Теория Фредгольма

В математике — теория Фредгольма это теория интегральных уравнений . В самом узком смысле теория Фредгольма занимается решением интегрального уравнения Фредгольма . В более широком смысле абстрактная структура теории Фредгольма задается в терминах спектральной теории операторов Фредгольма и ядер Фредгольма в гильбертовом пространстве . Теория названа в честь Эрика Ивара Фредхольма .

Обзор

В следующих разделах дается краткий обзор места теории Фредгольма в более широком контексте теории операторов и функционального анализа . Представленная здесь схема широка, тогда как трудность формализации этого очерка, конечно, в деталях.

Уравнение Фредгольма первого рода

Большая часть теории Фредгольма связана со следующим интегральным уравнением для f, когда g и K заданы :

$g(x)=\int _{a}^{b}K(x,y)f(y)\,dy.$

Это уравнение естественным образом возникает во многих задачах физики и математики как обратное дифференциальному уравнению . То есть предлагается решить дифференциальное уравнение

$Lg(x)=f(x)$

где функция f задана, а g неизвестна. Здесь L обозначает линейный дифференциальный оператор .

Например, можно считать эллиптическим L оператором , например

$L={\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\,$

в этом случае уравнение, которое необходимо решить, становится уравнением Пуассона .

Общий метод решения таких уравнений - с помощью функций Грина , а именно, вместо прямой атаки сначала находится функция $K=K(x,y)$ такая, что для данной пары x,y ,

$LK(x,y)=\delta (x-y),$

где δ ( x ) — дельта-функция Дирака .

Искомое решение приведенного выше дифференциального уравнения затем записывается в виде интеграла в форме интегрального уравнения Фредгольма :

$g(x)=\int K(x,y)f(y)\,dy.$

Функция K ( x,y ) также известна как функция Грина или ядро ​​интеграла . Его иногда называют ядром интеграла, откуда и возник термин ядерный оператор .

В общей теории x и y могут быть точками на любом многообразии ; прямая числовая линия или m -мерное евклидово пространство в простейших случаях. Общая теория также часто требует принадлежности функций некоторому заданному функциональному пространству пространство функций, интегрируемых с квадратом : часто изучается , часто появляются пространства Соболева .

Фактическое используемое функциональное пространство часто определяется решениями проблемы собственных значений дифференциального оператора; то есть решениями

$L\psi _{n}(x)=\omega _{n}\psi _{n}(x)$

где ω _n — собственные значения, а ψ _n ( x ) — собственные векторы. Набор собственных векторов охватывает банахово пространство , и, когда существует натуральный скалярный продукт , собственные векторы охватывают гильбертово пространство , и в этот момент теорема о представлении Рисса применяется . Примерами таких пространств являются ортогональные многочлены , которые встречаются как решения класса обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка .

Учитывая гильбертово пространство, как указано выше, ядро ​​можно записать в виде

$K(x,y)=\sum _{n}{\frac {\psi _{n}(x)\psi _{n}(y)}{\omega _{n}}}.$

В таком виде объект K ( x,y ) часто называют оператором Фредгольма или ядром Фредгольма . То, что это то же самое ядро, что и раньше, следует из полноты базиса гильбертова пространства, а именно из того, что

$\delta (x-y)=\sum _{n}\psi _{n}(x)\psi _{n}(y).$

Поскольку ω _n обычно возрастают, результирующие собственные значения оператора K ( x,y ) уменьшаются к нулю.

Неоднородные уравнения

Неоднородное интегральное уравнение Фредгольма

$f(x)=-\omega \varphi (x)+\int K(x,y)\varphi (y)\,dy$

формально может быть записано как

$f=(K-\omega )\varphi$

которое имеет формальное решение

$\varphi ={\frac {1}{K-\omega }}f.$

Решение этой формы называется резольвентным формализмом , где резольвента определяется как оператор

$R(\omega )={\frac {1}{K-\omega I}}.$

Учитывая набор собственных векторов и собственных значений K , резольвенте можно придать конкретную форму как

$R(\omega ;x,y)=\sum _{n}{\frac {\psi _{n}(y)\psi _{n}(x)}{\omega _{n}-\omega }}$

с решением

$\varphi (x)=\int R(\omega ;x,y)f(y)\,dy.$

Необходимым и достаточным условием существования такого решения является одна из теорем Фредгольма . Резольвенту обычно расширяют по степеням $\lambda =1/\omega$, и в этом случае он известен как ряд Лиувилля-Неймана . В этом случае интегральное уравнение записывается как

$g(x)=\varphi (x)-\lambda \int K(x,y)\varphi (y)\,dy$

а резольвента записывается в альтернативной форме как

$R(\lambda )={\frac {1}{I-\lambda K}}.$

Определитель Фредгольма

Определитель Фредгольма обычно определяют как

$\det(I-\lambda K)=\exp \left[-\sum _{n}{\frac {\lambda ^{n}}{n}}\operatorname {Tr} \,K^{n}\right]$

где

$\operatorname {Tr} \,K=\int K(x,x)\,dx$

и

$\operatorname {Tr} \,K^{2}=\iint K(x,y)K(y,x)\,dx\,dy$

и так далее. Соответствующая дзета-функция равна

$\zeta (s)={\frac {1}{\det(I-sK)}}.$

Дзета-функцию можно рассматривать как определитель резольвенты .

Дзета-функция играет важную роль при изучении динамических систем . Обратите внимание, что это тот же общий тип дзета-функции, что и дзета-функция Римана ; однако в этом случае соответствующее ядро ​​неизвестно. Существование такого ядра известно как гипотеза Гильберта–Пойа .

Основные результаты

Классическими результатами теории являются теоремы Фредгольма , одна из которых — альтернатива Фредгольма .

Один из важных результатов общей теории состоит в том, что ядро ​​является компактным оператором , когда пространство функций равнонепрерывно .

Связанным с этим знаменитым результатом является теорема об индексе Атьи-Зингера , относящаяся к индексу (dim ker – dim coker) эллиптических операторов на компактных многообразиях .

История

Статья Фредхольма 1903 года в Acta Mathematica считается одной из главных вех в становлении теории операторов . Дэвид Гильберт разработал абстракцию гильбертова пространства в связи с исследованиями интегральных уравнений, начатыми, помимо прочего, Фредгольмом.

См. также

• Функции Грина
• Спектральная теория
• Альтернатива Фредгольма

Ссылки

• Фредхольм, Э.И. (1903). «Об одном классе функциональных уравнений» (PDF) . Акта Математика . 27 : 365–390. дои : 10.1007/bf02421317 .
• Эдмундс, Делавэр; Эванс, WD (1987). Спектральная теория и дифференциальные операторы . Издательство Оксфордского университета. ISBN  0-19-853542-2 .
• Б.В. Хведелидзе, Г.Л. Литвинов (2001) [1994], «Ядро Фредгольма» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Драйвер, Брюс К. «Компактные операторы и операторы Фредгольма и спектральная теорема» (PDF) . Инструменты анализа с приложениями . стр. 579–600.
• Мэтьюз, Джон; Уокер, Роберт Л. (1970). Математические методы физики (2-е изд.). Нью-Йорк: WA Бенджамин. ISBN  0-8053-7002-1 .
• МакОуэн, Роберт С. (1980). «Теория Фредгольма уравнений в частных производных на полных римановых многообразиях» . Пасифик Дж. Математика . 87 (1): 169–185. дои : 10.2140/pjm.1980.87.169 . Збл   0457.35084 .