Подмножество

«Суперсет» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о других значениях, см. Надмножество (значения) .

«⊃» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о логическом символе, см. подкову (символ) . Чтобы узнать о других значениях, см. подкова (значения) .

Диаграмма Эйлера, показывающая
A является подмножеством B ( обозначается $A\subseteq B$) и, наоборот, B является надмножеством A (обозначается $B\supseteq A$).

В математике множество A является подмножеством множества B, все элементы A если также являются элементами B ; B тогда надмножеством A является . Возможно, что A и B равны; если они неравны, то A является подмножеством B собственным . Отношение одного множества как подмножества другого называется включением (или иногда включением ). A является подмножеством B, что также может быть выражено как B включает (или содержит) A или A включено (или содержится) в B . k k -подмножество это подмножество из — элементов.

Отношение подмножества определяет частичный порядок множеств. Фактически, подмножества данного набора образуют булеву алгебру по отношению подмножества, в котором соединение и встреча задаются пересечением и объединением , а само отношение подмножества является булевым отношением включения .

Определение

Если A и B — множества и каждый элемент A также является элементом B , то:

• A — подмножество B , обозначаемое $A\subseteq B$или, что то же самое,
• B является надмножеством A , обозначаемым $B\supseteq A.$

Если A является подмножеством B , но A не равно B хотя бы один элемент B , (т.е. существует который не является элементом A ), то:

• A — собственное (или строгое ) подмножество B , обозначаемое через $A\subsetneq B$или, что то же самое,
• B — собственное (или строгое ) надмножество A , обозначаемое через $B\supsetneq A.$

Пустой набор , написанный $\{\}$ или $\varnothing ,$ является подмножеством любого множества X и собственным подмножеством любого множества, кроме самого себя, отношение включения $\subseteq$ представляет собой частичный порядок на множестве ${\mathcal {P}}(S)$ ( мощности множество S — множество всех подмножеств S ) определяется $A\leq B\iff A\subseteq B$. Также мы можем заказать частично ${\mathcal {P}}(S)$ путем обратного включения множества, определив $A\leq B{\text{ if and only if }}B\subseteq A.$

При количественной оценке, $A\subseteq B$ представлен как $\forall x\left(x\in A\implies x\in B\right).$

Мы можем доказать утверждение $A\subseteq B$ применяя технику доказательства, известную как аргумент элемента :

множества A и B. Пусть заданы Чтобы доказать это $A\subseteq B,$

1. предположим , что a — конкретный, но произвольно выбранный элемент из A
2. покажите , что a является элементом B .

Справедливость этой техники можно рассматривать как следствие универсального обобщения : техника показывает $c\in A\implies c\in B$ для произвольно выбранного элемента c . Тогда универсальное обобщение подразумевает $\forall x\left(x\in A\implies x\in B\right),$ что эквивалентно $A\subseteq B,$ как сказано выше.

Набор всех подмножеств $A$ называется его набором мощностей и обозначается ${\mathcal {P}}(A)$. Набор всего $k$-подмножества $A$ обозначается ${\tbinom {A}{k}}$, аналогично обозначениям биномиальных коэффициентов , подсчитывающих количество $k$-подмножества $n$- набор элементов. В теории множеств обозначение $[A]^{k}$ также часто встречается, особенно когда $k$ является трансфинитным кардинальным числом .

Свойства

• Множество A является подмножеством B их тогда и только тогда, когда пересечение равно A.

Формально:

$A\subseteq B{\text{ if and only if }}A\cap B=A.$

• Множество A является подмножеством B тогда и только тогда, когда их объединение равно B.

Формально:

$A\subseteq B{\text{ if and only if }}A\cup B=B.$

• Конечное мощность множество A является подмножеством B их тогда и только тогда, когда пересечения равна мощности A.

Формально:

$A\subseteq B{\text{ if and only if }}|A\cap B|=|A|.$

символы ⊂ и ⊃

Некоторые авторы используют символы $\subset$ и $\supset$ для обозначения подмножества и надмножества соответственно; то есть с тем же значением, что и вместо символов $\subseteq$ и $\supseteq .$ Например, для этих авторов верно для каждого множества A, что $A\subset A.$ ( рефлексивное отношение ).

Другие авторы предпочитают использовать символы $\subset$ и $\supset$ для указания правильного (также называемого строгим) подмножества и правильного надмножества соответственно; то есть с тем же значением, что и вместо символов $\subsetneq$ и $\supsetneq .$ Это использование делает $\subseteq$ и $\subset$ аналогично неравенства символам $\leq$ и $<.$ Например, если $x\leq y,$ тогда x может равняться или не равняться y , но если $x<y,$ тогда x определенно не равен y и меньше y ) ( иррефлексивное отношение . Аналогично, используя соглашение, согласно которому $\subset$ является собственным подмножеством, если $A\subseteq B,$ тогда A может быть равно B , а может и не быть, но если $A\subset B,$ тогда A определенно не B. равно

Примеры подмножеств

Правильные многоугольники образуют подмножество многоугольников.

• Множество A = {1, 2} является собственным подмножеством B = {1, 2, 3}, поэтому оба выражения $A\subseteq B$ и $A\subsetneq B$ верны.
• Множество D = {1, 2, 3} является подмножеством (но не собственным подмножеством) E = {1, 2, 3}, поэтому $D\subseteq E$ это правда, и $D\subsetneq E$ неверно (ложно).
• Любое множество является подмножеством самого себя, но не собственным подмножеством. ( $X\subseteq X$ это правда, и $X\subsetneq X$ ложно для любого множества X.)
• Набор { x : x — простое число больше 10} является правильным подмножеством { x : x — нечетное число больше 10}
• Множество натуральных чисел является собственным подмножеством множества рациональных чисел ; аналогично, набор точек на отрезке линии является собственным подмножеством набора точек на линии . Это два примера, в которых и подмножество, и все множество бесконечны, а подмножество имеет ту же мощность (понятие, соответствующее размеру, то есть количеству элементов конечного множества), что и целое; такие случаи могут идти вразрез с первоначальной интуицией.
• Множество рациональных чисел является собственным подмножеством множества действительных чисел . В этом примере оба набора бесконечны, но последний набор имеет большую мощность (или мощность ), чем первый набор.

Другой пример на диаграмме Эйлера :

• 
  A является собственным подмножеством B.
• 
  C является подмножеством, но не собственным подмножеством B.

Другие свойства включения

$A\subseteq B$ и $B\subseteq C$ подразумевает $A\subseteq C.$

Включение — это канонический частичный порядок в том смысле, что каждое частично упорядоченное множество $(X,\preceq )$ изоморфно . некоторому набору множеств, упорядоченному по включению Порядковые числительные являются простым примером: если каждый порядковый номер n отождествляется с множеством $[n]$ всех порядковых номеров, меньших или равных n , то $a\leq b$ тогда и только тогда, когда $[a]\subseteq [b].$

Для набора мощности $\operatorname {\mathcal {P}} (S)$ множества S частичный порядок включения является — с точностью до порядкового изоморфизма — декартовым произведением $k=|S|$ ( мощность S ) копии частичного порядка на $\{0,1\}$ для чего $0<1.$ Это можно проиллюстрировать перечислением $S=\left\{s_{1},s_{2},\ldots ,s_{k}\right\},$и связывание с каждым подмножеством $T\subseteq S$ (т.е. каждый элемент $2^{S}$) k -кортеж из $\{0,1\}^{k},$ из которых i -я координата равна 1 тогда и только тогда, когда $s_{i}$ является членом Т. ​ ​

См. также

• Выпуклое подмножество — в геометрии множество, пересечение каждой линии которого представляет собой один сегмент линии. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления.
• Порядок включения - частичный порядок, который возникает как отношение включения подмножества в некоторой коллекции объектов.
• Регион — связанное открытое подмножество топологического пространства. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления.
• Проблема суммы подмножества - Проблема принятия решений в информатике
• Субсумптивное сдерживание - система элементов, подчиненных друг другу.
• Полное подмножество - Подмножество T топологического векторного пространства X, где линейная оболочка T является плотным подмножеством X.
• Мереология - изучение частей и целых, которые они образуют.

Библиография

• Я, Томас (2002). Теория множеств . Спрингер Верлаг. ISBN  3-540-44085-2 .

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с подмножествами, на Викискладе?
• Вайсштейн, Эрик В. «Подмножество» . Математический мир .