Подмножество

В математике множество A является подмножеством множества B если все элементы A , также являются элементами B ; B тогда надмножеством A . является Возможно, что A и B равны; если они неравны, то A является собственным подмножеством B . Отношение одного множества как подмножества другого называется включением (или иногда включением ). A представляет собой подмножество B, что также может быть выражено как B включает (или содержит) A или A включено (или содержится) в B . k -подмножество — это подмножество из k элементов.

Отношение подмножества определяет частичный порядок множеств. Фактически, подмножества данного набора образуют булеву алгебру по отношению подмножества, в котором соединение и встреча задаются пересечением и объединением , а само отношение подмножества является булевым отношением включения .

Определение [ править ]

Если A и B — множества и каждый элемент A B является элементом также , то:

A — подмножество B , обозначаемое $A\subseteq B$ или, что то же самое,
B является надмножеством A , обозначаемым $B\supseteq A.$

Если A является подмножеством B , но A не равно B хотя бы один элемент B , (т.е. существует который не является элементом A ), то:

A — собственное (или строгое ) подмножество B через , обозначаемое $A\subsetneq B$ или, что то же самое,
B является собственным (или строгим ) надмножеством A через , обозначаемым $B\supsetneq A.$

, Пустой набор написанный $\{\}$ или $\varnothing ,$ является подмножеством любого множества X включения и собственным подмножеством любого множества, кроме самого себя, отношение $\subseteq$ представляет собой частичный порядок на множестве ${\mathcal {P}}(S)$ ( мощности множество S — множество всех подмножеств S ^[1]) определяется $A\leq B\iff A\subseteq B$ . Также мы можем заказать частично ${\mathcal {P}}(S)$ путем обратного включения множества, определив $A\leq B{\text{ if and only if }}B\subseteq A.$

При количественной оценке, $A\subseteq B$ представлен как $\forall x\left(x\in A\implies x\in B\right).$ ^[2]

Мы можем доказать утверждение $A\subseteq B$ применяя технику доказательства, известную как аргумент элемента ^[3]:

Пусть множества A и B. заданы Чтобы доказать это $A\subseteq B,$
предположим , что a — конкретный, но произвольно выбранный элемент из A

покажите , что a является элементом B .

Справедливость этого метода можно рассматривать как следствие универсального обобщения : метод показывает $c\in A\implies c\in B$ для произвольно выбранного элемента c . Тогда универсальное обобщение подразумевает $\forall x\left(x\in A\implies x\in B\right),$ что эквивалентно $A\subseteq B,$ как указано выше.

Набор всех подмножеств $A$ называется его набором мощностей и обозначается ${\mathcal {P}}(A)$ . Набор всего $k$ -подмножества $A$ обозначается ${\tbinom {A}{k}}$ , аналогично обозначениям биномиальных коэффициентов , подсчитывающих количество $k$ -подмножества $n$ - набор элементов. В теории множеств обозначение $[A]^{k}$ также часто встречается, особенно когда $k$ является трансфинитным кардинальным числом .

Свойства [ править ]

Множество A является подмножеством B их тогда и только тогда, когда пересечение равно A.

Формально:

A\subseteq B{\text{ if and only if }}A\cap B=A.

Множество A является подмножеством B тогда и только тогда , когда их объединение равно B.

Формально:

A\subseteq B{\text{ if and only if }}A\cup B=B.

Конечное мощность множество A является подмножеством B их тогда и только тогда, когда пересечения равна мощности A.

Формально:

A\subseteq B{\text{ if and only if }}|A\cap B|=|A|.

символы ⊂ и ⊃ [ править ]

Некоторые авторы используют символы $\subset$ и $\supset$ для обозначения подмножества и надмножества соответственно; то есть с тем же значением, что и вместо символов $\subseteq$ и $\supseteq .$ ^[4] Например, для этих авторов верно для каждого множества A , что $A\subset A.$ ( рефлексивное отношение ).

Другие авторы предпочитают использовать символы $\subset$ и $\supset$ для указания правильного (также называемого строгим) подмножества и правильного надмножества соответственно; то есть с тем же значением, что и вместо символов $\subsetneq$ и $\supsetneq .$ ^[5] Это использование делает $\subseteq$ и $\subset$ аналогично неравенства символам $\leq$ и $<.$ Например, если $x\leq y,$ тогда x может равняться или не равняться y , но если $x<y,$ тогда x определенно не равен y и меньше y ( иррефлексивное отношение ). Аналогично, используя соглашение, согласно которому $\subset$ является собственным подмножеством, если $A\subseteq B,$ тогда A , а может и не быть может быть равно B , но если $A\subset B,$ тогда A определенно не B. равно

Примеры подмножеств [ править ]

Множество A = {1, 2} является собственным подмножеством B = {1, 2, 3}, поэтому оба выражения $A\subseteq B$ и $A\subsetneq B$ верны.
Множество D = {1, 2, 3} является подмножеством (но не собственным подмножеством) E = {1, 2, 3}, поэтому $D\subseteq E$ это правда, и $D\subsetneq E$ неверно (ложно).
Любое множество является подмножеством самого себя, но не собственным подмножеством. ( $X\subseteq X$ это правда, и $X\subsetneq X$ ложно для любого множества X.)
Набор { x : x — простое число больше 10} является правильным подмножеством { x : x — нечетное число больше 10}
Множество натуральных чисел является собственным подмножеством множества рациональных чисел ; аналогично, набор точек на отрезке линии является собственным подмножеством набора точек на линии . Это два примера, в которых и подмножество, и все множество бесконечны, а подмножество имеет ту же мощность (понятие, соответствующее размеру, то есть количеству элементов конечного множества), что и целое; такие случаи могут идти вразрез с первоначальной интуицией.
Множество рациональных чисел является собственным подмножеством множества действительных чисел . В этом примере оба набора бесконечны, но последний набор имеет большую мощность (или мощность ), чем первый набор.

Другой пример на диаграмме Эйлера :

A является собственным подмножеством B.
C является подмножеством, но не собственным подмножеством B.

Другие свойства включения [ править ]

Включение — это канонический частичный порядок в том смысле, что каждое частично упорядоченное множество $(X,\preceq )$ изоморфно . некоторому набору множеств, упорядоченному по включению Порядковые числительные являются простым примером: если каждый порядковый номер n отождествляется с множеством $[n]$ всех порядковых номеров, меньших или равных n , то $a\leq b$ если и только если $[a]\subseteq [b].$

Для набора мощности $\operatorname {\mathcal {P}} (S)$ множества S частичный порядок включения является — с точностью до порядкового изоморфизма — декартовым произведением $k=|S|$ ( мощность S ) копии частичного порядка на $\{0,1\}$ для которого $0<1.$ Это можно проиллюстрировать перечислением $S=\left\{s_{1},s_{2},\ldots ,s_{k}\right\},$ и связывание с каждым подмножеством $T\subseteq S$ (т.е. каждый элемент $2^{S}$ ) k -кортеж из $\{0,1\}^{k},$ из которых i- я координата равна 1 тогда и только тогда, когда $s_{i}$ является членом Т.

См. также [ править ]

Выпуклое подмножество — в геометрии множество, пересечение каждой линии которого представляет собой один сегмент линии.
Порядок включения - частичный порядок, который возникает как отношение включения подмножества в некоторой коллекции объектов.
Регион — связанное открытое подмножество топологического пространства.
Проблема суммы подмножества - Проблема принятия решений в информатике
Субсумптивное сдерживание - система элементов, подчиненных друг другу.
Полное подмножество - Подмножество T топологического векторного пространства X, где линейная оболочка T является плотным подмножеством X.
Мереология - изучение частей и целых, которые они образуют.

Ссылки [ править ]

^ Вайсштейн, Эрик В. «Подмножество» . mathworld.wolfram.com . Проверено 23 августа 2020 г.
^ Розен, Кеннет Х. (2012). Дискретная математика и ее приложения (7-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. п. 119 . ISBN 978-0-07-338309-5 .
^ Эпп, Сюзанна С. (2011). Дискретная математика с приложениями (Четвертое изд.). п. 337. ИСБН 978-0-495-39132-6 .
^ Рудин, Уолтер (1987), Реальный и комплексный анализ (3-е изд.), Нью-Йорк: McGraw-Hill , стр. 6, ISBN 978-0-07-054234-1 , МР 0924157
^ Подмножества и правильные подмножества (PDF) , заархивировано из оригинала (PDF) 23 января 2013 г. , получено 7 сентября 2012 г.

Библиография [ править ]

Я, Томас (2002). Теория множеств . Спрингер Верлаг. ISBN 3-540-44085-2 .

Внешние ссылки [ править ]

СМИ, связанные с подмножествами, на Викискладе?
Вайсштейн, Эрик В. «Подмножество» . Математический мир .

[1] Вайсштейн, Эрик В. «Подмножество» . mathworld.wolfram.com . Проверено 23 августа 2020 г.

[2] Розен, Кеннет Х. (2012). Дискретная математика и ее приложения (7-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. п. 119 . ISBN 978-0-07-338309-5 .

[3] Эпп, Сюзанна С. (2011). Дискретная математика с приложениями (Четвертое изд.). п. 337. ИСБН 978-0-495-39132-6 .

[4] Рудин, Уолтер (1987), Реальный и комплексный анализ (3-е изд.), Нью-Йорк: McGraw-Hill , стр. 6, ISBN 978-0-07-054234-1 , МР 0924157

[5] Подмножества и правильные подмножества (PDF) , заархивировано из оригинала (PDF) 23 января 2013 г. , получено 7 сентября 2012 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

v т Это Теория множеств
Overview	Set (mathematics)
Axioms	Adjunction Choice countable dependent global Constructibility (V=L) Determinacy Extensionality Infinity Limitation of size Pairing Power set Regularity Union Martin's axiom Axiom schema replacement specification
Operations	Cartesian product Complement (i.e. set difference) De Morgan's laws Disjoint union Identities Intersection Power set Symmetric difference Union
Concepts Methods	Almost Cardinality Cardinal number (large) Class Constructible universe Continuum hypothesis Diagonal argument Element ordered pair tuple Family Forcing One-to-one correspondence Ordinal number Set-builder notation Transfinite induction Venn diagram
Set types	Amorphous Countable Empty Finite (hereditarily) Filter base subbase Ultrafilter Fuzzy Infinite (Dedekind-infinite) Recursive Singleton Subset · Superset Transitive Uncountable Universal
Theories	Alternative Axiomatic Naive Cantor's theorem Zermelo General Principia Mathematica New Foundations Zermelo–Fraenkel von Neumann–Bernays–Gödel Morse–Kelley Kripke–Platek Tarski–Grothendieck
Paradoxes Problems	Russell's paradox Suslin's problem Burali-Forti paradox
Set theorists	Paul Bernays Georg Cantor Paul Cohen Richard Dedekind Abraham Fraenkel Kurt Gödel Thomas Jech John von Neumann Willard Quine Bertrand Russell Thoralf Skolem Ernst Zermelo