L-бесконечность

В математике , $\ell ^{\infty }$ (действительное или комплексное) , векторное пространство ограниченных последовательностей с супремумной нормой и $L^{\infty }=L^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )$ , векторное пространство существенно ограниченных измеримых функций с существенной супремумной нормой, представляют собой два тесно связанных банаховых пространства . На самом деле первое является частным случаем второго. Как банахово пространство, они являются непрерывным двойственным банаховым пространством. $\ell _{1}$ абсолютно суммируемых последовательностей и $L^{1}=L^{1}(X,\Sigma ,\mu )$ абсолютно интегрируемых измеримых функций (если пространство с мерой удовлетворяет условиям локализуемости и, следовательно, полуконечности). ^[1] Поточечное умножение придает им структуру банаховой алгебры , и фактически они являются стандартными примерами абелевых алгебр фон Неймана .

Пространство последовательности [ править ]

Векторное пространство $\ell ^{\infty }$ — пространство последовательностей , элементами которого являются ограниченные последовательности . Операции векторного пространства, сложение и скалярное умножение, применяются по координате. По отношению к норме

\|x\|_{\infty }=\sup _{n}|x_{n}|

\ell ^{\infty }

является стандартным примером банахова пространства . Фактически,

\ell ^{\infty }

можно рассматривать как

\ell ^{p}

пространство с самым большим

p

.

Это пространство является сильным дуальным пространством $\ell ^{1}$ : действительно, каждый $x\in \ell ^{\infty }$ определяет непрерывный функционал в пространстве $\ell ^{1}$ абсолютно суммируемых последовательностей путем покомпонентного умножения и суммирования:

{\begin{aligned}\ell ^{\infty }&\to ({\ell ^{1}})'\\x&\mapsto \left(y\mapsto \sum _{i=1}^{\infty }x_{i}y_{i}\right)\end{aligned}}

Оценивая на $(0,\ldots ,0,1,0,\ldots )$ мы видим, что каждый непрерывный линейный функционал на $\ell ^{1}$ возникает таким образом. т.е.

({\ell ^{1}})^{'}=\ell ^{\infty }

Однако не всякий непрерывный линейный функционал на $\ell ^{\infty }$ возникает из абсолютно суммируемого ряда по $\ell ^{1},$ и, следовательно, $\ell ^{\infty }$ не является рефлексивным банаховым пространством .

Функциональное пространство [ править ]

$L^{\infty }$ это функциональное пространство . Его элементами являются существенно ограниченные измеримые функции . ^[2]

Точнее, $L^{\infty }$ определяется на основе базового пространства меры , $(S,\Sigma ,\mu ).$ Начните с набора всех измеримых функций из $S$ к $\mathbb {R}$ которые существенно ограничены , то есть ограничены, за исключением множества нулевой меры. Две такие функции отождествляются, если они почти всюду равны. Обозначим полученное множество через $L^{\infty }(S,\mu ).$

Для функции $f$ в этом наборе его существенная супремум соответствующей нормой служит :

\|f\|_{\infty }\equiv \inf\{C\geq 0:|f(x)|\leq C{\text{ for almost every }}x\}.

Эта норма является единой нормой , это

L^{p}

норма для

p=\infty .

Пространство последовательностей является частным случаем функционального пространства: $\ell ^{\infty }=L^{\infty }(\mathbb {N} )$ где натуральные числа снабжены счетной мерой.

Приложения [ править ]

Одно применение $\ell ^{\infty }$ и $L^{\infty }$ находится в экономиках с бесконечным количеством товаров. ^[3] В простых экономических моделях принято предполагать, что существует только конечное число различных товаров, например домов, фруктов, автомобилей и т. д., поэтому каждый набор может быть представлен конечным вектором, а набор потребления представляет собой векторное пространство. с конечной размерностью. Но на самом деле число различных товаров может быть бесконечным. Например, «дом» не является отдельным видом товара, поскольку стоимость дома зависит от его местоположения. Таким образом, количество различных товаров — это количество различных мест, которое можно считать бесконечным. В этом случае совокупность потребления естественным образом представляется в виде $L^{\infty }.$

См. также [ править ]

Единая норма - функция в математическом анализе
Расстояние Чебышева – Математическая метрика

Ссылки [ править ]

^ «Элементарная теория множеств. Почему каждое локализуемое пространство с мерой является полуконечным пространством с мерой?» .
^ Брезис, Хаим (2010). Функциональный анализ, пространства Соболева и уравнения в частных производных . Спрингер. п. 91. ИСБН 978-0-387-70913-0 .
^ Бьюли, Т.Ф. (1972). «Существование равновесия в экономиках с бесконечным количеством товаров». Журнал экономической теории . 4 (3): 514–540. дои : 10.1016/0022-0531(72)90136-6 .

[1] «Элементарная теория множеств. Почему каждое локализуемое пространство с мерой является полуконечным пространством с мерой?» .

[2] Брезис, Хаим (2010). Функциональный анализ, пространства Соболева и уравнения в частных производных . Спрингер. п. 91. ИСБН 978-0-387-70913-0 .

[3] Бьюли, Т.Ф. (1972). «Существование равновесия в экономиках с бесконечным количеством товаров». Журнал экономической теории . 4 (3): 514–540. дои : 10.1016/0022-0531(72)90136-6 .

[1]

[2]

[3]

v т и банахового пространства Темы
Типы банаховых пространств	Асплунд Банах список Банахова решетка Гротендик Гильберт Внутреннее пространство продукта Поляризационная идентичность ( Полиномиально ) Рефлексивный Рисс L-полувнутренний продукт ( Б Строго Равномерно ) выпуклый Равномерно гладкий ( Инъективный Проективное ) Тензорное произведение ( гильбертовых пространств )
Банаховы пространства – это:	ствольный Полный F-пространство Фреше приручить Локально выпуклый Полунормы / функционалы Минковского Макки метризуемый Нормированный норма Квазинормед Стереотип
Топологии функционального пространства	Компакт Банаха – Мазура Двойной Двойное пространство Двойная норма Оператор Ультраслабый Слабый полярный оператор Сильный полярный оператор Ультрасильный Равномерная сходимость
Линейные операторы	заместитель Билинейный форма оператор полуторалинейный ( Un ) Ограниченный Закрыто Компактный на гильбертовых пространствах ( Dis ) Непрерывный Плотно определены Фредхольм ядро оператор Гильберт-Шмидт Функционалы позитивный Псевдомонотонный Нормальный Ядерный Self-adjoint Strictly singular Trace class Transpose Unitary
Operator theory	Banach algebras C-algebras Operator space Spectrum C-algebra radius Spectral theory of ODEs Spectral theorem Polar decomposition Singular value decomposition
Theorems	Anderson–Kadec Banach–Alaoglu Banach–Mazur Banach–Saks Banach–Schauder (open mapping) Banach–Steinhaus (Uniform boundedness) Bessel's inequality Cauchy–Schwarz inequality Closed graph Closed range Eberlein–Šmulian Freudenthal spectral Gelfand–Mazur Gelfand–Naimark Goldstine Hahn–Banach hyperplane separation Kakutani fixed-point Krein–Milman Lomonosov's invariant subspace Mackey–Arens Mazur's lemma M. Riesz extension Parseval's identity Riesz's lemma Riesz representation Robinson-Ursescu Schauder fixed-point
Analysis	Abstract Wiener space Banach manifold bundle Bochner space Convex series Differentiation in Fréchet spaces Derivatives Fréchet Gateaux functional holomorphic quasi Integrals Bochner Dunford Gelfand–Pettis regulated Paley–Wiener weak Functional calculus Borel continuous holomorphic Measures Lebesgue Projection-valued Vector Weakly / Strongly measurable function
Types of sets	Absolutely convex Absorbing Affine Balanced/Circled Bounded Convex Convex cone (subset) Convex series related ((cs, lcs)-closed, (cs, bcs)-complete, (lower) ideally convex, (Hx), and (Hwx)) Linear cone (subset) Radial Radially convex/Star-shaped Symmetric Zonotope
Subsets / set operations	Affine hull (Relative) Algebraic interior (core) Bounding points Convex hull Extreme point Interior Linear span Minkowski addition Polar (Quasi) Relative interior
Examples	Absolute continuity AC $ba(\Sigma )$ c space Banach coordinate BK Besov $B_{p,q}^{s}(\mathbb {R} )$ Birnbaum–Orlicz Bounded variation BV Bs space Continuous C(K) with K compact Hausdorff Hardy H^p Hilbert H Morrey–Campanato $L^{\lambda ,p}(\Omega )$ ℓ^p $\ell ^{\infty }$ L^p $L^{\infty }$ weighted Schwartz $S\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ Segal–Bargmann F Sequence space Sobolev W^k,p Sobolev inequality Triebel–Lizorkin Wiener amalgam $W(X,L^{p})$
Applications	Differential operator Finite element method Mathematical formulation of quantum mechanics Ordinary Differential Equations (ODEs) Validated numerics