Алгебраическая логика

В математической логике алгебраическая логика — это рассуждения, полученные путем манипулирования уравнениями со свободными переменными .

То, что сейчас обычно называют классической алгебраической логикой, фокусируется на идентификации и алгебраическом описании моделей, подходящих для изучения различных логик (в виде классов алгебр, составляющих алгебраическую семантику этих дедуктивных систем ) и связанных с ними проблем, таких как представление и двойственность. Хорошо известные результаты, такие как теорема о представлении булевых алгебр и двойственность Стоуна, подпадают под действие классической алгебраической логики ( Czelakowski 2003 ).

Работы в области абстрактной алгебраической логики (AAL) сосредоточены на самом процессе алгебраизации, например, на классификации различных форм алгебраизуемости с использованием оператора Лейбница ( Czelakowski 2003 ).

Исчисление отношений [ править ]

Однородное бинарное отношение находится в степеней наборе X × X для некоторого набора X , тогда как отношение находится в наборе степеней X × Y , где X ≠ Y. гетерогенное Выполняется ли данное отношение для двух людей, это один бит информации, поэтому отношения изучаются с помощью булевой арифметики. Элементы степенного множества частично упорядочены путем включения , а решетка этих множеств становится алгеброй посредством относительного умножения или композиции отношений .

«Основными операциями являются теоретико-множественное объединение, пересечение и дополнение, относительное умножение и преобразование». [1]

Преобразование . относится к обратному отношению , которое существует всегда, вопреки теории функций Данное отношение может быть представлено логической матрицей ; тогда обратное отношение представляется транспонированной матрицей. Отношение, полученное как композиция двух других, затем представляется логической матрицей, полученной путем умножения матриц с использованием булевой арифметики.

Пример [ править ]

Пример исчисления отношений возникает в эротетике , теории вопросов. вселенной высказываний существуют утверждения S и вопросы Q. Во Существуют два отношения π и α от Q к S : qα a a выполняется, когда является прямым ответом на вопрос q . Другое соотношение q π p имеет место, когда p является предпосылкой вопроса q . Обратное соотношение π Т пробегает от S до Q, так что композиция π Т — однородное отношение на S. α [2] Искусство поставить правильный вопрос, чтобы получить достаточный ответ, признано в сократовском методе диалога.

Функции [ править ]

Описание ключевых свойств бинарных отношений сформулировано с помощью исчисления отношений. Свойство однолистности функций описывает отношение R , удовлетворяющее формуле где I тождественное отношение в диапазоне R. — Инъективное свойство соответствует однолистности , или формула где на этот раз I тождество в области R. —

Но однолистное отношение — это лишь частичная функция , тогда как однолистное тотальное отношение — это функция . Формула тотальности такова: Чарльз Лёвнер и Гюнтер Шмидт используют термин «отображение» для обозначения полного одновалентного отношения. [3] [4]

Возможность дополнительных отношений вдохновила Августа Де Моргана и Эрнста Шредера ввести эквивалентности , используя для дополнения отношения R . Эти эквивалентности дают альтернативные формулы для однолистных отношений ( ) и полные отношения ( ). Следовательно, отображения удовлетворяют формуле Шмидт использует этот принцип как «скольжение ниже отрицания слева». [5] Для отображения f ,

Абстракция [ править ]

Структура алгебры отношений , основанная на теории множеств, была превзойдена Тарским с помощью описывающих ее аксиом. Затем он спросил, может ли каждая алгебра, удовлетворяющая аксиомам, быть представлена ​​отношением множеств. Отрицательный ответ [6] открыл границы абстрактной алгебраической логики . [7] [8] [9]

Алгебры как модели логики [ править ]

Алгебраическая логика рассматривает алгебраические структуры , часто ограниченные решетки , как модели (интерпретации) определенных логик , что делает логику ветвью теории порядка .

В алгебраической логике:

В таблице ниже левый столбец содержит одну или несколько логических или математических систем, а алгебраические структуры, являющиеся ее моделями, показаны справа в той же строке. Некоторые из этих структур являются либо булевыми алгебрами , либо их собственными расширениями . Модальные и другие неклассические логики обычно моделируются так называемыми «булевыми алгебрами с операторами».

Алгебраические формализмы, выходящие за рамки логики первого порядка, по крайней мере, в некоторых отношениях, включают:

Логическая система Алгебра Линденбаума–Тарского
Классическая сентенциальная логика Булева алгебра
Интуиционистская пропозициональная логика Алгебра Гейтинга
Логика Лукасевича MV-алгебра
Модальная логика К Модальная алгебра
Льюиса S4 ​ Внутренняя алгебра
Льюиса S5 , монадическая логика предикатов Монадическая булева алгебра
Логика первого порядка Полная булева алгебра , полиадическая алгебра , функторная логика предикатов
Логика первого порядка с равенством Цилиндрическая алгебра
Теория множеств Комбинаторная логика , алгебра отношений

История [ править ]

Смотрите также: Символическая алгебра

Алгебраическая логика, пожалуй, самый старый подход к формальной логике, возможно, начавшийся с ряда меморандумов, написанных Лейбницем в 1680-х годах, некоторые из которых были опубликованы в 19 веке и переведены на английский язык Кларенсом Льюисом в 1918 году. [10] : 291–305  Но почти все известные работы Лейбница по алгебраической логике были опубликованы только в 1903 году после того, как Луи Кутюра » Лейбница обнаружил их в «Наследиях . Паркинсон (1966) и Лемкер (1969) перевели отрывки из тома Кутюра на английский язык.

Современная математическая логика началась в 1847 году с двух брошюр, авторами которых были Джордж Буль. [11] и Огастес Де Морган . [12] В 1870 году Чарльз Сандерс Пирс опубликовал первую из нескольких работ по логике родственников . Александр Макфарлейн опубликовал свои «Принципы алгебры логики». [13] в 1879, а в 1883 году Кристин Лэдд , студентка Пирса в Университете Джонса Хопкинса , опубликовала «Об алгебре логики». [14] Логика стала более алгебраической, когда бинарные отношения были объединены с композицией отношений . Для множеств A и B отношение свойствами , над A и B представляется как член степенного A множества × B со описываемыми булевой алгеброй . «Исчисление отношений» [9] возможно, это кульминация подхода Лейбница к логике. В Высшей школе Карлсруэ исчисление отношений было описано Эрнстом Шредером . [15] В частности, он сформулировал правила Шредера , хотя Де Морган предвосхитил их своей теоремой К.

В 1903 году Бертран Рассел разработал исчисление отношений и логицизм как свою версию чистой математики, основанную на операциях исчисления как примитивных понятиях . [16] «Алгебра логики Буля-Шредера» была разработана в Калифорнийском университете в Беркли в учебнике Кларенса Льюиса в 1918 году. [10] Он рассматривал логику отношений как производную от пропозициональных функций двух или более переменных.

Хью МакКолл , Готтлоб Фреге , Джузеппе Пеано и А.Н. Уайтхед разделяли мечту Лейбница объединить символическую логику , математику и философию .

Некоторые работы Леопольда Левенхайма и Торальфа Скулема по алгебраической логике появились после публикации в 1910–13 годах « Principia Mathematica» , а Тарский возродил интерес к отношениям своим эссе 1941 года «Об исчислении отношений». [9]

По словам Хелены Расёвой , «в 1920-40 годах, в частности, в польской школе логики, проводились исследования неклассических исчислений высказываний, проводимые с помощью так называемого метода логических матриц . Поскольку логические матрицы представляют собой определенные абстрактные алгебры, это привело к применение алгебраического метода в логике». [17]

Брейди (2000) обсуждает богатые исторические связи между алгебраической логикой и теорией моделей . Основатели теории моделей Эрнст Шредер и Леопольд Левенхайм были логиками алгебраической традиции. Альфред Тарский , основатель теоретико-множественной теории моделей как основного раздела современной математической логики, также:

В практике исчисления отношений Жак Риге использовал алгебраическую логику для выдвижения полезных концепций: он распространил понятие отношения эквивалентности (на множестве) на гетерогенный случай с помощью понятия дифункционального отношения. Риге также распространил упорядочение на гетерогенный контекст, отметив, что лестничная логическая матрица имеет дополнение, которое также является лестницей, и что теорема Н. М. Феррерса следует из интерпретации транспонирования лестницы . Риге создал прямоугольные отношения , взяв внешнее произведение логических векторов; они вносят свой вклад в нерасширяемые прямоугольники анализа формальных концепций .

Лейбниц не оказал никакого влияния на развитие алгебраической логики, поскольку его логические сочинения были мало изучены до переводов Паркинсона и Лемкера. Наше нынешнее понимание Лейбница как логика проистекает главным образом из работ Вольфганга Ленцена, обобщенных в Lenzen (2004) . Чтобы увидеть, как современные работы в области логики и метафизики могут черпать вдохновение и проливать свет на мысли Лейбница, см. Zalta (2000) .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

  1. ^ Бьярни Йонссон (1984). «Максимальные алгебры бинарных отношений». У Кеннета И. Аппеля; Джон Дж. Рэтклифф; Пол Э. Шупп (ред.). Вклад в теорию групп . Современная математика. Том. 33. Провиденс/РАЙ: Американское математическое общество . стр. 299–307. ISBN  978-0-8218-5035-0 .
  2. ↑ Юджин Фриман (1934) Категории Чарльза Пирса , страница 10, Open Court Publishing Company , цитата: Сохраняя реалистичные предпосылки простого человека относительно подлинности внешней реальности, Пирс может укрепить шаткую защиту конвенционалистской теории. природы мощным вооружением здравого реализма.
  3. ^ Г. Шмидт и Т. Стрёлейн (1993) Отношения и графики Дискретная математика для ученых-компьютерщиков, стр. 54, Монографии EATCS по теоретической информатике, Springer Verlag, ISBN   3-540-56254-0
  4. ^ Г. Шмидт (2011) Реляционная математика , Энциклопедия математики и ее приложений, том. 132, страницы 49 и 57, издательство Кембриджского университета. ISBN   978-0-521-76268-7
  5. ^ Г. Шмидт и М. Винтер (2018) Реляционная топология , стр. 8, Конспекты лекций по математике, том. 2208, Шпрингер Верлаг, ISBN   978-3-319-74451-3
  6. ^ Роджер К. Линдон (май 1950 г.). «Представление реляционных алгебр». Анналы математики . 51 (3): 707–729. дои : 10.2307/1969375 . JSTOR   1969375 . МР   0037278 .
  7. ^ Вон Пратт. Истоки исчисления отношений , из Стэнфордского университета.
  8. ^ Роджер Мэддукс (1991) «Происхождение алгебр отношений в развитии и аксиоматизации исчисления отношений», Studia Logica 50 : 421-55
  9. ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б с д Альфред Тарский (1941), «Об исчислении отношений», Журнал символической логики 6: 73–89. дои : 10.2307/2268577
  10. ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Кларенс Льюис (1918) Обзор символической логики , University of California Press , второе издание 1932 г., Дуврское издание 1960 г.
  11. ^ Джордж Буль , Математический анализ логики, эссе по исчислению дедуктивного рассуждения (Лондон, Англия: Macmillan, Barclay & Macmillan, 1847).
  12. ^ Огастес Де Морган (1847), Формальная логика , Лондон: Тейлор и Уолтон, ссылка из Hathi Trust
  13. ^ Александр Макфарлейн (1879), Принципы алгебры логики , через Интернет-архив
  14. ^ Кристин Лэдд (1883), Об алгебре логики через Google Книги
  15. ^ Эрнст Шредер , (1895), Алгебра логики (точная логика), третий том, Алгебра и логика родственников , Лейбциг: Б. Г. Тойбнер через Интернет-архив
  16. ^ Б. Рассел (1903) Принципы математики
  17. ^ Хелена Расёва (1974), «Посталгебры как семантические основы m-значной логики», страницы 92–142 в «Исследованиях по алгебраической логике» , под редакцией Обера Дейно, Математическая ассоциация Америки ISBN   0-88385-109-1

Источники [ править ]

  • Брэди, Джеральдин (2000). От Пирса до Скулема: забытая глава в истории логики . Амстердам, Нидерланды: Северная Голландия/Elsevier Science BV. Архивировано из оригинала 2 апреля 2009 г. Проверено 15 мая 2009 г.
  • Челаковский, Януш (2003). «Обзор: Алгебраические методы в философской логике Дж. Майкла Данна и Гэри М. Харграде». Бюллетень символической логики . 9 . Ассоциация символической логики, издательство Кембриджского университета. ISSN   1079-8986 . JSTOR   3094793 .
  • Ленцен, Вольфганг, 2004, « Логика Лейбница » в книгах Габбай Д. и Вудс Дж., ред., Справочник по истории логики, Vol. 3: Расцвет современной логики от Лейбница до Фреге . Северная Голландия: 1-84.
  • Лемкер, Лерой (1969) [Первое издание 1956 г.], Лейбниц: Философские статьи и письма (2-е изд.), Рейдель.
  • Паркинсон, GHR (1966). Лейбниц: Логические статьи . Издательство Оксфордского университета.
  • Залта, Э.Н., 2000, « (Лейбницианская) теория понятий », История философии и логический анализ / Логический анализ и история философии 3: 137-183.

Дальнейшее чтение [ править ]

Историческая перспектива

Внешние ссылки [ править ]

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Algebraic_logic&oldid=1210815757"