Неравенство Минковского

Эта статья о неравенстве Минковского для норм. О неравенстве Минковского в выпуклой геометрии см. первое неравенство Минковского для выпуклых тел .

В математическом анализе неравенство Минковского устанавливает, что L ^п пространства являются нормированными векторными пространствами . Позволять $S$ — пространство с мерой , пусть $1\leq p<\infty$ и пусть $f$ и $g$ быть элементами $L^{p}(S).$ Затем $f+g$ находится в $L^{p}(S),$ и мы имеем неравенство треугольника

$$\|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}$$

с равенством для $1<p<\infty$ тогда и только тогда, когда $f$ и $g$ положительно линейно зависимы ; то есть, $f=\lambda g$ для некоторых $\lambda \geq 0$ или $g=0.$ Здесь норма определяется:

$$\|f\|_{p}=\left(\int |f|^{p}d\mu \right)^{\frac {1}{p}}$$

если $p<\infty ,$ или в случае $p=\infty$ по существенному супремуму

$$\|f\|_{\infty }=\operatorname {ess\ sup} _{x\in S}|f(x)|.$$

Неравенство Минковского — это неравенство треугольника в $L^{p}(S).$ На самом деле это частный случай более общего факта.

$$\|f\|_{p}=\sup _{\|g\|_{q}=1}\int |fg|d\mu ,\qquad {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1$$

где, как легко видеть, правая часть удовлетворяет треугольному неравенству.

Как и неравенство Гельдера , неравенство Минковского можно специализировать для последовательностей и векторов, используя счетную меру :

$${\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|x_{k}+y_{k}|^{p}{\biggr )}^{1/p}\leq {\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}{\biggr )}^{1/p}+{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{p}{\biggr )}^{1/p}$$

для всех действительных (или комплексных ) чисел $x_{1},\dots ,x_{n},y_{1},\dots ,y_{n}$ и где $n$ это мощность ​ $S$ (количество элементов в $S$).

Неравенство названо в честь немецкого математика Германа Минковского .

Доказательство

Сначала мы докажем, что $f+g$ имеет конечное значение $p$-норма, если $f$ и $g$ оба делают, что следует из

$$|f+g|^{p}\leq 2^{p-1}(|f|^{p}+|g|^{p}).$$

Действительно, здесь мы используем тот факт, что $h(x)=|x|^{p}$ является выпуклым над $\mathbb {R} ^{+}$ (для $p>1$) и поэтому по определению выпуклости

$$\left|{\tfrac {1}{2}}f+{\tfrac {1}{2}}g\right|^{p}\leq \left|{\tfrac {1}{2}}|f|+{\tfrac {1}{2}}|g|\right|^{p}\leq {\tfrac {1}{2}}|f|^{p}+{\tfrac {1}{2}}|g|^{p}.$$

Это означает, что

$$|f+g|^{p}\leq {\tfrac {1}{2}}|2f|^{p}+{\tfrac {1}{2}}|2g|^{p}=2^{p-1}|f|^{p}+2^{p-1}|g|^{p}.$$

Теперь мы можем с полным основанием говорить о $\|f+g\|_{p}.$ Если оно равно нулю, то неравенство Минковского выполнено. Теперь мы предполагаем, что $\|f+g\|_{p}$ не равен нулю. Используя неравенство треугольника, а затем неравенство Гёльдера , находим, что

$${\begin{aligned}\|f+g\|_{p}^{p}&=\int |f+g|^{p}\,\mathrm {d} \mu \\&=\int |f+g|\cdot |f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu \\&\leq \int (|f|+|g|)|f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu \\&=\int |f||f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu +\int |g||f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu \\&\leq \left(\left(\int |f|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {1}{p}}+\left(\int |g|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {1}{p}}\right)\left(\int |f+g|^{(p-1)\left({\frac {p}{p-1}}\right)}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1-{\frac {1}{p}}}&&{\text{ Hölder's inequality}}\\&=\left(\|f\|_{p}+\|g\|_{p}\right){\frac {\|f+g\|_{p}^{p}}{\|f+g\|_{p}}}\end{aligned}}$$

Мы получаем неравенство Минковского, умножая обе части на

$${\frac {\|f+g\|_{p}}{\|f+g\|_{p}^{p}}}.$$

Минковского

Предположим, что $(S_{1},\mu _{1})$ и $(S_{2},\mu _{2})$ являются двумя 𝜎-конечными пространствами с мерой и $F:S_{1}\times S_{2}\to \mathbb {R}$ измерима. Тогда интегральное неравенство Минковского будет:

$$\left[\int _{S_{2}}\left|\int _{S_{1}}F(x,y)\,\mu _{1}(\mathrm {d} x)\right|^{p}\mu _{2}(\mathrm {d} y)\right]^{\frac {1}{p}}~\leq ~\int _{S_{1}}\left(\int _{S_{2}}|F(x,y)|^{p}\,\mu _{2}(\mathrm {d} y)\right)^{\frac {1}{p}}\mu _{1}(\mathrm {d} x),$$

с очевидными изменениями в деле $p=\infty .$ Если $p>1,$ и обе части конечны, то равенство имеет место только в том случае, если $|F(x,y)|=\varphi (x)\,\psi (y)$ п.в. для некоторых неотрицательных измеримых функций $\varphi$ и $\psi .$

Если $\mu _{1}$ — считающая мера на множестве из двух точек $S_{1}=\{1,2\},$ то интегральное неравенство Минковского дает обычное неравенство Минковского как частный случай: для того, чтобы положить $f_{i}(y)=F(i,y)$ для $i=1,2,$ интегральное неравенство дает

$$\|f_{1}+f_{2}\|_{p}=\left(\int _{S_{2}}\left|\int _{S_{1}}F(x,y)\,\mu _{1}(\mathrm {d} x)\right|^{p}\mu _{2}(\mathrm {d} y)\right)^{\frac {1}{p}}\leq \int _{S_{1}}\left(\int _{S_{2}}|F(x,y)|^{p}\,\mu _{2}(\mathrm {d} y)\right)^{\frac {1}{p}}\mu _{1}(\mathrm {d} x)=\|f_{1}\|_{p}+\|f_{2}\|_{p}.$$

Если измеримая функция $F:S_{1}\times S_{2}\to \mathbb {R}$ неотрицательна, то для всех $1\leq p\leq q\leq \infty ,$

$$\left\|\left\|F(\,\cdot ,s_{2})\right\|_{L^{p}(S_{1},\mu _{1})}\right\|_{L^{q}(S_{2},\mu _{2})}~\leq ~\left\|\left\|F(s_{1},\cdot )\right\|_{L^{q}(S_{2},\mu _{2})}\right\|_{L^{p}(S_{1},\mu _{1})}\ .$$

Эти обозначения были обобщены на

$$\|f\|_{p,q}=\left(\int _{\mathbb {R} ^{m}}\left[\int _{\mathbb {R} ^{n}}|f(x,y)|^{q}\mathrm {d} y\right]^{\frac {p}{q}}\mathrm {d} x\right)^{\frac {1}{p}}$$

для $f:\mathbb {R} ^{m+n}\to E,$ с ${\mathcal {L}}_{p,q}(\mathbb {R} ^{m+n},E)=\{f\in E^{\mathbb {R} ^{m+n}}:\|f\|_{p,q}<\infty \}.$ Используя эти обозначения, манипуляции с показателями степени показывают, что, если $p<q,$ затем $\|f\|_{q,p}\leq \|f\|_{p,q}.$

неравенство

Когда $p<1$ имеет место обратное неравенство:

$$\|f+g\|_{p}\geq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}.$$

Далее нам необходимо ограничение, согласно которому оба $f$ и $g$ неотрицательны, как видно из примера $f=-1,g=1$ и $p=1:$ $\|f+g\|_{1}=0<2=\|f\|_{1}+\|g\|_{1}.$

Обратное неравенство следует из того же аргумента, что и стандартное Минковского, но использует тот факт, что неравенство Гёльдера также обращено в этом диапазоне.

Используя Обратный Минковский, мы можем доказать, что власть означает $p\leq 1,$ такие как среднее гармоническое и среднее геометрическое, являются вогнутыми.

Обобщения на другие функции

Неравенство Минковского можно обобщить на другие функции. $\phi (x)$ за пределами степенной функции $x^{p}.$ Обобщенное неравенство имеет вид

$$\phi ^{-1}\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}\phi (x_{i}+y_{i})\right)\leq \phi ^{-1}\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}\phi (x_{i})\right)+\phi ^{-1}\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}\phi (y_{i})\right).$$

Различные достаточные условия на $\phi$ были найдены Малхолландом и другие. Например, для $x\geq 0$ один набор достаточных условий Малхолланда есть

1. $\phi (x)$ непрерывен и строго возрастает с ростом $\phi (0)=0.$
2. $\phi (x)$ является выпуклой функцией $x.$
3. $\log \phi (x)$ является выпуклой функцией $\log(x).$

См. также

• Неравенство Коши – Шварца - математическое неравенство, связывающее внутренние продукты и нормы.
• Неравенство Гельдера - Неравенство между интегралами в пространствах Lp
• Неравенство Малера - неравенство, связывающее среднее геометрическое двух конечных последовательностей положительных чисел с суммой каждого отдельного среднего геометрического. Страницы, отображающие описания в Викиданных в качестве запасного варианта.
• Неравенство свертки Юнга - математическое неравенство о свертке двух функций
• Неравенство Юнга для продуктов . Математическая концепция.

Ссылки

• Бахури, Хаджер ; Шемен, Жан Ив ; Данчин, Рафаэль (2011). Анализ Фурье и нелинейные уравнения в частных производных . Основные принципы математических наук. Том 343. Берлин, Гейдельберг: Springer. ISBN  978-3-642-16830-7 . OCLC   704397128 .
• Харди, штат Джорджия ; Литтлвуд, JE ; Полиа, Г. (1988). Неравенства . Кембриджская математическая библиотека (второе изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-35880-9 .
• Минковский, Х. (1953). Геометрия чисел . Челси. .
• Штейн, Элиас (1970). Сингулярные интегралы и свойства дифференцируемости функций . Издательство Принстонского университета. .
• М. И. Войцеховский (2001) [1994], «Неравенство Минковского» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Лоуотер, Артур Дж. (1982). «Введение в неравенства» .

Дальнейшее чтение

• Буллен, PS (2003), «Сила означает» , Справочник по средствам и их неравенству , Дордрехт: Springer Нидерланды, стр. 175–265, doi : 10.1007/978-94-017-0399-4_3 , ISBN  978-90-481-6383-0 , получено 23 июня 2022 г.