Операция (математика)
- +, плюс (дополнение)
- −, минус (вычитание)
- ÷, обелис (деление)
- ×, раз (умножение)
В математике операция функция — это , которая преобразует ноль или более входных значений (также называемых « операндами » или «аргументами») в четко определенное выходное значение. Количество операндов определяет арность операции.
Наиболее часто изучаемыми операциями являются бинарные операции (т. е. операции арности 2), такие как сложение и умножение , и унарные операции (т. е. операции арности 1), такие как аддитивные обратные и мультипликативные обратные операции . Операция нулевой арности или нулевая операция является константой . [1] [2] Смешанное произведение является примером операции арности 3, также называемой троичной операцией .
Обычно арность считается конечной. Однако бесконечные операции , иногда рассматривают [1] в этом случае «обычные» операции конечной арности называются финитными операциями .
Частичная операция определяется аналогично операции, но частичная функция вместо функции используется .
Виды операций [ править ]
Существует два распространенных типа операций: унарные и бинарные . Унарные операции включают только одно значение, например отрицание и тригонометрические функции . [3] Двоичные операции, с другой стороны, принимают два значения и включают в себя сложение , вычитание , умножение , деление и возведение в степень . [4]
Операции могут включать в себя не только числа, но и математические объекты. Логические значения true и false можно комбинировать с помощью логических операций , таких как and , or, and not . Векторы можно складывать и вычитать. [5] Повороты можно комбинировать с помощью операции композиции функций , выполняя первый поворот, а затем второй. К операциям над множествами относятся бинарные операции объединения и пересечения , а также унарная операция дополнения . [6] [7] [8] Операции над функциями включают композицию и свертку . [9] [10]
Операции не могут быть определены для каждого возможного значения области определения . Например, действительные числа нельзя делить на ноль. [11] или извлечь квадратные корни из отрицательных чисел. Значения, для которых определена операция, образуют набор, называемый областью определения или активной областью . Набор, который содержит полученные значения, называется кодоменом , но набор фактических значений, полученных в результате операции, является его коденом определения, активным кодоменом, изображением или диапазоном . [12] Например, в действительных числах операция возведения в квадрат дает только неотрицательные числа; кодомен — это набор действительных чисел, а диапазон — неотрицательные числа.
Операции могут включать в себя разные объекты: вектор можно умножить на скаляр , чтобы сформировать другой вектор (операция, известная как скалярное умножение ), [13] а операция скалярного произведения над двумя векторами дает скалярную величину. [14] [15] Операция может иметь или не иметь определенные свойства, например, она может быть ассоциативной , коммутативной , антикоммутативной , идемпотентной и т. д.
Объединенные значения называются операндами , аргументами или входными данными , а полученное значение называется значением , результатом или выходом . Операции могут иметь меньше или более двух входов (включая случай нулевого входа и бесконечного количества входов). [1] ).
Оператор похож на операцию в том , что он относится к символу или процессу, используемому для обозначения операции, поэтому их точка зрения различна. Например, часто говорят об «операции сложения» или «операции сложения», когда фокусируются на операндах и результате, но переключаются на «оператор сложения» (редко «оператор сложения»), когда фокусируется на процессе. , или с более символической точки зрения, функция +: X × X → X .
Определение [ править ]
n -арная операция ω из X 1 , …, X n в Y — это функция ω : X 1 × … × X n → Y . Множество X 1 × … × X n называется областью определения операции, множество Y называется кодоменом операции, а фиксированное неотрицательное целое число n (количество операндов) называется арностью операции. Таким образом, унарная операция имеет арность один, а бинарная операция имеет арность два. Операция нулевой арности, называемая нулевой операцией, представляет собой просто элемент кодомена Y . n -арную операцию можно также рассматривать как ( n + 1) -арное отношение , которое является полным в n входных областях и уникальным в выходной области.
n -арная частичная операция ω из X 1 , …, X n в Y является частичной функцией ω : X 1 × … × X n → Y . n -арную частичную операцию также можно рассматривать как ( n + 1) -арное отношение, уникальное в своей выходной области.
Вышеописанное описывает то, что обычно называют финитной операцией , имея в виду конечное число операндов (значение n ). Существуют очевидные расширения, в которых арность считается бесконечным порядковым или кардинальным числом . [1] или даже произвольный набор, индексирующий операнды.
Часто использование термина « операция» подразумевает, что область определения функции включает степень кодомена (т. е. декартово произведение одной или нескольких копий кодомена), [16] хотя это ни в коем случае не является универсальным, как в случае скалярного произведения , когда векторы умножаются и в результате получают скаляр. n -арная операция ω : X н → X называется внутренняя операция . n -арная операция ω : X я × С × Х п - я - 1 → X , где 0 ≤ i < n называется внешней операцией со стороны скалярного набора или набора операторов S. , В частности, для бинарной операции ω : S × X → X называется левой внешней операцией по S , а ω : X × S → X называется правосторонней операцией по S . Примером внутренней операции является сложение векторов , при котором два вектора складываются и в результате получается вектор. Примером внешней операции является скалярное умножение , когда вектор умножается на скаляр и в результате получается вектор.
многофункциональность n -арная или мультиоперация ω — это отображение декартовой степени множества во множество подмножеств этого множества, формально ω : X н → п ( Икс ) . [17]
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ Перейти обратно: а б с д «Алгебраическая операция — Математическая энциклопедия» . www.энциклопедияofmath.org . Проверено 10 декабря 2019 г.
- ^ ДеМео, Уильям (26 августа 2010 г.). «Заметки по универсальной алгебре» (PDF) . math.hawaii.edu . Архивировано из оригинала (PDF) 19 мая 2021 г. Проверено 9 декабря 2019 г.
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Унарная операция» . Математический мир .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Двоичная операция» . Математический мир .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Вектор» . Математический мир . «Векторы можно складывать (сложение векторов), вычитать (вычитание векторов)…»
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Союз» . mathworld.wolfram.com . Проверено 27 июля 2020 г.
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Пересечение» . mathworld.wolfram.com . Проверено 27 июля 2020 г.
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Дополнение» . mathworld.wolfram.com . Проверено 27 июля 2020 г.
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Композиция» . mathworld.wolfram.com . Проверено 27 июля 2020 г.
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Свертка» . mathworld.wolfram.com . Проверено 27 июля 2020 г.
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Деление на ноль» . mathworld.wolfram.com . Проверено 27 июля 2020 г.
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Комейн» . Математический мир .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Скалярное умножение» . mathworld.wolfram.com . Проверено 27 июля 2020 г.
- ^ Джайн, ПК; Ахмад, Халил; Ахуджа, Ом П. (1995). Функциональный анализ . Нью Эйдж Интернэшнл. ISBN 978-81-224-0801-0 .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Внутренний продукт» . mathworld.wolfram.com . Проверено 27 июля 2020 г.
- ^ Беррис, С.Н.; Санкаппанавар, HP (1981). «Глава II, Определение 1.1». Курс универсальной алгебры . Спрингер.
- ^ Бруннер, Дж.; Дрешер, Т.; Пошель, Р.; Зайдель, Х. (январь 1993 г.). «Степеньевые алгебры: клоны и отношения» (PDF) . ЭИК (Электронная обработка информации и кибернетика) . 29 : 293–302 . Проверено 25 октября 2022 г.