Двойственность (теория порядка)

В математической области теории порядка каждое частично упорядоченное множество P порождает двойственное (или противоположное ) частично упорядоченное множество, которое часто обозначается P. ^на или П ^д. Этот двойной порядок P ^на определяется как тот же набор, но с обратным порядком , т.е. x ≤ y выполняется в P ^на тогда и только тогда, когда y ≤ x выполняется в P . Легко видеть, что эта конструкция, которую можно изобразить, перевернув диаграмму Хассе для P вверх ногами, действительно дает частично упорядоченное множество. В более широком смысле два частично упорядоченных множества также называются двойственными, если они дуально изоморфны , т. е. если одно частично упорядоченное множество по порядку изоморфно двойственному другому.

Важность этого простого определения проистекает из того факта, что любое определение и теорема теории порядка можно легко перенести на двойственный порядок. Формально это фиксируется принципом двойственности для упорядоченных множеств:

Если данное утверждение справедливо для всех частично упорядоченных множеств, то его двойственное утверждение, полученное путем инвертирования направления всех отношений порядка и дуализации всех задействованных теоретико-порядковых определений, также справедливо для всех частично упорядоченных множеств.

Если утверждение или определение эквивалентно своему двойственному, то оно называется самодвойственным . Обратите внимание, что рассмотрение двойственных порядков настолько фундаментально, что оно часто происходит неявно при написании ≥ для двойственного порядка ≤ без какого-либо предварительного определения этого «нового» символа.

Примеры [ править ]

Естественно, существует множество примеров двойственных понятий:

Величайшие элементы и наименьшие элементы
Максимальные элементы и минимальные элементы
Наименьшие верхние границы (супрема, ∨) и максимальные нижние границы (нижние границы, ∧)
Верхние наборы и нижние наборы
Идеалы и фильтры
Операторы замыкания и операторы ядра .

Примеры понятий, которые являются самодвойственными, включают:

Будучи ( полной ) решеткой
Монотонность функций
Дистрибутивность решеток , т.е. решетки, для которых выполняется ∀ x , y , z : x ∧ ( y ∨ z ) = ( x ∧ y ) ∨ ( x ∧ z ), являются в точности теми, для которых справедливо двойственное утверждение ∀ x , y , z : Икс ∨ ( y ∧ z ) знак равно ( Икс ∨ y ) ∧ ( Икс ∨ z ) имеет место ^[1]
Будучи булевой алгеброй
Будучи порядковым изоморфизмом .

Поскольку частичные порядки антисимметричны , самодвойственными являются только отношения эквивалентности (но понятие частичного порядка самодвойственно ).

См. также [ править ]

Обратное соотношение
Список тем по булевой алгебре
Транспонировать график
Двойственность в теории категорий , частным случаем которой является двойственность в теории порядка.

Ссылки [ править ]

^ Кванторы важны: для отдельных элементов x , y , z , например, первое уравнение может быть нарушено, но второе может соблюдаться; решетки N _{5 .} см . пример

Дэйви, бакалавр; Пристли, HA (2002), Введение в решетки и порядок (2-е изд.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-78451-1

[1] Кванторы важны: для отдельных элементов x , y , z , например, первое уравнение может быть нарушено, но второе может соблюдаться; решетки N _{5 .} см . пример

[1]

v т Это Теория порядка
Topics Glossary Category
Key concepts	Binary relation Boolean algebra Cyclic order Lattice Partial order Preorder Total order Weak ordering
Results	Boolean prime ideal theorem Cantor–Bernstein theorem Cantor's isomorphism theorem Dilworth's theorem Dushnik–Miller theorem Hausdorff maximal principle Knaster–Tarski theorem Kruskal's tree theorem Laver's theorem Mirsky's theorem Szpilrajn extension theorem Zorn's lemma
Properties & Types (list)	Antisymmetric Asymmetric Boolean algebra topics Completeness Connected Covering Dense Directed (Partial) Equivalence Foundational Heyting algebra Homogeneous Idempotent Lattice Bounded Complemented Complete Distributive Join and meet Reflexive Partial order Chain-complete Graded Eulerian Strict Prefix order Preorder Total Semilattice Semiorder Symmetric Total Tolerance Transitive Well-founded Well-quasi-ordering (Better) (Pre) Well-order
Constructions	Composition Converse/Transpose Lexicographic order Linear extension Product order Reflexive closure Series-parallel partial order Star product Symmetric closure Transitive closure
Topology & Orders	Alexandrov topology & Specialization preorder Ordered topological vector space Normal cone Order topology Order topology Topological vector lattice Banach Fréchet Locally convex Normed
Related	Antichain Cofinal Cofinality Comparability Graph Duality Filter Hasse diagram Ideal Net Subnet Order morphism Embedding Isomorphism Order type Ordered field Positive cone of an ordered field Ordered vector space Partially ordered Positive cone of an ordered vector space Riesz space Partially ordered group Positive cone of a partially ordered group Upper set Young's lattice