Неравенства Ханнера

В математике неравенства Ханнера являются результатами теории L ^п пространства . Их доказательство было опубликовано в 1956 году Олофом Ханнером . Они обеспечивают более простой способ доказать выпуклость L равномерную ^п пространства для p ∈ (1, +∞), чем подход, предложенный Джеймсом А. Кларксоном в 1936 году.

Формулировка неравенств

Пусть f , g ∈ L ^п ( E ), где E — любое пространство с мерой . Если p ∈ [1, 2], то

$\|f+g\|_{p}^{p}+\|f-g\|_{p}^{p}\geq {\big (}\|f\|_{p}+\|g\|_{p}{\big )}^{p}+{\big |}\|f\|_{p}-\|g\|_{p}{\big |}^{p}.$

Замены F = f + g и G = f − g дают второе из неравенств Ханнера:

$2^{p}{\big (}\|F\|_{p}^{p}+\|G\|_{p}^{p}{\big )}\geq {\big (}\|F+G\|_{p}+\|F-G\|_{p}{\big )}^{p}+{\big |}\|F+G\|_{p}-\|F-G\|_{p}{\big |}^{p}.$

При p ∈ [2, +∞) неравенства меняются местами (они остаются нестрогими).

Обратите внимание, что для $p=2$ неравенства становятся равенствами, которые одновременно являются правилом параллелограмма .

Ссылки

• Кларксон, Джеймс А. (1936). «Равномерно выпуклые пространства» . Пер. амер. Математика. Соц . 40 (3). Американское математическое общество: 396–414. дои : 10.2307/1989630 . JSTOR   1989630 . МИСТЕР 1501880
• Ханнер, Олоф (1956). «О равномерной выпуклости L ^п и ℓ ^п " . Ark. Mat . 3 (3): 239–244. doi : 10.1007/BF02589410 . MR 0077087