, хотя это не указано в отношении меры Хаара.

Конструкция групп Ли [ править ]

На n -мерной группе Ли меру Хаара легко построить как меру, индуцированную левоинвариантной n -формой. Это было известно до появления теоремы Хаара.

Правильная Хаара мера

Можно также доказать, что существует единственная (с точностью до умножения на положительную константу) право-трансляционно-инвариантная борелевская мера $\nu$ удовлетворяющий указанным выше условиям регулярности и конечный на компактах, но не обязательно совпадающий с левотрансляционно-инвариантной мерой $\mu$ . Левая и правая меры Хаара одинаковы только для так называемых унимодулярных групп (см. ниже). Однако довольно просто найти связь между $\mu$ и $\nu$ .

Действительно, для борелевского множества $S$ , обозначим через $S^{-1}$ множество обратных элементов $S$ . Если мы определим

\mu _{-1}(S)=\mu (S^{-1})\quad

то это правая мера Хаара. Чтобы показать правую инвариантность, примените определение:

\mu _{-1}(Sg)=\mu ((Sg)^{-1})=\mu (g^{-1}S^{-1})=\mu (S^{-1})=\mu _{-1}(S).\quad

Поскольку правая мера единственна, отсюда следует, что $\mu _{-1}$ кратно $\nu$ и так

\mu (S^{-1})=k\nu (S)\,

для всех наборов Бореля $S$ , где $k$ — некоторая положительная константа.

Модульная функция [ править ]

Левый перевод правой меры Хаара является правой мерой Хаара. Точнее, если $\nu$ является правой мерой Хаара, то для любого фиксированного выбора элемента g группы

S\mapsto \nu (g^{-1}S)\quad

также является правым инвариантом. Таким образом, в силу единственности с точностью до постоянного масштабного коэффициента меры Хаара существует функция $\Delta$ от группы к положительным действительным числам, называемым модулем Хаара , модулярной функцией или модульным характером , так что для каждого борелевского набора $S$

\nu (g^{-1}S)=\Delta (g)\nu (S).\quad

Поскольку правая мера Хаара четко определена с точностью до положительного масштабного коэффициента, это уравнение показывает, что модулярная функция не зависит от выбора правой меры Хаара в приведенном выше уравнении.

Модульная функция представляет собой непрерывный групповой гомоморфизм из G в мультипликативную группу положительных действительных чисел . Группа называется унимодулярной , если модулярная функция тождественно $1$ или, что то же самое, если мера Хаара инвариантна как слева, так и справа. Примерами унимодулярных групп являются абелевы группы , компактные группы , дискретные группы (например, конечные группы ), полупростые группы Ли и связные нильпотентные группы Ли . ^{[ нужна цитата ]} Примером неунимодулярной группы является группа аффинных преобразований.

{\big \{}x\mapsto ax+b:a\in \mathbb {R} \setminus \{0\},b\in \mathbb {R} {\big \}}=\left\{{\begin{bmatrix}a&b\\0&1\end{bmatrix}}\right\}

на реальной линии. Этот пример показывает, что разрешимая группа Ли не обязательно должна быть унимодулярной. В этой группе левая мера Хаара имеет вид ${\frac {1}{a^{2}}}da\wedge db$ и правая мера Хаара ${\frac {1}{|a|}}da\wedge db$ .

на пространствах Меры однородных

Если локально компактная группа $G$ действует транзитивно на однородном пространстве $G/H$ , можно задаться вопросом, имеет ли это пространство инвариантную меру или, в более общем смысле, полуинвариантную меру со свойством, что $\mu (gS)=\chi (g)\mu (S)$ для какого-то персонажа $\chi$ из $G$ . Необходимым и достаточным условием существования такой меры является выполнение ограничения $\chi |_{H}$ равно $\Delta |_{H}/\delta$ , где $\Delta$ и $\delta$ являются модульными функциями $G$ и $H$ соответственно. ^[8] В частности, инвариантная мера на $G/H$ существует тогда и только тогда, когда модулярная функция $\Delta$ из $G$ ограниченный $H$ это модульная функция $\delta$ из $H$ .

Пример [ править ]

Если $G$ это группа $SL_{2}(\mathbb {R} )$ и $H$ — подгруппа верхнетреугольных матриц, то модулярная функция $H$ нетривиальна, но модулярная функция $G$ тривиально. Их частное не может быть распространено ни на один характер $G$ , поэтому факторпространство $G/H$ (которое можно рассматривать как одномерное реальное проективное пространство ) не имеет даже полуинвариантной меры.

Ее интеграл [ править ]

Затем, используя общую теорию интегрирования Лебега , можно определить интеграл для всех измеримых по Борелю функций. $f$ на $G$ . Этот интеграл называется интегралом Хаара и обозначается как:

\int f(x)\,d\mu (x)

где $\mu$ – мера Хаара.

Одно свойство левой меры Хаара $\mu$ это позволить $s$ быть элементом $G$ , справедливо следующее:

\int _{G}f(sx)\ d\mu (x)=\int _{G}f(x)\ d\mu (x)

для любой интегрируемой Хааром функции $f$ на $G$ . Это непосредственно для индикаторных функций :

\int {\mathit {1}}_{A}(tg)\,d\mu =\int {\mathit {1}}_{t^{-1}A}(g)\,d\mu =\mu (t^{-1}A)=\mu (A)=\int {\mathit {1}}_{A}(g)\,d\mu ,

что по сути является определением левой инвариантности.

Использует [ править ]

В том же выпуске Annals of Mathematics и сразу после статьи Хаара теорема Хаара была использована для решения пятой проблемы Гильберта, ограниченной Джоном фон Нейманом компактными группами . ^[9]

Пока не $G$ является дискретной группой, невозможно определить счетно-аддитивную левоинвариантную регулярную меру на всех подмножествах группы. $G$ , предполагая аксиому выбора , согласно теории неизмеримых множеств .

анализ Абстрактный гармонический

Меры Хаара используются в гармоническом анализе локально компактных групп, в частности в теории двойственности Понтрягина . ^[10]^[11]^[12] Доказать существование меры Хаара на локально компактной группе. $G$ достаточно представить левоинвариантную меру Радона на $G$ .

Математическая статистика [ править ]

В математической статистике меры Хаара используются для априорных мер, которые представляют собой априорные вероятности для компактных групп преобразований. Эти предварительные меры используются для построения допустимых процедур путем обращения к характеристике допустимых процедур как байесовских процедур (или пределов байесовских процедур) Вальда . Например, правая мера Хаара для семейства распределений с параметром местоположения приводит к оценке Питмана , которая является лучшим эквивариантом . Когда левая и правая меры Хаара различаются, правая мера обычно предпочтительнее в качестве предварительного распределения. Для группы аффинных преобразований в пространстве параметров нормального распределения правой мерой Хаара является априорная мера Джеффриса. ^[13] К сожалению, даже правильные меры Хаара иногда приводят к бесполезным априорным значениям, которые нельзя рекомендовать для практического использования, как и другие методы построения априорных мер, избегающие субъективной информации. ^[14]

Другое использование меры Хаара в статистике — условный вывод , в котором выборочное распределение статистики обусловлено другой статистикой данных. В условном выводе теории инвариантов выборочное распределение обусловлено инвариантом группы преобразований (относительно которых определена мера Хаара). Результат обусловления иногда зависит от порядка использования инвариантов и от выбора максимального инварианта , так что сам по себе статистический принцип инвариантности не может выбрать какую-либо уникальную лучшую условную статистику (если таковая существует); нужен, по крайней мере, другой принцип.

Для некомпактных групп статистики расширили результаты меры Хаара, используя аменабельные группы . ^[15]

Вейля теорема Обратная

В 1936 году Андре Вейль доказал (своего рода) обратную теорему Хаара, показав, что если группа имеет левоинвариантную меру с определенным разделяющим свойством, ^[3] тогда на группе можно определить топологию, а пополнение группы локально компактно и данная мера по существу совпадает с мерой Хаара на этом пополнении.

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Перейти обратно: ^а ^б Хаар, А. (1933), «Понятие меры в теории непрерывных групп», Анналы математики , 2, том. 34, № 1, стр. 147–169, номер документа : 10.2307/1968346 , JSTOR 1968346.
^ И. М. Джеймс, История топологии, стр. 186.
^ Перейти обратно: ^а ^б Халмос, Пол Р. (1950). Теория меры . Нью-Йорк: Springer Science + Business Media. п. 219-220. ISBN 978-1-4684-9442-6 .
^ Вейль, Андре (1940), Интеграция в топологических группах и ее приложения , Scientific and Industrial News, vol. 869, Париж: Германн
^ Картан, Анри (1940), «Об измерении де Хаара», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris , 211 : 759–762.
^ Альфсен, Э.М. (1963), "Упрощенное конструктивное доказательство существования и единственности меры Хаара" , Матем. Скан. , 12 : 106–116
^ Диаконис, Перси (12 февраля 2003 г.). «Закономерности собственных значений: 70-я лекция Джозайи Уилларда Гиббса» . Бюллетень Американского математического общества . 40 (2): 155–178. дои : 10.1090/s0273-0979-03-00975-3 . ISSN 0273-0979 .
^ Бурбаки, Николя (2004), Интеграция II Гл. 7 § 6 Теорема 3 , Берлин-Гейдельберг-Нью-Йорк: Springer
^ фон Нейман, Дж. (1933), «Введение аналитических параметров в топологические группы», Анналы математики , 2, том. 34, № 1, стр. 170–179, номер документа : 10.2307/1968347 , JSTOR 1968347.
^ Банащик, Войцех (1991). Аддитивные подгруппы топологических векторных пространств . Конспект лекций по математике. Том. 1466. Берлин: Springer-Verlag. стр. 100-1 VIII+178. ISBN 3-540-53917-4 . МР 1119302 .
^ Юрий Иванович Любич. Введение в теорию банаховых представлений групп . Перевод с русскоязычного издания 1985 года (Харьков (Харьков), Украина). Биркхойзер Верлаг. 1988.
^ Чарльз Ф. Данкл и Дональд Э. Рамирес: Темы гармонического анализа . Эпплтон-Сентьюри-Крофтс. 1971. ISBN 039027819X .
^ Бергер, Джеймс О. (1985), «6 Инвариантность», Статистическая теория принятия решений и байесовский анализ (второе изд.), Springer Verlag, стр. 388–432.
^ Роберт, Кристиан П. (2001). Байесовский выбор - мотивация теории принятия решений (второе изд.). Спрингер. ISBN 0-387-94296-3 .
^ Бондарь, Джеймс V; Милнс, Пол (1981). «Аменабельность: обзор статистических применений Ханта – Штейна и связанных с ними условий для групп» . Журнал теории вероятностей и смежных областей . 57 : 103–128. дои : 10.1007/BF00533716 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Дистель, Джо; Спалсбери, Анджела (2014), Радости меры Хаара , Аспирантура по математике, том. 150, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN. 978-1-4704-0935-7 , МР 3186070
Лумис, Линн (1953), Введение в абстрактный гармонический анализ , Д. ван Ностранд и компания, hdl : 2027/uc1.b4250788 .
Хьюитт, Эдвин; Росс, Кеннет А. (1963), Абстрактный гармонический анализ. Том I: Структура топологических групп. Теория интеграции, представления групп. , Основные положения математических наук, вып. 115, Берлин-Геттинген-Гейдельберг: Springer-Verlag, MR 0156915
Нахбин, Леопольдо (1965), Интеграл Хаара , Принстон, Нью-Джерси: Д. Ван Ностранд
Андре Вейль , Основная теория чисел , Academic Press, 1971.

Внешние ссылки [ править ]

Существование и единственность интеграла Хаара на локально компактной топологической группе - Герт К. Педерсен
О существовании и единственности инвариантных мер на локально компактных группах - Саймон Рубинштейн-Сальцедо

[Haar-1] Перейти обратно: ^а ^б Хаар, А. (1933), «Понятие меры в теории непрерывных групп», Анналы математики , 2, том. 34, № 1, стр. 147–169, номер документа : 10.2307/1968346 , JSTOR 1968346.

[2] И. М. Джеймс, История топологии, стр. 186.

[:0-3] Перейти обратно: ^а ^б Халмос, Пол Р. (1950). Теория меры . Нью-Йорк: Springer Science + Business Media. п. 219-220. ISBN 978-1-4684-9442-6 .

[4] Вейль, Андре (1940), Интеграция в топологических группах и ее приложения , Scientific and Industrial News, vol. 869, Париж: Германн

[5] Картан, Анри (1940), «Об измерении де Хаара», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris , 211 : 759–762.

[6] Альфсен, Э.М. (1963), "Упрощенное конструктивное доказательство существования и единственности меры Хаара" , Матем. Скан. , 12 : 106–116

[7] Диаконис, Перси (12 февраля 2003 г.). «Закономерности собственных значений: 70-я лекция Джозайи Уилларда Гиббса» . Бюллетень Американского математического общества . 40 (2): 155–178. дои : 10.1090/s0273-0979-03-00975-3 . ISSN 0273-0979 .

[8] Бурбаки, Николя (2004), Интеграция II Гл. 7 § 6 Теорема 3 , Берлин-Гейдельберг-Нью-Йорк: Springer

[9] фон Нейман, Дж. (1933), «Введение аналитических параметров в топологические группы», Анналы математики , 2, том. 34, № 1, стр. 170–179, номер документа : 10.2307/1968347 , JSTOR 1968347.

[10] Банащик, Войцех (1991). Аддитивные подгруппы топологических векторных пространств . Конспект лекций по математике. Том. 1466. Берлин: Springer-Verlag. стр. 100-1 VIII+178. ISBN 3-540-53917-4 . МР 1119302 .

[11] Юрий Иванович Любич. Введение в теорию банаховых представлений групп . Перевод с русскоязычного издания 1985 года (Харьков (Харьков), Украина). Биркхойзер Верлаг. 1988.

[12] Чарльз Ф. Данкл и Дональд Э. Рамирес: Темы гармонического анализа . Эпплтон-Сентьюри-Крофтс. 1971. ISBN 039027819X .

[13] Бергер, Джеймс О. (1985), «6 Инвариантность», Статистическая теория принятия решений и байесовский анализ (второе изд.), Springer Verlag, стр. 388–432.

[14] Роберт, Кристиан П. (2001). Байесовский выбор - мотивация теории принятия решений (второе изд.). Спрингер. ISBN 0-387-94296-3 .

[15] Бондарь, Джеймс V; Милнс, Пол (1981). «Аменабельность: обзор статистических применений Ханта – Штейна и связанных с ними условий для групп» . Журнал теории вероятностей и смежных областей . 57 : 103–128. дои : 10.1007/BF00533716 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

v т Это Интегралы
Types of integrals	Riemann integral Lebesgue integral Burkill integral Bochner integral Daniell integral Darboux integral Henstock–Kurzweil integral Haar integral Hellinger integral Khinchin integral Kolmogorov integral Lebesgue–Stieltjes integral Pettis integral Pfeffer integral Riemann–Stieltjes integral Regulated integral
Integration techniques	Substitution Trigonometric Euler Weierstrass By parts Partial fractions Euler's formula Inverse functions Changing order Reduction formulas Parametric derivatives Differentiation under the integral sign Laplace transform Contour integration Laplace's method Numerical integration Simpson's rule Trapezoidal rule Risch algorithm
Improper integrals	Gaussian integral Dirichlet integral Fermi–Dirac integral complete incomplete Bose–Einstein integral Frullani integral Common integrals in quantum field theory
Stochastic integrals	Itô integral Russo–Vallois integral Stratonovich integral Skorokhod integral
Miscellaneous	Basel problem Euler–Maclaurin formula Gabriel's horn Integration Bee Proof that 22/7 exceeds π Volumes Washers Shells