Кодомен

В математике кодомен , или набор назначения — функции это набор в который обязательно попадают все выходные данные функции. Это множество $Y$ обозначении $f : X \to Y.$ в Термин « диапазон» иногда неоднозначно используется для обозначения кодомена или образа функции.

Кодомен является частью функции $f$ , если $f$ определен как тройка $(X, Y, G)$ , где $X$ называется областью определения $f$ , $Y$ - его кодоменом , а $G -$ его графиком . ^[1]Множество всех элементов вида $f (x)$ , где $x$ пробегает элементы области $X$ называется образом f $,$ . Образ функции является подмножеством ее кодомена, поэтому он может с ним не совпадать. А именно, функция, которая не является сюръективной, имеет элементы $y$ в своей кодомене, для которых уравнение $f (x) = y$ не имеет решения.

Кодомен не является частью функции $f$ , если $f$ определена как просто граф. ^[2]^[3]Например, в теории множеств желательно, чтобы областью определения функции был собственный класс $X$ , и в этом случае формально не существует такой вещи, как тройка $(X, Y, G)$ . При таком определении функции не имеют кодомена, хотя некоторые авторы все еще используют его неформально после введения функции в виде $f : X \to Y$ . ^[4]

Примеры [ править ]

Для функции

f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}

определяется

f\colon \,x\mapsto x^{2},

или эквивалентно

f(x)\ =\ x^{2},

кодомен $f$ равен $\textstyle \mathbb {R}$ , но $f$ не отображается ни в какое отрицательное число. Таким образом, образ $f$ — это множество $\textstyle \mathbb {R} _{0}^{+}$ ; т. е. интервал $[0, \infty)$ .

Альтернативная функция $g$ определяется следующим образом:

g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} _{0}^{+}

g\colon \,x\mapsto x^{2}.

Хотя $f$ и $g$ отображают данный $x$ в одно и то же число, с этой точки зрения они не являются одной и той же функцией, поскольку имеют разные кодомены. Третью функцию $h$ можно определить, чтобы продемонстрировать, почему:

h\colon \,x\mapsto {\sqrt {x}}.

Область определения $h$ не может быть $\textstyle \mathbb {R}$ но может быть определен как $\textstyle \mathbb {R} _{0}^{+}$ :

h\colon \mathbb {R} _{0}^{+}\rightarrow \mathbb {R} .

Композиции обозначаются

h\circ f,

h\circ g.

При проверке $h \circ f$ бесполезно. Это правда, если не указано иное, что образ $f$ неизвестен; известно только, что это подмножество $\textstyle \mathbb {R}$ . По этой причине возможно, что $h$ , составленный с $f$ , может получить аргумент, для которого не определен выходной результат — отрицательные числа не являются элементами области определения $h$ , которая является функцией квадратного корня .

Таким образом, композиция функции является полезным понятием только тогда, когда кодомен функции в правой части композиции (а не ее изображение , которое является следствием функции и может быть неизвестен на уровне композиции) является подмножеством области определения. функции в левой части.

Кодомен влияет на то, является ли функция сюръекцией , поскольку функция сюръективна тогда и только тогда, когда ее кодомен равен ее изображению. В примере $g$ является сюръекцией, а $f$ — нет. Кодомен не влияет на то, является ли функция инъекцией .

Второй пример разницы между кодоменом и изображением демонстрируется линейными преобразованиями между двумя векторными пространствами – в частности, всеми линейными преобразованиями из $\textstyle \mathbb {R} ^{2}$ самому себе, что может быть представлено $2 \times 2$ матрицами с действительными коэффициентами. Каждая матрица представляет собой карту с доменом $\textstyle \mathbb {R} ^{2}$ и кодомен $\textstyle \mathbb {R} ^{2}$ . Однако имидж неопределенный. Некоторые преобразования могут иметь изображение, равное всей кодомену (в данном случае матрицы с рангом $2$ ), но многие этого не делают, вместо этого отображая в какое-то меньшее подпространство (матрицы с рангом $1$ или $0$ ). Возьмем, к примеру, матрицу $T$ , заданную формулой

T={\begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix}}

которое представляет собой линейное преобразование, которое отображает точку $(x, y)$ в $(x, x)$ . Точка $(2, 3)$ не входит в образ $T$ , но все еще находится в кодобласти, поскольку линейные преобразования из $\textstyle \mathbb {R} ^{2}$ к $\textstyle \mathbb {R} ^{2}$ имеют явное значение. Как и все $2\times2$ матрицы $, T$ представляет собой член этого набора. Изучение различий между изображением и кодоменом часто может быть полезно для обнаружения свойств рассматриваемой функции. Например, можно сделать вывод, что $T$ не имеет полного ранга, поскольку его изображение меньше, чем весь кодомен.

См. также [ править ]

Биекция – взаимно однозначное соответствие.
Морфизм # Кодомен

Примечания [ править ]

^ Бурбаки 1970 , с. 76
^ Бурбаки 1970 , с. 77
^ Форстер 2003 , стр. 10–11.
^ Экклс 1997 , с. 91 ( цитата 1 , цитата 2 ); Мак Лейн 1998 , с. 8 ; Мак Лейн, Scott & Jech, 1967 , с. 232 ; Шарма 2004 , с. 91 ; Стюарт и Талл 1977 , с. 89

Ссылки [ править ]

Бурбаки, Николя (1970). Теория множеств . Элементы математики. Спрингер. ISBN 9783540340348 .
Экклс, Питер Дж. (1997), Введение в математические рассуждения: числа, множества и функции , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-59718-0
Форстер, Томас (2003), Логика, индукция и множества , издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-53361-4
Мак Лейн, Сондерс (1998), Категории для работающего математика (2-е изд.), Springer, ISBN 978-0-387-98403-2
Скотт, Дана С .; Джек, Томас Дж. (1967), Аксиоматическая теория множеств , Симпозиум по чистой математике, Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-0245-8
Шарма, AK (2004), Введение в теорию множеств , Издательство Discovery, ISBN 978-81-7141-877-0
Стюарт, Ян ; Талл, Дэвид Орм (1977), Основы математики , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853165-4

[1] Бурбаки 1970 , с. 76

[2] Бурбаки 1970 , с. 77

[3] Форстер 2003 , стр. 10–11.

[4] Экклс 1997 , с. 91 ( цитата 1 , цитата 2 ); Мак Лейн 1998 , с. 8 ; Мак Лейн, Scott & Jech, 1967 , с. 232 ; Шарма 2004 , с. 91 ; Стюарт и Талл 1977 , с. 89

[1]

[2]

[3]

[4]