Теорема Крейна–Рутмана

В функциональном анализе теорема Крейна -Рутмана является обобщением теоремы Перрона-Фробениуса на бесконечномерные банаховы пространства . ^{[ 1 ]} Это было доказано Крейном и Рутманом в 1948 году. ^{[ 2 ]}

Заявление

Позволять $X$ — банахово пространство , и пусть $K\subset X$ быть выпуклым конусом таким, что $K\cap -K=\{0\}$ , и $K-K$ плотный в $X$ , т.е. замыкание множества $\{u-v:u,\,v\in K\}=X$ . $K$ также известен как полный конус . Позволять $T:X\to X$ — ненулевой компактный оператор и предположим, что он положителен , что означает, что $T(K)\subset K$ , и что его спектральный радиус $r(T)$ является строго положительным.

Затем $r(T)$ является собственным значением $T$ с положительным собственным вектором , что означает, что существует $u\in K\setminus {0}$ такой, что $T(u)=r(T)u$ .

Теорема де Пактера

Если положительный оператор $T$ предполагается идеальной неприводимой , а именно, нет идеала $J\neq 0$ из $X$ такой, что $TJ\subset J$ , то теорема де Пагтера ^{[ 3 ]} утверждает, что $r(T)>0$ .

Поэтому для идеальных неприводимых операторов справедливо предположение $r(T)>0$ не нужен.

Ссылки

^ Ду, Ю. (2006). «1. Теорема Крейна – Рутмана и главное собственное значение». Порядковая структура и топологические методы в нелинейных уравнениях в частных производных. Том. 1. Принципы максимума и приложения . Ряды по уравнениям в частных производных и их приложениям. Хакенсак, Нью-Джерси: World Scientific Publishing Co. Pte. ООО ISBN 981-256-624-4 . МР 2205529 .
^ Крейн, М.Г.; Рутман, Массачусетс (1948). «Линейные операторы, оставляющие инвариантом конус в банаховом пространстве». Успехи мат. Наук . Новая серия (на русском языке). 3 (1(23)): 1–95. МР 0027128 . . Английский перевод: Крейн, М.Г.; Рутман, Массачусетс (1950). «Линейные операторы, оставляющие инвариантом конус в банаховом пространстве». амер. Математика. Соц. Перевод . 1950 (26). МР 0038008 .
^ де Пагтер, Б. (1986). «Неприводимые компактные операторы». Математика. З. 192 (1): 149–153. дои : 10.1007/bf01162028 . МР 0835399 .

[1] Ду, Ю. (2006). «1. Теорема Крейна – Рутмана и главное собственное значение». Порядковая структура и топологические методы в нелинейных уравнениях в частных производных. Том. 1. Принципы максимума и приложения . Ряды по уравнениям в частных производных и их приложениям. Хакенсак, Нью-Джерси: World Scientific Publishing Co. Pte. ООО ISBN 981-256-624-4 . МР 2205529 .

[2] Крейн, М.Г.; Рутман, Массачусетс (1948). «Линейные операторы, оставляющие инвариантом конус в банаховом пространстве». Успехи мат. Наук . Новая серия (на русском языке). 3 (1(23)): 1–95. МР 0027128 . . Английский перевод: Крейн, М.Г.; Рутман, Массачусетс (1950). «Линейные операторы, оставляющие инвариантом конус в банаховом пространстве». амер. Математика. Соц. Перевод . 1950 (26). МР 0038008 .

[3] де Пагтер, Б. (1986). «Неприводимые компактные операторы». Математика. З. 192 (1): 149–153. дои : 10.1007/bf01162028 . МР 0835399 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

v т и Спектральная теория и ^*-алгебры
Основные понятия	Инволюция/-алгебра Банахова алгебра B-алгебра C-алгебра Некоммутативная топология Проекционная мера Спектр Спектр C-алгебры Спектральный радиус Место оператора
Основные результаты	Теорема Гельфанда–Мазура. Теорема Гельфанда–Наймарка. Представительство Гельфанда Полярное разложение Разложение по сингулярным значениям Спектральная теорема Спектральная теория нормальных C*-алгебр
Специальные элементы/операторы	изоспектральный Обычный оператор Эрмитов/самосопряженный оператор Унитарный оператор Единица
Спектр	Теорема Крейна–Рутмана Нормальное собственное значение Спектр C*-алгебры Спектральный радиус Спектральная асимметрия Спектральный разрыв
Разложение	Разложение спектра Непрерывный Точка Остаточный Приблизительная точка Сжатие Прямой интеграл Дискретный Спектральная абсцисса
Спектральная теорема	Борелевское функциональное исчисление Теорема Мин-Макса Положительная операторная мера Проекционная мера Рисс-проектор Оснащенное гильбертово пространство Спектральная теорема Спектральная теория компактных операторов Спектральная теория нормальных C*-алгебр
Специальные алгебры	Аменабельная банахова алгебра С примерной личностью Банахова функциональная алгебра Дисковая алгебра Ядерная C*-алгебра Равномерная алгебра Алгебра фон Неймана Теория Томиты-Такесаки
Конечномерный	Граница Алона – Боппаны Теорема Бауэра – Фике Числовой диапазон Теорема Шура – Хорна
Обобщения	Спектр Дирака Основной спектр Псевдоспектр Structure space ( Shilov boundary )
Разнообразный	Абстрактная индексная группа Когомологии банаховой алгебры Теорема факторизации Коэна – Хьюитта Расширения симметричных операторов Теория Фредгольма Принцип предельного поглощения Теоремы Шредера–Бернштейна для операторных алгебр Теорема Шермана – Такеды Неограниченный оператор
Примеры	Венская алгебра
Приложения	Почти оператор Матье Теорема о короне Слышание формы барабана ( собственное значение Дирихле ) Тепловое ядро Формула следа Кузнецова Слабая пара Функция протозначения Граф Рамануджана Неравенство Рэлея – Фабера – Крана. Спектральная геометрия Спектральный метод Спектральная теория обыкновенных дифференциальных уравнений Теория Штурма – Лиувилля Сверхсильное приближение Оператор трансфера Теория преобразования Закон Вейля Теорема Винера – Хинчина