Коразмерность

В математике коразмерность идея , — это основная геометрическая применимая к подпространствам в векторных пространствах , к подмногообразиям в многообразиях и подходящим подмножествам многообразий алгебраических .

Для аффинных и проективных алгебраических многообразий коразмерность равна высоте определяющего идеала . По этой причине высоту идеала часто называют его коразмерностью.

Двойственное понятие – относительное измерение .

Определение

Коразмерность — понятие относительное : оно определяется только для одного объекта внутри другого. Не существует «коразмерности векторного пространства (изолировано)», есть только коразмерность векторного подпространства .

Если W — линейное подпространство конечномерного векторного пространства V , то в V коразмерность W — это разница между размерностями:

$\operatorname {codim} (W)=\dim(V)-\dim(W).$

Это дополнение к размерности W в том смысле, что вместе с размерностью W оно добавляется к размерности окружающего пространства V:

$\dim(W)+\operatorname {codim} (W)=\dim(V).$

Аналогично, если N — подмногообразие или подмногообразие в M , то коразмерность N в M равна

$\operatorname {codim} (N)=\dim(M)-\dim(N).$

Точно так же, как размерность подмногообразия — это размерность касательного расслоения (количество измерений, которые вы можете перемещать по подмногообразию), коразмерность — это размерность нормального расслоения (количество измерений, которые вы можете перемещать за пределы подмногообразия).

В более общем смысле, если W — линейное подпространство (возможно, бесконечномерного), векторного пространства V то коразмерность W в V — это размерность (возможно, бесконечная) факторпространства V / W , которое более абстрактно известно коядро как включение. Для конечномерных векторных пространств это согласуется с предыдущим определением.

$\operatorname {codim} (W)=\dim(V/W)=\dim \operatorname {coker} (W\to V)=\dim(V)-\dim(W),$

и двойствен относительно относительной размерности как размерности ядра .

Конечно-комерные подпространства бесконечномерных пространств часто бывают полезны при изучении топологических векторных пространств .

Аддитивность коразмерности и подсчет размерностей

Фундаментальное свойство коразмерности заключается в ее отношении к : если W1 _то имеет коразмерность k1 _мы , а W2 _{пересечению} имеет коразмерность k2 _j , то если U — их пересечение с коразмерностью , имеем

Максимум ( k ₁ , k ₂ ) ≤ j ≤ k ₁ + k ₂ .

Фактически j может принимать любое целочисленное значение в этом диапазоне. Это утверждение более наглядно, чем перевод в терминах размерностей, поскольку правая часть — это всего лишь сумма коразмерностей. В словах

коразмерности (максимум) добавляют .

Если подпространства или подмногообразия пересекаются трансверсально (что происходит в общем случае ), коразмерности складываются точно.

Это утверждение называется подсчетом размерностей, особенно в теории пересечений .

Двойной перевод

С точки зрения двойного пространства совершенно очевидно, почему размеры добавляются. Подпространства могут быть определены обращением в нуль некоторого числа линейных функционалов , которые, если мы считаем их линейно независимыми , их число является коразмерностью. Следовательно, мы видим, что U определяется объединением множеств линейных функционалов, Wi _{определяющих} . Это объединение может привести к некоторой степени линейной зависимости : возможные значения j выражают эту зависимость, причем сумма RHS соответствует случаю отсутствия зависимости. Это определение коразмерности с точки зрения количества функций, необходимых для вырезания подпространства, распространяется на ситуации, в которых и окружающее пространство, и подпространство являются бесконечномерными.

Говоря другим языком, который является основным для любой теории пересечений , мы берем объединение определенного количества ограничений . У нас есть два явления, на которые следует обратить внимание:

1. два набора ограничений не могут быть независимыми;
2. два набора ограничений могут быть несовместимы.

Первый из них часто выражается как принцип подсчета ограничений : если у нас есть число N параметров , которые нужно настроить (т. е. у нас есть N степеней свободы ), а ограничение означает, что мы должны «потребить» параметр, чтобы удовлетворить его, тогда коразмерность множества решений не превышает числа ограничений. Мы не ожидаем, что сможем найти решение, если предсказанная коразмерность, то есть количество независимых ограничений, превышает N (в случае линейной алгебры всегда существует тривиальное решение с нулевым вектором , которое поэтому не учитывается).

Второе — это вопрос геометрии, основанный на модели параллельных линий ; это то, что можно обсуждать для линейных задач методами линейной алгебры и для нелинейных задач в проективном пространстве над полем комплексных чисел .

В геометрической топологии

Коразмерность также имеет некоторое ясное значение в геометрической топологии : на многообразии коразмерность 1 — это размерность топологического разрыва подмногообразия, а коразмерность 2 — это размерность теории ветвления и узлов . Фактически, можно сказать, что теория многомерных многообразий, которая начинается с размерности 5 и выше, начинается с коразмерности 3, поскольку более высокие коразмерности избегают явления узлов. Поскольку теория хирургии требует перехода к среднему измерению, когда человек оказывается в измерении 5, среднее измерение имеет коразмерность больше 2, и, следовательно, можно избежать узлов.

Эта шутка не пуста: изучение вложений в коразмерности 2 является теорией узлов и является трудным, в то время как изучение вложений в коразмерности 3 или более поддается инструментам многомерной геометрической топологии и, следовательно, значительно проще.

См. также

• Глоссарий дифференциальной геометрии и топологии

Ссылки

• «Коразмерность» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Роман, Стивен (2008), Продвинутая линейная алгебра , Тексты для выпускников по математике (Третье изд.), Springer, ISBN  978-0-387-72828-5