Принцип передачи

В теории моделей гласит принцип переноса , что все утверждения некоторого языка, которые верны для одной структуры, верны и для другой структуры. Одним из первых примеров был принцип Лефшеца , который утверждает, что любое предложение на первого порядка языке полей , верное для комплексных чисел, также верно для любого алгебраически замкнутого поля характеристики 0 .

История

Зарождающаяся форма принципа переноса была описана Лейбницем под названием « Закон непрерывности ». Здесь бесконечно малые ожидается, что будут иметь «те же» свойства, что и заметные числа. Принцип переноса также можно рассматривать как строгую формализацию принципа постоянства . Подобные тенденции обнаруживаются у Коши , который использовал бесконечно малые значения для определения как непрерывности функций (в «Курс д'Анализ »), так и формы дельта-функции Дирака .

В 1955 году Ежи Лось доказал принцип переноса для любой гипердействительной системы счисления. Его наиболее распространенное использование - в Авраамом Робинсоном , нестандартном анализе гипердействительных чисел где принцип переноса утверждает, что любое предложение, выражаемое на определенном формальном языке, которое верно для действительных чисел, также верно и для гипердействительных чисел.

Принцип переноса гиперреальности

См. Также: Гипердействительное число § Принцип передачи.

Принцип переноса касается логической связи между свойствами действительных чисел R и свойствами большего поля, обозначаемого * R, называемого гипердействительными числами . Поле * R включает, в частности, бесконечно малые («бесконечно малые») числа, обеспечивающие строгую математическую реализацию проекта, начатого Лейбницем.

Идея состоит в том, чтобы выразить анализ R на подходящем языке математической логики , а затем указать, что этот язык одинаково хорошо применим и к * R . Это оказывается возможным, поскольку на теоретико-множественном уровне предложения в таком языке интерпретируются как применимые только к внутренним множествам , а не ко всем множествам. Как Робинсон выразился , предложения [теории] интерпретируются в * R в . смысле Хенкина

Теорема о том, что каждое предложение, действительное над R , также справедливо и над * R , называется принципом переноса.

Существует несколько различных версий принципа переноса в зависимости от того, какая модель нестандартной математики используется. С точки зрения теории моделей, принцип переноса гласит, что отображение стандартной модели в нестандартную модель представляет собой элементарное вложение (вложение, сохраняющее значения истинности всех утверждений в языке), а иногда и ограниченное элементарное вложение (аналогичное, но только для высказываний с ограниченными кванторами ).

Принцип переноса, по-видимому, приводит к противоречиям, если с ним неправильно обращаться. Например, поскольку гипердействительные числа образуют неархимедово упорядоченное поле , а действительные числа образуют архимедово упорядоченное поле, свойство быть архимедовым («каждое положительное действительное число больше, чем $1/n$ для некоторого положительного целого числа $n$") на первый взгляд кажется не удовлетворяющим принципу переноса. Утверждение "всякая положительная гиперреальность больше, чем $1/n$ для некоторого положительного целого числа $n$неверно; однако правильная интерпретация такова: «всякая положительная гиперреальность больше, чем $1/n$ для некоторого положительного гиперцелого числа $n$Другими словами, гиперреалы кажутся архимедовыми внутреннему наблюдателю, живущему в нестандартной вселенной, но кажутся быть неархимедовым для внешнего наблюдателя вне Вселенной.

Доступной для первокурсников формулировкой принципа переноса является Кейслера « книга Элементарное исчисление: бесконечно малый подход» .

Пример

Каждый настоящий $x$ удовлетворяет неравенству

$$x\geq \lfloor x\rfloor ,$$

где $\lfloor \,\cdot \,\rfloor$— целочисленная часть функции. При типичном применении принципа переноса каждая гиперреальная реальность $x$ удовлетворяет неравенству

$$x\geq {}^{*}\!\lfloor x\rfloor ,$$

где ${}^{*}\!\lfloor \,\cdot \,\rfloor$является естественным расширением функции целой части. Если $x$ бесконечно, то гиперцелое число ${}^{*}\!\lfloor x\rfloor$ также бесконечен.

Обобщения понятия числа

Исторически понятие числа неоднократно обобщалось. Прибавление 0 к натуральным числам $\mathbb {N}$было крупным интеллектуальным достижением своего времени. Сложение отрицательных целых чисел образует $\mathbb {Z}$уже представляло собой уход из области непосредственного опыта в область математических моделей. Дальнейшее расширение, рациональные числа $\mathbb {Q}$, более знакомо непрофессионалу, чем их завершение $\mathbb {R}$отчасти потому, что реальные вещи не соответствуют какой-либо физической реальности (в смысле измерения и вычисления), отличной от той, которая представлена $\mathbb {Q}$. Таким образом, понятие иррационального числа бессмысленно даже для самого мощного компьютера с плавающей запятой. Необходимость такого расширения проистекает не из физических наблюдений, а скорее из внутренних требований математической связности. Бесконечно малые числа вошли в математический дискурс в то время, когда такое понятие требовалось математическими разработками того времени, а именно появлением того, что стало известно как исчисление бесконечно малых . Как уже говорилось выше, математическое обоснование этого последнего расширения задержалось на три столетия. Кейслер писал:

«Обсуждая действительную линию, мы заметили, что у нас нет возможности узнать, на что на самом деле похожа линия в физическом пространстве. Она может быть похожа на гиперреальную линию, на действительную линию или ни на то, ни на другое. полезно представить линию в физическом пространстве как гиперреальную линию».

Самосогласованное , плюс, умножение, сравнение) и количественно оценивает только действительные числа , развитие гиперреальности оказалось возможным, если каждое истинное логическое утверждение первого порядка , которое использует базовую арифметику ( натуральные числа считалось истинным в переосмысленную форму, если мы предполагаем, что она дает количественную оценку гипердействительным числам. Например, мы можем утверждать, что для каждого действительного числа существует другое число, большее его:

$\forall x\in \mathbb {R} \quad \exists y\in \mathbb {R} \quad x<y.$

То же самое будет справедливо и для гиперреальности:

$\forall x\in {}^{\star }\mathbb {R} \quad \exists y\in {}^{\star }\mathbb {R} \quad x<y.$

Другим примером является утверждение, что если вы прибавите 1 к числу, вы получите большее число:

$\forall x\in \mathbb {R} \quad x<x+1$

что также справедливо для гиперреальности:

$\forall x\in {}^{\star }\mathbb {R} \quad x<x+1.$

Правильное общее утверждение, формулирующее эти эквивалентности, называется принципом переноса. Обратите внимание, что во многих формулах анализа количественная оценка осуществляется по объектам более высокого порядка, таким как функции и множества, что делает принцип переноса несколько более тонким, чем предполагают приведенные выше примеры.

Различия между R и ^* Р

Однако принцип переноса не означает, что R и * R ведут себя одинаково. Например, в * R существует элемент ω такой, что

$1<\omega ,\quad 1+1<\omega ,\quad 1+1+1<\omega ,\quad 1+1+1+1<\omega ,\ldots$

такого числа нет но в R . Это возможно, поскольку отсутствие этого числа не может быть выражено в виде утверждения первого порядка указанного выше типа. Гипердействительное число, такое как ω , называется бесконечно большим; обратные величины бесконечно больших чисел являются бесконечно малыми.

Гиперреалы * R образуют упорядоченное поле , содержащее вещественные числа R в качестве подполя. В отличие от реальностей, гиперреалы не образуют стандартного метрического пространства , но в силу своего порядка несут топологию порядка .

Конструкции гиперреализма

Гиперреалы могут разрабатываться либо аксиоматически, либо более конструктивно ориентированными методами. Суть аксиоматического подхода состоит в утверждении (1) существования хотя бы одного бесконечно малого числа и (2) справедливости принципа переноса. В следующем подразделе мы даем подробное описание более конструктивного подхода. Этот метод позволяет создавать гиперреалы, если задан теоретико-множественный объект, называемый ультрафильтром , но сам ультрафильтр не может быть построен явно. Владимир Кановей и Шела дать конструкцию определимого счетно-насыщенного элементарного расширения структуры, состоящей из вещественных чисел и всех финитных отношений на ней.

В самом общем виде перенос — это ограниченное элементарное вложение между структурами.

Заявление

Заказанное поле ^* R нестандартных действительных чисел правильно включает вещественное поле R . Как и все упорядоченные поля, которые правильно включают R , это поле не является архимедовым . Это означает, что некоторые члены x ≠ 0 из ^* R , бесконечно малы т. е.

$\underbrace {\left|x\right|+\cdots +\left|x\right|} _{n{\text{ terms}}}<1{\text{ for every finite [[cardinal number]] }}n.$

Единственная бесконечно малая величина в R равна 0. Некоторые другие члены ^* R , обратные y ненулевых бесконечно малых величин, бесконечны, т. е.

$\underbrace {1+\cdots +1} _{n{\text{ terms}}}<\left|y\right|{\text{ for every finite [[cardinal number]] }}n.$

Базовый набор поля ^* R — образ R при отображении A ↦ ^* A из подмножеств A из R в подмножества из ^* Р . В каждом случае

$A\subseteq {^{*}\!A},$

с равенством тогда и только тогда, когда A конечно. Наборы формы ^* А для некоторых $\scriptstyle A\,\subseteq \,\mathbb {R}$ называются стандартными подмножествами ^* Р . Стандартные множества принадлежат к гораздо более широкому классу подмножеств ^* R называется внутренними множествами. Аналогично каждая функция

$f:A\rightarrow \mathbb {R}$

расширяется до функции

${^{*}\!f}:{^{*}\!A}\rightarrow {^{*}\mathbb {R} };$

они называются стандартными функциями и принадлежат к гораздо более широкому классу внутренних функций . Наборы и функции, которые не являются внутренними, являются внешними .

Важность этих понятий вытекает из их роли в следующем предложении и иллюстрируется следующими за ним примерами.

Принцип передачи :

• Предположим, что предложение истинно для ^* R может быть выражен через функции конечного числа переменных (например, ( x , y ) ↦ x + y ), отношений между конечным числом переменных (например, x ≤ y ), финитарных логических связок, таких как и , или , not , если... тогда... и кванторы

$\forall x\in \mathbb {R} {\text{ and }}\exists x\in \mathbb {R} .$

Например, одно из таких предложений

$\forall x\in \mathbb {R} \ \exists y\in \mathbb {R} \ x+y=0.$

Такое предложение истинно в R тогда и только тогда, когда оно истинно в ^* R , когда квантор

$\forall x\in {^{*}\!\mathbb {R} }$

заменяет

$\forall x\in \mathbb {R} ,$

и аналогично для $\exists$.

• Предположим, что предложение, выражаемое так же просто, как рассмотренное выше, упоминает некоторые конкретные множества. $\scriptstyle A\,\subseteq \,\mathbb {R}$. Такое предложение истинно в R тогда и только тогда, когда оно истинно в ^* R с заменой каждого такого " А " на соответствующий ^* А. ​ Вот два примера:

• Набор

$[0,1]^{\ast }=\{\,x\in \mathbb {R} :0\leq x\leq 1\,\}^{\ast }$

должно быть

$\{\,x\in {^{*}\mathbb {R} }:0\leq x\leq 1\,\},$

включая не только члены R от 0 до 1 включительно, но и члены ^* R между 0 и 1, которые отличаются от таковых на бесконечно малые значения. Чтобы убедиться в этом, обратите внимание на предложение

$\forall x\in \mathbb {R} \ (x\in [0,1]{\text{ if and only if }}0\leq x\leq 1)$

верно в R и примените принцип переноса.

• Набор ^* N не должно иметь верхней границы в ^* R (поскольку предложение, выражающее отсутствие верхней границы N в R , достаточно просто, чтобы к нему можно было применить принцип переноса) и должно содержать n + 1, если оно содержит n , но не должно содержать ничего между n и n + 1. Члены

${^{*}\mathbb {N} }\setminus \mathbb {N}$

являются «бесконечными целыми числами».)

• Предположим, что предложение, выражаемое так же просто, как рассмотренное выше, содержит квантор

$\forall A\subseteq \mathbb {R} \dots {\text{ or }}\exists A\subseteq \mathbb {R} \dots \ .$

Такое предложение истинно в R тогда и только тогда, когда оно истинно в ^* R после указанных выше изменений и замены кванторов на

$[\forall {\text{ internal }}A\subseteq {^{*}\mathbb {R} }\dots ]$

и

$[\exists {\text{ internal }}A\subseteq {^{*}\mathbb {R} }\dots ]\ .$

Три примера

Подходящей средой для принципа гиперреального переноса является мир внутренних сущностей. Таким образом, свойство хорошего порядка натуральных чисел путем переноса приводит к тому, что каждое внутреннее подмножество чисел $\mathbb {N}$имеет наименьший элемент. В этом разделе внутренние наборы обсуждаются более подробно.

• Каждое непустое внутреннее подмножество ^* R , который имеет верхнюю границу в ^* R имеет наименьшую верхнюю границу в ^* Р . Следовательно, множество всех бесконечно малых является внешним.
  • Принцип хорошего порядка подразумевает, что каждое непустое внутреннее подмножество ^* N имеет наименьший член. Следовательно, множество

${^{*}\mathbb {N} }\setminus \mathbb {N}$

всех бесконечных целых чисел является внешним.

• Если n — бесконечное целое число, то набор {1, ..., n } (который не является стандартным) должен быть внутренним. Чтобы доказать это, сначала заметим, что следующее тривиально верно:

$\forall n\in \mathbb {N} \ \exists A\subseteq \mathbb {N} \ \forall x\in \mathbb {N} \ [x\in A{\text{ iff }}x\leq n].$

Следовательно

$\forall n\in {^{*}\mathbb {N} }\ \exists {\text{ internal }}A\subseteq {^{*}\mathbb {N} }\ \forall x\in {^{*}\mathbb {N} }\ [x\in A{\text{ iff }}x\leq n].$

• Что касается внутренних наборов, то и внутренние функции: Заменить

$\forall f:A\rightarrow \mathbb {R} \dots$

с

$\forall {\text{ internal }}f:{^{*}\!A}\rightarrow {^{*}\mathbb {R} }\dots$

при применении принципа переноса и аналогично $\exists$ на месте $\forall$.

Например: Если n — бесконечное целое число, то дополнение образа любой внутренней взаимно однозначной функции ƒ из бесконечного множества {1, ..., n } в {1, ..., n , n + 1, n + 2, n + 3} по принципу переноса имеет ровно три члена. Из-за бесконечности области дополнения к образам однозначных функций из первого множества во второе бывают разных размеров, но большинство этих функций являются внешними.

Этот последний пример мотивирует важное определение: *-конечное (произносится как звездообразное ) подмножество ^* R — это тот, который можно поставить во внутреннее взаимно однозначное соответствие с {1, ..., n } для некоторого n ∈ ^* Н. ​

См. также

• Элементарное исчисление: бесконечно малый подход
• Принцип постоянства
• Общность алгебры

Ссылки

• Чанг, Чен Чунг; Кейслер, Х. Джером (1990) [1973], Теория моделей , Исследования по логике и основам математики (3-е изд.), Elsevier , ISBN  978-0-444-88054-3
• Харди, Майкл: «Масштабированные булевы алгебры». Адв. в прил. Математика. 29 (2002), вып. 2, 243–292.
• Кановей, Владимир; Шела, Сахарон (2004), «Определимая нестандартная модель действительных чисел» , Журнал символической логики , 69 : 159–164, arXiv : math/0311165 , doi : 10.2178/jsl/1080938834 , S2CID   15104702
• Кейслер, Х. Джером (2000). «Элементарное исчисление: бесконечно малый подход» .
• Кульман, Ф.-В. (2001) [1994], «Принцип переноса» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Лось, Ежи (1955) Некоторые замечания, теоремы и проблемы об определимых классах алгебр. Математическая интерпретация формальных систем, стр. 98–113. Издательство Северной Голландии, Амстердам.
• Робинсон, Абрахам (1996), Нестандартный анализ , Princeton University Press , ISBN  978-0-691-04490-3 , МР   0205854