Союз (теория множеств)

Объединение двух комплектов:
$~A\cup B$

Союз трех комплектов:
$~A\cup B\cup C$

Объединение A, B, C, D и E — это все, кроме белой области.

В теории множеств ( объединение обозначаемое ∪) набора множеств — это набор всех элементов в коллекции. Это одна из фундаментальных операций, с помощью которой множества можно комбинировать и связывать друг с другом. А Нулевой союз относится к объединению нулей ( $0$) наборы и по определению равны пустому множеству .

Объяснение символов, используемых в этой статье, можно найти в таблице математических символов .

Союз двух сетов

Объединение двух множеств A и B — это набор элементов, которые находятся в , в B или одновременно в A и B. A В обозначениях построителя множеств ,

$A\cup B=\{x:x\in A{\text{ or }}x\in B\}$.

Например, если A = {1, 3, 5, 7} и B = {1, 2, 4, 6, 7}, то A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Более сложный пример (включающий два бесконечных множества):

A = { x — четное целое число больше 1}

B = { x — нечетное целое число больше 1}

$A\cup B=\{2,3,4,5,6,\dots \}$

Другой пример: число 9 не содержится в объединении множества простых чисел {2, 3, 5, 7, 11, ...} и множества четных чисел {2, 4, 6, 8, 10. , ...}, поскольку 9 не является ни простым, ни четным.

В наборах не может быть повторяющихся элементов. поэтому объединение множеств {1, 2, 3} и {2, 3, 4} равно {1, 2, 3, 4}. Многократное появление одинаковых элементов не влияет на мощность набора или его содержимое.

Алгебраические свойства

См. Также: Список тождеств и отношений множеств и Алгебра множеств.

Бинарное объединение — это ассоциативная операция; то есть для любых наборов $A,B,{\text{ and }}C$,

$$A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C.$$

Таким образом, круглые скобки могут быть опущены без двусмысленности: любое из приведенных выше значений можно записать как $A\cup B\cup C$. Кроме того, объединение коммутативно , поэтому множества можно записывать в любом порядке. Пустой набор является идентификационным элементом для операции объединения. То есть, $A\cup \varnothing =A$, для любого набора $A$. Кроме того, операция объединения идемпотентна: $A\cup A=A$. Все эти свойства следуют из аналогичных фактов о логической дизъюнкции .

Пересечение распределяется по объединению

$$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$$

и объединение распределяет по пересечению

$$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C).$$

Мощность ​ набора $U$, вместе с операциями объединения, пересечения и дополнения , является булевой алгеброй . В этой булевой алгебре объединение можно выразить через пересечение и дополнение по формуле

$$A\cup B=(A^{\complement }\cap B^{\complement })^{\complement },$$

где верхний индекс ${}^{\complement }$ обозначает дополнение в универсальном множестве $U$.

Конечные союзы

Можно одновременно взять объединение нескольких множеств. Например, объединение трех множеств A , B и C содержит все элементы A , все элементы B и все элементы C и ничего больше. Таким образом, x является элементом A ∪ B ∪ C тогда и только тогда, когда находится хотя бы в одном из A , B и C. x

— Конечный союз это объединение конечного числа множеств; эта фраза не подразумевает, что объединенное множество является конечным множеством .

Произвольные союзы

Наиболее общим понятием является объединение произвольного набора множеств, иногда называемое бесконечным объединением . Если M — множество или класс , элементы которого являются множествами, то x — элемент объединения M тогда и только тогда, когда существует хотя бы один элемент A из M такой, что является элементом A. x В символах:

$x\in \bigcup \mathbf {M} \iff \exists A\in \mathbf {M} ,\ x\in A.$

Эта идея включает в себя предыдущие разделы — например, A ∪ B ∪ C является объединением набора { A , B , C }. Кроме того, если M — пустая коллекция, то объединение M — это пустое множество.

Обозначения

Обозначения общего понятия могут существенно различаться. Для конечного объединения множеств $S_{1},S_{2},S_{3},\dots ,S_{n}$ часто пишут $S_{1}\cup S_{2}\cup S_{3}\cup \dots \cup S_{n}$ или ${\textstyle \bigcup _{i=1}^{n}S_{i}}$. Различные общие обозначения для произвольных объединений включают ${\textstyle \bigcup \mathbf {M} }$, ${\textstyle \bigcup _{A\in \mathbf {M} }A}$, и ${\textstyle \bigcup _{i\in I}A_{i}}$. Последнее из этих обозначений относится к объединению коллекции $\left\{A_{i}:i\in I\right\}$, где I — набор индексов и $A_{i}$ это набор для каждого $i\in I$. В случае, когда набор индексов I представляет собой набор натуральных чисел , используется обозначение ${\textstyle \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}}$, что аналогично сумме бесконечных последовательностей.

Когда символ «∪» помещается перед другими символами (а не между ними), он обычно отображается увеличенным размером.

Кодировка обозначений

В Юникоде объединение представлено символом U+222A ∪ СОЮЗ . В ТеХе ​ $\cup$ визуализируется из \cup и ${\textstyle \bigcup }$ визуализируется из \bigcup.

См. также

• Алгебра множеств - Тождества и отношения с участием множеств.
• Чередование (теория формального языка) – в теории формального языка и сопоставлении с образцом объединение двух наборов строк или шаблонов. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта – объединение наборов строк.
• Аксиома союза - концепция аксиоматической теории множеств.
• Непересекающееся объединение - в математике операции над множествами.
• Принцип включения-исключения - Техника счета в комбинаторике
• Пересечение (теория множеств) - набор элементов, общих для всех некоторых множеств.
• Итерированная бинарная операция – многократное применение операции к последовательности.
• Список тождеств и отношений множеств . Равенства для комбинаций множеств.
• Наивная теория множеств - Неформальные теории множеств
• Симметричная разница - элементы ровно в одном из двух наборов.

Внешние ссылки

• «Союз множеств» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Бесконечное объединение и пересечение в ProvenMath Законы Де Моргана, формально доказанные на основе аксиом теории множеств.