Интерпретация (теория моделей)

В теории моделей интерпретация структуры M которое приближается к в другой структуре N (обычно другой сигнатуры идее представления M внутри N. ) является техническим понятием , Например, каждое сокращение или дефинициональное расширение структуры N имеет интерпретацию N. в

Многие теоретико-модельные свойства сохраняются при интерпретируемости. если теория N стабильна и M Например , интерпретируема в N , то теория M также стабильна.

Обратите внимание, что в других областях математической логики термин «интерпретация» может относиться к структуре , ^[1]^[2]вместо того, чтобы использоваться в том смысле, который определен здесь. Эти два понятия «интерпретации» родственны, но тем не менее различны.

Определение [ править ]

Интерпретация в структуры M структуре N с параметрами (или без параметров соответственно) это пара $(n,f)$ где n — натуральное число и $f$ является сюръективным отображением из подмножества Н ^нна М такой, что $f$ -прообраз (точнее $f^{k}$ -прообраз) каждого множества X ⊆ M ^к определимая в M формулой первого порядка без параметров определима (по N ) формулой первого порядка с параметрами (или без параметров соответственно) ^{[ нужны разъяснения ]}. Поскольку значение n для интерпретации $(n,f)$ часто понятно из контекста, карта $f$ само по себе также называется интерпретацией.

Чтобы убедиться, что прообраз каждого определимого (без параметров) множества в M определим в N (с параметрами или без них), достаточно проверить прообразы следующих определимых множеств:

область М ;
диагональ М  ²;
каждое отношение в сигнатуре M ;
график каждой функции в сигнатуре M .

В теории моделей термин «определяемый» часто относится к определяемости с помощью параметров; если используется это соглашение, определимость без параметров выражается термином 0-определяемый . Аналогично, интерпретацию с параметрами можно назвать просто интерпретацией, а интерпретацию без параметров — 0-интерпретацией .

Двуинтерпретируемость [ править ]

Если L, M и N — три структуры, L интерпретируется в M, и M интерпретируется в N, то можно естественным образом построить составную интерпретацию L в N. Если две структуры M и N интерпретируются друг в друге, то, комбинируя интерпретации двумя возможными способами, получается интерпретация каждой из двух структур сама по себе. Это наблюдение позволяет определить отношение эквивалентности между структурами, напоминающее гомотопическую эквивалентность топологических пространств .

Две структуры M и N являются биинтерпретируемыми, если существуют интерпретация M в N и интерпретация N в M такие, что составные интерпретации M в себе и N в себе определимы в M и в N соответственно ( составные интерпретации рассматриваются как операции над M и над N ).

Пример [ править ]

Частичное отображение f из Z × Z на Q , которое отображает ( x , y ) в x / y , если y ≠ 0, обеспечивает интерпретацию поля Q рациональных чисел в кольце Z целых чисел ( точнее, интерпретация имеет вид ( 2, е )). Фактически, именно эта интерпретация часто используется для определения рациональных чисел. Чтобы убедиться, что это интерпретация (без параметров), нужно проверить следующие прообразы определимых множеств в Q :

прообраз Q определяется формулой φ( x , y ), заданной ¬ ( y = 0);
прообраз диагонали Q определяется формулой φ( x ₁ , y ₁ , x ₂ , y ₂ ) , заданной x ₁ × y ₂ = x ₂ × y ₁ ;
прообразы 0 и 1 определяются формулами φ( x , y ), заданными x = 0 и x = y ;
прообраз графа сложения определяется формулой φ( x ₁ , y ₁ , x ₂ , y ₂ , x ₃ , y ₃ ) , заданной x ₁ × y ₂ × y ₃ + x ₂ × y ₁ × y ₃ знак равно Икс ₃ × у ₁ × у ₂ ;
прообраз графа умножения определяется формулой φ( x ₁ , y ₁ , x ₂ , y ₂ , x ₃ , y ₃ ) , заданной x ₁ × x ₂ × y ₃ = x ₃ × y ₁ × y ₂ .

Ссылки [ править ]

^ Голдблатт, Роберт (2006). «11.2 Формальный язык и семантика». Топои: категориальный анализ логики (2-е изд.). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-31796-0 . OCLC 853624133 .
^ Ходжес, Уилфрид (2009). «Функциональное моделирование и математические модели». В Мейерсе, Энтони (ред.). Философия техники и инженерных наук . Справочник по философии науки. Том. 9. Эльзевир. ISBN 978-0-444-51667-1 .

Альбрандт, Гизела; Зиглер, Мартин (1986), «Квазиконечно аксиоматизируемые полностью категоричные теории», Annals of Pure and Applied Logic , 30 : 63–82, doi : 10.1016/0168-0072(86)90037-0 ^{[ мертвая ссылка ]}
Ходжес, Уилфрид (1997), Более короткая теория модели , Кембридж: Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-58713-6 (раздел 4.3)
Пуаза, Бруно (2000), Курс теории моделей , Springer , ISBN 978-0-387-98655-5 (раздел 9.4)

[1] Голдблатт, Роберт (2006). «11.2 Формальный язык и семантика». Топои: категориальный анализ логики (2-е изд.). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-31796-0 . OCLC 853624133 .

[2] Ходжес, Уилфрид (2009). «Функциональное моделирование и математические модели». В Мейерсе, Энтони (ред.). Философия техники и инженерных наук . Справочник по философии науки. Том. 9. Эльзевир. ISBN 978-0-444-51667-1 .

[1]

[2]