Заказанное поле

В математике упорядоченное поле — это поле вместе с полным упорядочением его элементов, совместимым с полевыми операциями. Основными примерами упорядоченных полей являются рациональные числа и действительные числа со стандартным порядком.

Каждое подполе упорядоченного поля также является упорядоченным полем в унаследованном порядке. Каждое упорядоченное поле содержит упорядоченное подполе, изоморфное рациональным числам . Каждое дедекиндово полное упорядоченное поле изоморфно действительным числам. В упорядоченном поле квадраты обязательно неотрицательны. Это означает, что комплексные числа не могут быть упорядочены, поскольку квадрат мнимой единицы i равен -1 (что отрицательно в любом упорядоченном поле). Конечные поля не могут быть упорядочены.

Исторически аксиоматизация упорядоченного поля постепенно абстрагировалась от действительных чисел математиками, включая Давида Гильберта , Отто Гёльдера и Ганса Хана . В конечном итоге это переросло в теорию Артина-Шрайера упорядоченных полей и формально реальных полей .

Определения

Существует два эквивалентных общих определения упорядоченного поля. Определение тотального порядка появилось впервые исторически и представляет собой первого порядка. аксиоматизацию упорядочивания $\leq$как бинарный предикат . Артин и Шрайер дали определение в терминах положительного конуса в 1926 году, которое аксиоматизирует совокупность неотрицательных элементов. Хотя последний имеет более высокий порядок, рассмотрение положительных конусов как максимальных препозитивных конусов обеспечивает более широкий контекст, в котором упорядочение полей является экстремальным частичным упорядочением.

Общий заказ

Поле ​ $(F,+,\cdot \,)$ вместе с общим заказом $\leq$ на $F$ является упорядоченное поле , если порядок удовлетворяет следующим свойствам для всех $a,b,c\in F:$

• если $a\leq b$ затем $a+c\leq b+c,$ и
• если $0\leq a$ и $0\leq b$ затем $0\leq a\cdot b.$

Как обычно, пишем $a<b$ для $a\leq b$ и $a\neq b$. Обозначения $b\geq a$ и $b>a$ стоять за $a\leq b$ и $a<b$, соответственно. Элементы $a\in F$ с $a>0$ называются положительными.

Положительный конус

А препозитивный конус или предварительный порядок поля $F$ является подмножеством $P\subseteq F$ который имеет следующие свойства:

• Для $x$ и $y$ в $P,$ оба $x+y$ и $x\cdot y$ находятся в $P.$
• Если $x\in F,$ затем $x^{2}\in P.$ В частности, $0=0^{2}\in P$ и $1=1^{2}\in P.$
• Элемент $-1$ не в $P.$

А поле preordered — это поле, оснащенное предзаказом $P.$ Его ненулевые элементы $P^{*}$ образуют подгруппу мультипликативной группы $F.$

Если, кроме того, набор $F$ это союз $P$ и $-P,$ мы называем $P$ конус положительный ​ $F.$ Ненулевые элементы $P$ называются положительными элементами $F.$

Упорядоченное поле — это поле $F$ вместе с положительным конусом $P.$

Предварительные заказы на $F$ являются в точности пересечениями семейств положительных конусов на $F.$ Положительные конусы — это максимальные предупорядочения.

Эквивалентность двух определений

Позволять $F$быть полем. Существует биекция между порядками полей $F$ и положительные конусы $F.$

Учитывая порядок полей ≤, как в первом определении, набор элементов такой, что $x\geq 0$ образует положительный конус $F.$ Обратно, при положительном конусе $P$ из $F$ как и во втором определении, можно связать полный порядок $\leq _{P}$ на $F$ установив $x\leq _{P}y$ значить $y-x\in P.$ Этот общий порядок $\leq _{P}$ удовлетворяет свойствам первого определения.

Примеры упорядоченных полей

Примеры упорядоченных полей:

• поле $\mathbb {Q}$ рациональных чисел со стандартным порядком (который также является его единственным порядком);
• поле $\mathbb {R}$ действительных чисел со стандартным порядком (который также является единственным порядком);
• любое подполе упорядоченного поля, такое как действительные алгебраические числа или вычислимые числа , становится упорядоченным полем, ограничивая порядок подполем;
• поле $\mathbb {Q} (x)$ рациональных функций $p(x)/q(x)$, где $p(x)$ и $q(x)$ являются полиномами с рациональными коэффициентами и $q(x)\neq 0$, можно превратить в упорядоченное поле, зафиксировав действительное трансцендентное число $\alpha$ и определение $p(x)/q(x)>0$ если и только если $p(\alpha )/q(\alpha )>0$. Это эквивалентно вложению $\mathbb {Q} (x)$ в $\mathbb {R}$ с помощью $x\mapsto \alpha$ и ограничение порядка $\mathbb {R}$ на заказ изображения $\mathbb {Q} (x)$. Таким образом, мы получаем множество различных порядков $\mathbb {Q} (x)$.
• поле $\mathbb {R} (x)$ рациональных функций $p(x)/q(x)$, где $p(x)$ и $q(x)$ являются полиномами с действительными коэффициентами и $q(x)\neq 0$, можно превратить в упорядоченное поле, определив $p(x)/q(x)>0$ иметь в виду, что $p_{n}/q_{m}>0$, где $p_{n}\neq 0$ и $q_{m}\neq 0$ являются старшими коэффициентами $p(x)=p_{n}x^{n}+\dots +p_{0}$ и $q(x)=q_{m}x^{m}+\dots +q_{0}$, соответственно. Эквивалентно: для рациональных функций $f(x),g(x)\in \mathbb {R} (x)$ у нас есть $f(x)<g(x)$ если и только если $f(t)<g(t)$ для всех достаточно больших $t\in \mathbb {R}$. В этом упорядоченном поле полином $p(x)=x$ больше любого постоянного многочлена, а упорядоченное поле не является архимедовым .
• Поле $\mathbb {R} ((x))$ формальных рядов Лорана с действительными коэффициентами, где x считается бесконечно малым и положительным
• Транссерии ​
• настоящие закрытые поля
• сверхреальные числа
• гиперреальные числа

Сюрреалистические числа образуют собственный класс , а не набор , но в остальном подчиняются аксиомам упорядоченного поля. Каждое упорядоченное поле можно встроить в сюрреалистические числа.

Свойства упорядоченных полей

Недвижимость $a>0\land x<y\Rightarrow ax<ay$

Недвижимость $x<y\Rightarrow a+x<a+y$

Для каждого a , b , c , d в F :

• Либо − a ≤ 0 ≤ a, либо a ≤ 0 ≤ − a .
• Можно «добавить неравенства»: если a ≤ b и c ≤ d , то a + c ≤ b + d .
• Можно «перемножать неравенства с положительными элементами»: если a ≤ b и 0 ≤ c , то ac ≤ bc .
• «Умножение на отрицательные числа переворачивает неравенство»: если a ≤ b и c ≤ 0, то ac ≥ bc .
• Если a < b и a , b > 0, то 1/ b < 1/ a .
• Квадраты неотрицательны: 0 ≤ a ² для a в F. всех В частности, поскольку 1=1 ² , то 0 ≠ 1. Поскольку 0 ≠ 1, заключаем, что 0 < 1.
• Упорядоченное поле имеет характеристику 0. (Поскольку 1 > 0, то 1 + 1 > 0, 1 + 1 + 1 > 0 и т. д., и никакая конечная сумма единиц не может равняться нулю.) В частности, конечные поля не могут быть заказал.
• Любая нетривиальная сумма квадратов отлична от нуля. Эквивалентно: $\textstyle \sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}=0\;\Longrightarrow \;\forall k\;\colon a_{k}=0.$

Каждое подполе упорядоченного поля также является упорядоченным полем (наследующим индуцированный порядок). Наименьшее подполе изоморфно рациональным числам (как и любое другое поле характеристики 0), и порядок в этом рациональном подполе такой же, как и порядок самих рациональных чисел.

Если каждый элемент упорядоченного поля лежит между двумя элементами своего рационального подполя, то поле называется архимедовым . В противном случае такое поле является неархимедовым упорядоченным полем и содержит бесконечно малые числа . Например, действительные числа образуют архимедово поле, а гипердействительные числа образуют неархимедово поле, поскольку оно расширяет действительные числа элементами, большими, чем любое стандартное натуральное число .

Упорядоченное поле F изоморфно полю действительных чисел R тогда и только тогда, когда каждое непустое подмножество F с верхней границей в F имеет наименьшую верхнюю границу в F . Это свойство означает, что поле является архимедовым.

Векторные пространства над упорядоченным полем

Векторные пространства (в частности, n -пространства ) над упорядоченным полем обладают некоторыми особыми свойствами и имеют некоторые специфические структуры, а именно: ориентацию , выпуклость и положительно определенное скалярное произведение . См. Реальное координатное пространство # Геометрические свойства и использование для обсуждения этих свойств R. ^н , которое можно обобщить на векторные пространства над другими упорядоченными полями.

Упорядоченность полей

Каждое упорядоченное поле является формально вещественным полем , т. е. 0 нельзя записать в виде суммы ненулевых квадратов.

И наоборот, каждое формально реальное поле можно снабдить совместимым тотальным порядком, который превратит его в упорядоченное поле. (Этот порядок не обязательно должен быть определен однозначно.) В доказательстве используется лемма Цорна .

Конечные поля и, в более общем смысле, поля положительной характеристики не могут быть превращены в упорядоченные поля, как показано выше. Комплексные числа также нельзя превратить в упорядоченное поле, поскольку −1 — это квадрат мнимой единицы i . Кроме того, p -адические числа не могут быть упорядочены, поскольку согласно лемме Гензеля Q ₂ содержит квадратный корень из −7, поэтому 1 ²  + 1 ²  + 1 ²  + 2 ²  +  √ −7 ) ² = 0, и Q _p ( p > 2) содержит квадратный корень из 1 − p , поэтому ( p − 1)⋅1 ² + ( √ 1 - п ) ²  = 0.

Топология, вызванная порядком

Если F снабжено порядковой топологией, возникающей из общего порядка ≤, то аксиомы гарантируют, что операции + и × непрерывны , так что F является топологическим полем .

Топология

Топология Харрисона — это топология на множестве порядков X _F вещественного поля F. формально Каждый порядок можно рассматривать как гомоморфизм мультипликативной группы из F ^∗ на ±1. Присвоение ±1 дискретной топологии и ±1 ^Ф индуцирует топология произведения топологию подпространства на X _F . Наборы Харрисона $H(a)=\{P\in X_{F}:a\in P\}$составляют основу топологии Харрисона. Произведение представляет собой булево пространство ( компактное , хаусдорфово и полностью несвязное ), а X _F — замкнутое подмножество, следовательно, снова логическое.

Вееры и суперупорядоченные поля

Веер , на F — это предупорядочение T обладающее тем свойством, что если S — подгруппа индекса 2 в F ^∗ содержащий T − {0} и не содержащий −1, то S является упорядочением (т. е. S замкнуто относительно сложения). Суперупорядоченное поле — это вполне реальное поле, в котором множество сумм квадратов образует веер.

См. также

• Линейно упорядоченная группа – группа с трансляционно-инвариантным полным порядком; т.е. если a ≤ b, то ca ≤ cb
• Упорядоченная группа — группа с совместимым частичным порядком. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления.
• Заказное кольцо — кольцо с совместимым общим порядком. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Упорядоченное топологическое векторное пространство
• Упорядоченное векторное пространство - векторное пространство с частичным порядком.
• Частично упорядоченное кольцо - Кольцо с совместимым частичным порядком.
• Частично упорядоченное пространство - Частично упорядоченное топологическое пространство.
• Поле предзаказа — алгебраическая концепция в теории меры, также называемая алгеброй множеств. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления.
• Пространство Рисса - Частично упорядоченное векторное пространство, упорядоченное в виде решетки.

Ссылки

• Лам, Тай (1983), Порядки, оценки и квадратичные формы , Серия региональных конференций CBMS по математике, том. 52, Американское математическое общество , ISBN.  0-8218-0702-1 , Збл   0516.12001
• Лам, Цит-Юэн (2005). Введение в квадратичные формы над полями . Аспирантура по математике . Том. 67. Американское математическое общество. ISBN  0-8218-1095-2 . Збл   1068.11023 .
• Ланг, Серж (1993), Алгебра (Третье изд.), Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли, ISBN  978-0-201-55540-0 , Збл   0848.13001