Двойственность Серра

В алгебраической геометрии , разделе математики , двойственность Серра — это двойственность когерентных пучков когомологий алгебраических многообразий, доказанная Жаном-Пьером Серром . Основная версия применима к векторным расслоениям на гладком проективном многообразии, но Александр Гротендик нашел широкие обобщения, например, для сингулярных многообразий. В n -мерном многообразии теорема утверждает, что группа когомологий $H^{i}$ это двойственное пространство другого, $H^{n-i}$. Двойственность Серра является аналогом когомологий когерентных пучков двойственности Пуанкаре в топологии, где каноническое линейное расслоение заменяет ориентационный пучок .

Теорема Серра о двойственности верна и в комплексной геометрии в более общем смысле, для компактных комплексных многообразий , которые не обязательно являются проективными комплексными алгебраическими многообразиями . В этом контексте теорема двойственности Серра является применением теории Ходжа для когомологий Дольбо и может рассматриваться как результат в теории эллиптических операторов .

Эти две разные интерпретации двойственности Серра совпадают для неособых проективных комплексных алгебраических многообразий благодаря применению теоремы Дольбо, связывающей когомологии пучков с когомологиями Дольбо.

Двойственность Серра для векторных расслоений

Алгебраическая

Пусть X — гладкое многообразие размерности n над полем k . Определите канонический линейный расслоение $K_{X}$ быть расслоением n -форм на X , верхней внешней степенью кокасательного расслоения :

$K_{X}=\Omega _{X}^{n}={\bigwedge }^{n}(T^{*}X).$

Предположим, кроме того, что X является собственным (например, проективным ) над k . Тогда двойственность Серра говорит: для алгебраического векторного расслоения E на X и целого числа i существует естественный изоморфизм:

$H^{i}(X,E)\cong H^{n-i}(X,K_{X}\otimes E^{\ast })^{\ast }$

конечномерных k -векторных пространств. Здесь $\otimes$обозначает тензорное произведение векторных расслоений. Отсюда следует, что размерности двух групп когомологий равны:

$h^{i}(X,E)=h^{n-i}(X,K_{X}\otimes E^{\ast }).$

Как и в двойственности Пуанкаре, изоморфизм в двойственности Серра возникает из произведения чашек в пучковых когомологиях. А именно, состав чашки продукта с картой природных следов на $H^{n}(X,K_{X})$ это идеальная пара :

$H^{i}(X,E)\times H^{n-i}(X,K_{X}\otimes E^{\ast })\to H^{n}(X,K_{X})\to k.$

Отображение следов является аналогом когерентных пучковых когомологий интегрирования в когомологиях де Рама .

-

Серр также доказал то же утверждение двойственности для X — компактного комплексного многообразия и E — голоморфного векторного расслоения . Здесь теорема двойственности Серра является следствием теории Ходжа . А именно, на компактном комплексном многообразии $X$ снабженный римановой метрикой , существует звездный оператор Ходжа :

$\star :\Omega ^{p}(X)\to \Omega ^{2n-p}(X),$

где $\dim _{\mathbb {C} }X=n$. Кроме того, поскольку $X$ комплексна, то происходит расщепление комплексных дифференциальных форм на формы типа $(p,q)$. Оператор звезды Ходжа (расширенный комплексно-линейно до комплекснозначных дифференциальных форм) взаимодействует с этой градуировкой следующим образом:

$\star :\Omega ^{p,q}(X)\to \Omega ^{n-q,n-p}(X).$

Обратите внимание, что голоморфный и антиголоморфный индексы поменялись местами. Существует сопряжение комплексных дифференциальных форм, которое меняет местами формы типа $(p,q)$ и $(q,p)$, и если определить сопряженно-линейный звездный оператор Ходжа формулой ${\bar {\star }}\omega =\star {\bar {\omega }}$ тогда мы имеем:

${\bar {\star }}:\Omega ^{p,q}(X)\to \Omega ^{n-p,n-q}(X).$

Используя сопряженно-линейную звезду Ходжа, можно определить эрмитову $L^{2}$- внутренний продукт комплексных дифференциальных форм:

$\langle \alpha ,\beta \rangle _{L^{2}}=\int _{X}\alpha \wedge {\bar {\star }}\beta ,$

где сейчас $\alpha \wedge {\bar {\star }}\beta$ является $(n,n)$-форма, и в частности комплекснозначная $2n$-форму и, следовательно, может быть интегрирована в $X$относительно его канонической ориентации . Кроме того, предположим $(E,h)$является эрмитовым голоморфным векторным расслоением. Тогда эрмитова метрика $h$ дает сопряженно-линейный изоморфизм $E\cong E^{*}$ между $E$ и его двойственное векторное расслоение , скажем $\tau :E\to E^{*}$. Определение ${\bar {\star }}_{E}(\omega \otimes s)={\bar {\star }}\omega \otimes \tau (s)$, получается изоморфизм:

${\bar {\star }}_{E}:\Omega ^{p,q}(X,E)\to \Omega ^{n-p,n-q}(X,E^{*})$

где $\Omega ^{p,q}(X,E)=\Omega ^{p,q}(X)\otimes \Gamma (E)$ состоит из гладких $E$-значные комплексные дифференциальные формы. Использование пары между $E$ и $E^{*}$ данный $\tau$ и $h$, поэтому можно определить эрмитово $L^{2}$-внутренний продукт на таком $E$-значные формы по:

$\langle \alpha ,\beta \rangle _{L^{2}}=\int _{X}\alpha \wedge _{h}{\bar {\star }}_{E}\beta ,$

где здесь $\wedge _{h}$ означает клиновое произведение дифференциальных форм и использование спаривания между $E$ и $E^{*}$ данный $h$.

Теорема Ходжа для когомологий Дольбо утверждает, что если мы определим:

$\Delta _{{\bar {\partial }}_{E}}={\bar {\partial }}_{E}^{*}{\bar {\partial }}_{E}+{\bar {\partial }}_{E}{\bar {\partial }}_{E}^{*}$

где ${\bar {\partial }}_{E}$ является оператором Дольбо $E$ и ${\bar {\partial }}_{E}^{*}$ является его формальным сопряженным по внутреннему продукту, тогда:

$H^{p,q}(X,E)\cong {\mathcal {H}}_{\Delta _{{\bar {\partial }}_{E}}}^{p,q}(X).$

Слева — когомологии Дольбо, а справа — векторное пространство гармонических $E$-значные дифференциальные формы , определяемые:

${\mathcal {H}}_{\Delta _{{\bar {\partial }}_{E}}}^{p,q}(X)=\{\alpha \in \Omega ^{p,q}(X,E)\mid \Delta _{{\bar {\partial }}_{E}}(\alpha )=0\}.$

Используя это описание, теорему двойственности Серра можно сформулировать следующим образом: Изоморфизм ${\bar {\star }}_{E}$ индуцирует сложный линейный изоморфизм:

$H^{p,q}(X,E)\cong H^{n-p,n-q}(X,E^{*})^{*}.$

Это можно легко доказать, используя приведенную выше теорию Ходжа. А именно, если $[\alpha ]$ является классом когомологий в $H^{p,q}(X,E)$ с уникальным гармоническим представителем $\alpha \in {\mathcal {H}}_{\Delta _{{\bar {\partial }}_{E}}}^{p,q}(X)$, затем:

$(\alpha ,{\bar {\star }}_{E}\alpha )=\langle \alpha ,\alpha \rangle _{L^{2}}\geq 0$

с равенством тогда и только тогда, когда $\alpha =0$. В частности, сложное линейное спаривание:

$(\alpha ,\beta )=\int _{X}\alpha \wedge _{h}\beta$

между ${\mathcal {H}}_{\Delta _{{\bar {\partial }}_{E}}}^{p,q}(X)$ и ${\mathcal {H}}_{\Delta _{{\bar {\partial }}_{E^{*}}}}^{n-p,n-q}(X)$ невырожден . и индуцирует изоморфизм в теореме Серра о двойственности

Утверждение о двойственности Серра в алгебраической ситуации можно восстановить, взяв $p=0$и применяя теорему Дольбо , которая гласит, что:

$H^{p,q}(X,E)\cong H^{q}(X,{\boldsymbol {\Omega }}^{p}\otimes E)$

где слева когомологии Дольбо, а справа когомологии пучков, где ${\boldsymbol {\Omega }}^{p}$ обозначает пучок голоморфных $(p,0)$-формы. В частности, мы получаем:

$H^{q}(X,E)\cong H^{0,q}(X,E)\cong H^{n,n-q}(X,E^{*})^{*}\cong H^{n-q}(X,K_{X}\otimes E^{*})^{*}$

где мы использовали, что пучок голоморфных $(n,0)$-forms — это просто канонический набор $X$.

Алгебраические кривые

Фундаментальное применение двойственности Серра относится к алгебраическим кривым . (Над комплексными числами это эквивалентно рассмотрению компактных римановых поверхностей .) Для линейного расслоения L на гладкой проективной кривой X над полем k единственными возможными ненулевыми группами когомологий являются $H^{0}(X,L)$ и $H^{1}(X,L)$. Двойственность Серра описывает $H^{1}$ группа с точки зрения $H^{0}$ группа (для другого линейного пакета). Это более конкретно, поскольку $H^{0}$ линейного расслоения — это просто пространство его секций.

Двойственность Серра особенно актуальна для теоремы Римана–Роха для кривых. Для линейного расслоения L степени d на кривой X рода g : теорема Римана–Роха гласит, что

$h^{0}(X,L)-h^{1}(X,L)=d-g+1.$

Используя двойственность Серра, это можно переформулировать в более элементарных терминах:

$h^{0}(X,L)-h^{0}(X,K_{X}\otimes L^{*})=d-g+1.$

Последнее утверждение (выраженное через делители ) на самом деле является оригинальной версией теоремы XIX века. Это основной инструмент, используемый для анализа того, как данная кривая может быть вложена в проективное пространство и, следовательно, для классификации алгебраических кривых.

Пример: каждое глобальное сечение линейного расслоения отрицательной степени равно нулю. При этом степень канонического расслоения равна $2g-2$. Следовательно, из Римана–Роха следует, что для линейного расслоения L степени $d>2g-2$, $h^{0}(X,L)$ равно $d-g+1$. Когда род g не менее 2, из двойственности Серра следует, что $h^{1}(X,TX)=h^{0}(X,K_{X}^{\otimes 2})=3g-3$. Здесь $H^{1}(X,TX)$ первого порядка пространство деформации X — . Это основной расчет, необходимый для того, чтобы показать, что пространство модулей кривых рода g имеет размерность $3g-3$.

Серра для

Другая формулировка двойственности Серра справедлива для всех когерентных пучков , а не только для векторных расслоений. В качестве первого шага в обобщении двойственности Серра Гротендик показал, что эта версия работает для схем с мягкими особенностями, схем Коэна – Маколея , а не только для гладких схем.

А именно, для схемы Коэна – Маколея X чистой размерности n над полем k Гротендик определил когерентный пучок $\omega _{X}$на X, называемом дуализирующим пучком . (Некоторые авторы называют этот пучок $K_{X}$.) Предположим, кроме того, что X собственное над k . Для когерентного пучка E на X и целого числа i двойственность Серра говорит, что существует естественный изоморфизм:

$\operatorname {Ext} _{X}^{i}(E,\omega _{X})\cong H^{n-i}(X,E)^{*}$

конечномерных k -векторных пространств. Здесь группа Ext взята из категории абелевой $O_{X}$-модули . Сюда входит и предыдущее утверждение, поскольку $\operatorname {Ext} _{X}^{i}(E,\omega _{X})$ изоморфен $H^{i}(X,E^{*}\otimes \omega _{X})$ когда E — векторное расслоение.

Чтобы использовать этот результат, необходимо явно определить дуализирующий пучок, по крайней мере в частных случаях. Когда X гладко над k , $\omega _{X}$ это каноническое линейное расслоение $K_{X}$определено выше. В более общем смысле, если X — подсхема Коэна–Маколея коразмерности r в гладкой схеме Y над k , то дуализирующий пучок можно описать как пучок Ext :

$\omega _{X}\cong {\mathcal {Ext}}_{O_{Y}}^{r}(O_{X},K_{Y}).$

Когда X является локальным полным пересечением коразмерности r в гладкой схеме Y , существует более элементарное описание: нормальное расслоение X в Y является векторным расслоением ранга r , а дуализирующий пучок X задается формулой:

$\omega _{X}\cong K_{Y}|_{X}\otimes {\bigwedge }^{r}(N_{X/Y}).$

В этом случае X представляет собой схему Коэна–Маколея с $\omega _{X}$ линейное расслоение, которое говорит, что X — Горенштейн .

Пример. Пусть X — полное пересечение в проективном пространстве. ${\mathbf {P} }^{n}$ над полем k , заданным однородными полиномами $f_{1},\ldots ,f_{r}$ степеней $d_{1},\ldots ,d_{r}$. (Сказать, что это полное пересечение, означает, что X имеет размерность $n-r$. ) На ​ ​ ${\mathbf {P} }^{n}$для целых чисел d с тем свойством, что однородные многочлены степени d можно рассматривать как сечения O ( d ). Тогда дуализирующий пучок X является линейным расслоением:

$\omega _{X}=O(d_{1}+\cdots +d_{r}-n-1)|_{X},$

по формуле присоединения . Например, дуализирующий пучок плоской кривой X степени d равен $O(d-3)|_{X}$.

Калаби –

В частности, мы можем вычислить количество сложных деформаций, равное $\dim(H^{1}(X,TX))$ для квинтики тройной в $\mathbb {P} ^{4}$, многообразие Калаби–Яу, использующее двойственность Серра. Поскольку свойство Калаби–Яу обеспечивает $K_{X}\cong {\mathcal {O}}_{X}$ Двойственность Серра показывает нам, что $H^{1}(X,TX)\cong H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X}\otimes \Omega _{X})\cong H^{2}(X,\Omega _{X})$ показывая, что количество комплексных модулей равно $h^{2,1}$в алмазе Ходжа. Конечно, последнее утверждение зависит от теоремы Богомолева–Тиана–Тодорова, которая утверждает, что любая деформация на Калаби–Яу беспрепятственна.

Двойственность Гротендика

Основная статья: Когерентная двойственность

Гротендика Теория когерентной двойственности представляет собой широкое обобщение двойственности Серра с использованием языка производных категорий . Для любой схемы X конечного типа над полем k существует объект $\omega _{X}^{\bullet }$ ограниченной производной категории когерентных пучков на X , $D_{\operatorname {coh} }^{b}(X)$ называемый дуализирующим комплексом X k над . , Формально, $\omega _{X}^{\bullet }$ это исключительный прообраз $f^{!}O_{Y}$, где f — заданный морфизм $X\to Y=\operatorname {Spec} (k)$. Когда X является Коэном-Маколеем чистой размерности n , $\omega _{X}^{\bullet }$ является $\omega _{X}[n]$; то есть это обсуждавшийся выше дуализирующий пучок, рассматриваемый как комплекс в (когомологической) степени − n . В частности, когда X гладко над k , $\omega _{X}^{\bullet }$ — каноническое линейное расслоение, помещенное в степень − n .

Используя дуализирующий комплекс, двойственность Серра обобщается на любую правильную схему X над k . А именно, существует естественный изоморфизм конечномерных k -векторных пространств:

$\operatorname {Hom} _{X}(E,\omega _{X}^{\bullet })\cong \operatorname {Hom} _{X}(O_{X},E)^{*}$

для любого объекта E в $D_{\operatorname {coh} }^{b}(X)$.

В более общем смысле, для правильной схемы X над k объект E в $D_{\operatorname {coh} }^{b}(X)$, а F – комплекс совершенный в $D_{\operatorname {perf} }(X)$, есть элегантное утверждение:

$\operatorname {Hom} _{X}(E,F\otimes \omega _{X}^{\bullet })\cong \operatorname {Hom} _{X}(F,E)^{*}.$

Здесь тензорное произведение означает производное тензорное произведение , что естественно в производных категориях. (Для сравнения с предыдущими формулировками отметим, что $\operatorname {Ext} _{X}^{i}(E,\omega _{X})$ можно рассматривать как $\operatorname {Hom} _{X}(E,\omega _{X}[i])$.) Когда X также является гладким над k , каждый объект в $D_{\operatorname {coh} }^{b}(X)$ является совершенным комплексом, и поэтому эта двойственность применима ко всем E и F в $D_{\operatorname {coh} }^{b}(X)$. Затем приведенное выше утверждение резюмируется следующим образом: $F\mapsto F\otimes \omega _{X}^{\bullet }$ это серр- оператор $D_{\operatorname {coh} }^{b}(X)$ для X гладкая и правильная над k .

Двойственность Серра справедлива в более общем смысле для собственных алгебраических пространств над полем.

Ссылки

• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-90244-9 , МР   0463157 , OCLC   13348052
• Хартсхорн, Робин (1966), Остатки и двойственность , Конспект лекций по математике, том. 20, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-03603-6 , МР   0222093
• «Двойственность» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Хайбрехтс, Даниэль (2005), Сложная геометрия , Берлин: Springer-Verlag , ISBN  3-540-21290-6 , МР   2093043
• Хайбрехтс, Дэниел (2006), Преобразования Фурье-Мукаи в алгебраической геометрии , Oxford University Press , ISBN  978-0199296866 , МР   2244106
• Серр, Жан-Пьер (1955), «Теорема двойственности» , Commentarii Mathematici Helvetici , 29 : 9–26, doi : 10.1007/BF02564268 , MR   0067489
• Тейт, Джон (1968), «Вычеты дифференциалов на кривых» (PDF) , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 1 : 149–159, doi : 10.24033/asens.1162 , ISSN   0012-9593 , MR   0227171

Внешние ссылки

• Авторы проекта Stacks, The Stacks Project