Некоммутативная геометрия

Некоммутативная геометрия ( NCG ) — раздел математики, занимающийся геометрическим подходом к некоммутативным алгебрам и построением пространств , локально представленных некоммутативными алгебрами функций, возможно, в некотором обобщенном смысле. Некоммутативная алгебра — это ассоциативная алгебра , в которой умножение некоммутативно , т. е. для которой $xy$ не всегда равно $yx$; или, в более общем смысле, алгебраическая структура , в которой одна из основных бинарных операций не является коммутативной; можно также допустить, чтобы дополнительные структуры, например топология или норма , могли переноситься некоммутативной алгеброй функций.

Подход, дающий глубокое понимание некоммутативных пространств, заключается в использовании операторных алгебр , то есть алгебр ограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве . Возможно, одним из типичных примеров некоммутативного пространства является « некоммутативный тор », который сыграл ключевую роль в раннем развитии этой области в 1980-х годах и привел к некоммутативным версиям векторных расслоений , связностей , кривизны и т. д.

Мотивация

Основная мотивация — распространить коммутативную двойственность между пространствами и функциями на некоммутативную среду. В математике пространства , имеющие геометрическую природу, могут быть связаны с числовыми функциями на них. В общем случае такие функции образуют коммутативное кольцо . Например, можно взять кольцо C ( X ) непрерывных комплексных функций на пространстве X. топологическом Во многих случаях ( например , если X — компактное хаусдорфово пространство ) мы можем восстановить X из C ( X ), и поэтому имеет некоторый смысл говорить, что X имеет коммутативную топологию .

Более конкретно, в топологии компактные топологические пространства Хаусдорфа могут быть восстановлены из банаховой алгебры функций на пространстве ( Гельфанд – Наймарк ). В коммутативной алгебраической геометрии алгебраические схемы — это локально простые спектры коммутативных колец с единицей ( А. Гротендик ), а всякая квазиразделённая схема $X$ восстанавливаются с точностью до изоморфизма схем из категории квазикогерентных пучков $O_{X}$-модули ( П. Габриэль –А. Розенберг). Для топологий Гротендика когомологические свойства узла являются инвариантами соответствующей категории пучков множеств, рассматриваемых абстрактно как топос (А. Гротендик). Во всех этих случаях пространство восстанавливается из алгебры функций или ее категоризированной версии — некоторой категории пучков в этом пространстве.

Функции в топологическом пространстве можно умножать и складывать поточечно, поэтому они образуют коммутативную алгебру; на самом деле эти операции локальны в топологии базового пространства, следовательно, функции образуют пучок коммутативных колец над базовым пространством.

Мечта некоммутативной геометрии состоит в том, чтобы обобщить эту двойственность на двойственность между некоммутативными алгебрами или пучками некоммутативных алгебр, или пучковыми некоммутативными алгебраическими или операторно-алгебраическими структурами и геометрическими объектами определенных видов и дать взаимодействие между алгебраическими и геометрическое описание тех через эту двойственность.

Учитывая, что коммутативные кольца соответствуют обычным аффинным схемам, а коммутативные С*-алгебры — обычным топологическим пространствам, расширение до некоммутативных колец и алгебр требует нетривиального обобщения топологических пространств как «некоммутативных пространств». По этой причине ходят разговоры о некоммутативной топологии , хотя этот термин имеет и другие значения.

Приложения в математической физике

Некоторые приложения в физике элементарных частиц описаны в статьях «Некоммутативная стандартная модель» и «Некоммутативная квантовая теория поля» . Внезапный рост интереса к некоммутативной геометрии в физике последовал после предположений о ее роли в М-теории, сделанных в 1997 году.

из

Некоторые из теорий, разработанных Аленом Конном для работы с некоммутативной геометрией на техническом уровне, имеют корни в более старых попытках, в частности в эргодической теории . Предложение Джорджа Макки создать теорию виртуальных подгрупп , по отношению к которой действия эргодических групп стали бы однородными пространствами расширенного типа, к настоящему времени отнесено к категории.

Некоммутативные алгебры C*, алгебры фон Неймана

(Формальные) двойственные некоммутативным C*-алгебрам теперь часто называют некоммутативными пространствами. Это по аналогии с представлением Гельфанда , показывающим, что коммутативные С*-алгебры двойственны локально компактным хаусдорфовым пространствам . можно сопоставить Вообще говоря, любой C*-алгебре S топологическое пространство Ŝ ; см. спектр C*-алгебры .

Из-за двойственности между локализуемыми пространствами с мерой и коммутативными алгебрами фон Неймана некоммутативные алгебры фон Неймана называются некоммутативными пространствами с мерой .

Некоммутативные дифференцируемые многообразия

Гладкое риманово многообразие M представляет собой топологическое пространство с большим количеством дополнительной структуры. Из его алгебры непрерывных функций C ( M ) мы восстанавливаем M только топологически. Алгебраический инвариант, восстанавливающий риманову структуру, представляет собой спектральную тройку . Он построен из гладкого векторного расслоения E над M , например расслоения внешней алгебры. Гильбертово пространство L ² ( M , E ) квадратно интегрируемых сечений E несет представление C ( M) операторами умножения, и мы рассматриваем неограниченный оператор D в L ² ( M , E ) с компактной резольвентой (например, оператором сигнатуры ), такой, что коммутаторы [ D , f ] ограничены всякий раз, когда f является гладким. Глубокая теорема утверждает, что M как риманово многообразие можно восстановить по этим данным.

Это предполагает, что можно определить некоммутативное риманово многообразие как спектральную тройку ( A , H , D ), состоящую из представления C*-алгебры A в гильбертовом пространстве H вместе с неограниченным оператором D в H с компактным резольвента, такая что [ D , a ] ограничено для всех a в некоторой плотной подалгебре A . Исследования спектральных троек очень активны, и было построено множество примеров некоммутативных многообразий.

аффинные и

По аналогии с двойственностью между аффинными схемами и коммутативными кольцами мы определяем категорию некоммутативных аффинных схем как двойственную категории ассоциативных колец с единицей. В этом контексте существуют определенные аналоги топологии Зарисского, позволяющие приклеивать такие аффинные схемы к более общим объектам.

Существуют также обобщения конуса и Proj коммутативного градуированного кольца, имитирующие теорему Серра о Proj. А именно, категория квазикогерентных пучков O-модулей на Proj коммутативной градуированной алгебры эквивалентна категории градуированных модулей над кольцом, локализованным на подкатегории Серра градуированных модулей конечной длины; существует также аналогичная теорема для когерентных пучков, когда алгебра нётерова. определение некоммутативной проективной геометрии : как Эта теорема расширена Майклом Артином и Дж. Дж. Чжаном которые добавляют также некоторые общие условия теории колец (например, регулярность Артина – Шелтера).

Многие свойства проективных схем распространяются и на этот контекст. Например, существует аналог знаменитой двойственности Серра для некоммутативных проективных схем Артина и Чжана.

А. Л. Розенберг создал довольно общее относительное понятие некоммутативной квазикомпактной схемы (над базовой категорией), абстрагируя исследования Гротендика морфизмов схем и накрытий в терминах категорий квазикогерентных пучков и плоских функторов локализации. Существует также еще один интересный подход, основанный на теории локализации, предложенный Фредом Ван Ойстейеном , Люком Виллаертом и Аленом Вершореном, где основной концепцией является схематическая алгебра .

Инварианты некоммутативных пространств

Некоторые из мотивирующих вопросов теории связаны с распространением известных топологических инвариантов на формальные двойственные некоммутативные (операторные) алгебры и другие замены и кандидаты в некоммутативные пространства. Одной из основных отправных точек направления Алена Конна в некоммутативной геометрии является открытие им новой теории гомологии, связанной с некоммутативными ассоциативными алгебрами и некоммутативными операторными алгебрами, а именно циклической гомологии и ее связи с алгебраической K-теорией (прежде всего через Конн– Карта персонажей Черна).

Теория характеристических классов гладких многообразий была распространена на спектральные тройки с использованием инструментов операторной К-теории и циклических когомологий . Несколько обобщений теперь уже классических теорем об индексе позволяют эффективно извлекать числовые инварианты из спектральных троек. Фундаментальный характеристический класс в циклических когомологиях, коцикл JLO , обобщает классический характер Черна .

Примеры некоммутативных пространств

• В фазовом пространстве формулировке квантовой механики в симплектическое фазовое пространство классической механики деформируется операторами в некоммутативное фазовое пространство, порожденное положения и импульса .
• Некоммутативная стандартная модель — это предлагаемое расширение стандартной модели физики элементарных частиц.
• Некоммутативному тору , деформации функциональной алгебры обычного тора, можно придать структуру спектральной тройки. Этот класс примеров интенсивно изучался и до сих пор служит тестовым примером для более сложных ситуаций.
• пространство Снайдера
• Некоммутативные алгебры, возникающие из слоений .
• Примеры, связанные с динамическими системами , возникающими из теории чисел , такие как сдвиг Гаусса в цепных дробях, приводят к появлению некоммутативных алгебр, которые, по-видимому, имеют интересную некоммутативную геометрию.

Соединение

В смысле Конна

Связность Конна — это некоммутативное обобщение связности в дифференциальной геометрии . Он был введен Аленом Конном , а позже был обобщен Иоахимом Кунцем и Дэниелом Квилленом .

Определение

Для правого A -модуля E связность Конна на E является линейным отображением.

$\nabla :E\to E\otimes _{A}\Omega ^{1}A$

удовлетворяющее правилу Лейбница $\nabla _{r}(sa)=\nabla _{r}(s)a+s\otimes da$.

См. также

• Коммутативность
• Нечеткая сфера
• Соединительная рубашка
• Мойал продукт
• Некоммутативная алгебраическая геометрия
• Некоммутативная топология
• Формулировка фазового пространства
• Квазисвободная алгебра

Ссылки

• Конн, Ален (1994), Некоммутативная геометрия , Бостон, Массачусетс: Academic Press , ISBN  978-0-12-185860-5
• Конн, Ален ; Марколли, Матильда (2008), «Прогулка по некоммутативному саду», Приглашение к некоммутативной геометрии , World Sci. Publ., Хакенсак, Нью-Джерси, стр. 1–128, arXiv : math/0601054 , Bibcode : 2006math......1054C , MR   2408150
• Конн, Ален ; Марколли, Матильда (2008), Некоммутативная геометрия, квантовые поля и мотивы (PDF) , Публикации коллоквиума Американского математического общества, том. 55, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN.  978-0-8218-4210-2 , МР   2371808
• Грасия-Бондия, Хосе М; Фигероа, Гектор; Варилли, Джозеф С. (2000), Элементы некоммутативной геометрии , Биркхаузер, ISBN  978-0-8176-4124-5
• Халхали, Масуд; Марколли, Матильда (2008). Халхали, Масуд; Марколли, Матильда (ред.). Приглашение к некоммутативной геометрии . Всемирная научная. дои : 10.1142/6422 . ISBN  978-981-270-616-4 .
• Ланди, Джованни (1997), Введение в некоммутативные пространства и их геометрию , Конспект лекций по физике. Новая серия м: Монографии, вып. 51, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , arXiv : hep-th/9701078 , Bibcode : 1997hep.th....1078L , ISBN  978-3-540-63509-3 , МР   1482228
• Ван Ойстейен, Фред; Вершорен, Ален (1981), Некоммутативная алгебраическая геометрия , Конспект лекций по математике, том. 887, Шпрингер-Верлаг , ISBN  978-3-540-11153-5

Ссылки на подключение Connes

• Конн, Ален (1980). «Алгебры С* и дифференциальная геометрия» . ЧР акад. наук. Париж сер. А (на французском языке). 290 (13): 599–604.
  • Конн, Ален (2001). «Алгебры C* и дифференциальная геометрия». arXiv : hep-th/0101093 .
• Конн, Ален (1985). «Некоммутативная дифференциальная геометрия» . Публикации IHÉS по математике . 62 : 41–144. дои : 10.1007/BF02698807 . ISSN   1618-1913 . S2CID   122740195 .
• Конн, Ален (1995). Некоммутативная геометрия . Академическая пресса. ISBN  978-0-08-057175-1 .
• Кунц, Иоахим; Куиллен, Дэниел (1995). «Расширения алгебры и несингулярность» . Журнал Американского математического общества . 8 (2): 251–289. дои : 10.2307/2152819 . ISSN   0894-0347 . JSTOR   2152819 .
• Гарсиа-Бельтран, Денниз; а-Бельтран, Денниз; Вальехо, Джозеф А.; Воробьёв, Юрий (2012). «Об алгеброидах лжи и алгебрах Пуассона». Симметрия, интегрируемость и геометрия: методы и приложения . 8 : 006.arXiv : 1106.1512 . Бибкод : 2012SIGMA...8..006G . дои : 10.3842/sigma.2012.006 . S2CID   5946411 .
• * Вейл, Р. (2009). «Заметки о квазисвободных алгебрах» (PDF) .
• «Соединения». Темы циклической теории . 2020. стр. 201–228. дои : 10.1017/9781108855846.009 . ISBN  9781108855846 .

Дальнейшее чтение

• Консани, Катерина ; Конн, Ален , ред. (2011), Некоммутативная геометрия, арифметика и смежные темы. Материалы 21-го собрания Японско-американского математического института (JAMI), состоявшегося в Университете Джонса Хопкинса, Балтимор, Мэриленд, США, 23–26 марта 2009 г. , Балтимор, Мэриленд: Издательство Университета Джонса Хопкинса, ISBN  978-1-4214-0352-6 , Збл   1245.00040
• Гренсинг, Герхард (2013). Структурные аспекты квантовой теории поля и некоммутативной геометрии . Хакенсак, Нью-Джерси: World Scientific. ISBN  978-981-4472-69-2 .

Внешние ссылки

• Введение в квантовую геометрию Мичо Джурдевича
• Гинзбург, Виктор (2005). «Лекции по некоммутативной геометрии». arXiv : math/0506603 .
• Халхали, Масуд (2004). «Очень простая некоммутативная геометрия». arXiv : math/0408416 .
• Марколли, Матильда (2004). «Лекции по арифметической некоммутативной геометрии». arXiv : math/0409520 .
• Мадор, Дж. (2000). «Некоммутативная геометрия для пешеходов». Классическая и квантовая нелокальность : 111. arXiv : gr-qc/9906059 . Бибкод : 2000cqnl.conf..111M . дои : 10.1142/9789812792938_0007 . ISBN  978-981-02-4296-1 . S2CID   15595586 .
• Массон, Тьерри (2006). «Неофициальное введение в идеи и понятия некоммутативной геометрии». arXiv : math-ph/0612012 . (Простое введение, но все же довольно техническое)
• Некоммутативная геометрия на arxiv.org
• MathOverflow, Теории некоммутативной геометрии
• Маханта, Снигдхаян (2005). «О некоторых подходах к некоммутативной алгебраической геометрии». arXiv : math/0501166 .
• Сарданашвили, Г. (2009). «Лекции по дифференциальной геометрии модулей и колец». arXiv : 0910.1515 [ math-ph ].
• Некоммутативная геометрия и физика элементарных частиц
• связь в некоммутативной геометрии в nLab