Ядро Фредгольма

Основная статья: теория Фредгольма

В математике ядро ​​Фредгольма — это определенный тип ядра в банаховом пространстве , связанный с ядерными операторами в банаховом пространстве. Они представляют собой абстракцию идеи интегрального уравнения Фредгольма и оператора Фредгольма и являются одним из объектов исследования теории Фредгольма . Ядра Фредгольма названы в честь Эрика Ивара Фредгольма . Большая часть абстрактной теории ядер Фредгольма была разработана Александром Гротендиком и опубликована в 1955 году.

Определение

Пусть B — произвольное банахово пространство и B ^* — двойственное ему пространство, т. е. пространство ограниченных линейных функционалов на B . Тензорное произведение $B^{*}\otimes B$ имеет завершение по норме

$\Vert X\Vert _{\pi }=\inf \sum _{\{i\}}\Vert e_{i}^{*}\Vert \Vert e_{i}\Vert$

где нижняя грань берется по всем конечным представлениям

$X=\sum _{\{i\}}e_{i}^{*}\otimes e_{i}\in B^{*}\otimes B$

Завершение в соответствии с этой нормой часто обозначается как

$B^{*}{\widehat {\,\otimes \,}}_{\pi }B$

и называется проективным топологическим тензорным произведением . Элементы этого пространства называются ядрами Фредгольма .

Характеристики

Каждое ядро ​​Фредгольма имеет представление в виде

$X=\sum _{\{i\}}\lambda _{i}e_{i}^{*}\otimes e_{i}$

с $e_{i}\in B$ и $e_{i}^{*}\in B^{*}$ такой, что $\Vert e_{i}\Vert =\Vert e_{i}^{*}\Vert =1$ и

$\sum _{\{i\}}\vert \lambda _{i}\vert <\infty .\,$

С каждым таким ядром связан линейный оператор

${\mathcal {L}}_{X}:B\to B$

который имеет каноническое представление

${\mathcal {L}}_{X}f=\sum _{\{i\}}\lambda _{i}e_{i}^{*}(f)e_{i}.\,$

С каждым ядром Фредгольма связан след, определяемый как

${\mbox{tr}}X=\sum _{\{i\}}\lambda _{i}e_{i}^{*}(e_{i}).\,$

p -суммируемые ядра

Ядро Фредгольма называется p -суммируемым, если

$\sum _{\{i\}}\vert \lambda _{i}\vert ^{p}<\infty$

Говорят, что ядро ​​Фредгольма имеет порядок q, если q является нижней границей всех $0<p\leq 1$ для всех p, для которых оно p -суммируемо.

Ядерные операторы в банаховых пространствах

Оператор L : B → B называется ядерным оператором , если существует X ∈ $B^{*}{\widehat {\,\otimes \,}}_{\pi }B$ такой, что L = L _X . Такой оператор называется p -суммируемым и порядка q, если X таков. В общем, с таким ядерным оператором может быть связано более одного X , поэтому след не определен однозначно. Однако если порядок q ≤ 2/3, то существует единственный след, как это дает теорема Гротендика.

Теорема Гротендика

Если ${\mathcal {L}}:B\to B$ является оператором заказа $q\leq 2/3$ то след может быть определен с помощью

${\mbox{Tr}}{\mathcal {L}}=\sum _{\{i\}}\rho _{i}$

где $\rho _{i}$ являются собственными значениями ${\mathcal {L}}$. Кроме того, определитель Фредгольма

$\det \left(1-z{\mathcal {L}}\right)=\prod _{i}\left(1-\rho _{i}z\right)$

является функцией z . целой Формула

$\det \left(1-z{\mathcal {L}}\right)=\exp {\mbox{Tr}}\log \left(1-z{\mathcal {L}}\right)$

держится также. Наконец, если ${\mathcal {L}}$ параметризуется некоторым комплексным параметром w , то есть ${\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{w}$и параметризация голоморфна в некоторой области, то

$\det \left(1-z{\mathcal {L}}_{w}\right)$

голоморфен в той же области.

Примеры

Важным примером является банахово пространство голоморфных функций над областью. $D\subset \mathbb {C} ^{k}$. В этом пространстве каждый ядерный оператор имеет нулевой порядок и, следовательно, имеет ядерный класс .

Ядерные просторы

Идея ядерного оператора может быть адаптирована к пространствам Фреше . Ядерное пространство — это пространство Фреше, где каждое ограниченное отображение пространства в произвольное банахово пространство является ядерным.

Ссылки

• Гротендик А (1955). «Топологические тензорные произведения и ядерные пространства». Память Горький. Математика. Соц . 16 .
• Гротендик А (1956). «Теория Фредгольма» . Бык. Соц. Математика. Франция . 84 : 319–84. дои : 10.24033/bsmf.1476 .
• Б.В. Хведелидзе, Г.Л. Литвинов (2001) [1994], «Ядро Фредгольма» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Фреше М. (ноябрь 1932 г.). «О поведении n-й итерации ядра Фредгольма, когда n становится бесконечным» . Учеб. Натл. акад. наук. США . 18 (11): 671–3. Бибкод : 1932PNAS...18..671F . дои : 10.1073/pnas.18.11.671 . ПМЦ   1076308 . ПМИД   16577494 .