Антисимметричное отношение

Не путать с асимметричным отношением .

показывать Транзитивные   бинарные отношения
Symmetric Antisymmetric Connected Well-founded Has joins Has meets Reflexive Irreflexive Asymmetric Total, Semiconnex Anti- reflexive Equivalence relation Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Preorder (Quasiorder) ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Partial order ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Total preorder ✗ ✗ Y ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Total order ✗ Y Y ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Prewellordering ✗ ✗ Y Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ Well-quasi-ordering ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ Well-ordering ✗ Y Y Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ Lattice ✗ Y ✗ ✗ Y Y Y ✗ ✗ Join-semilattice ✗ Y ✗ ✗ Y ✗ Y ✗ ✗ Meet-semilattice ✗ Y ✗ ✗ ✗ Y Y ✗ ✗ Strict partial order ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y Strict weak order ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y Strict total order ✗ Y Y ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y Symmetric Antisymmetric Connected Well-founded Has joins Has meets Reflexive Irreflexive Asymmetric Definitions, for all $a,b$ and $S\neq \varnothing :$ ${\begin{aligned}&aRb\\\Rightarrow {}&bRa\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}aRb{\text{ and }}&bRa\\\Rightarrow a={}&b\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}a\neq {}&b\Rightarrow \\aRb{\text{ or }}&bRa\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}\min S\\{\text{exists}}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}a\vee b\\{\text{exists}}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}a\wedge b\\{\text{exists}}\end{aligned}}$ $aRa$ ${\text{not }}aRa$ ${\begin{aligned}aRb\Rightarrow \\{\text{not }}bRa\end{aligned}}$
Y indicates that the column's property is always true the row's term (at the very left), while ✗ indicates that the property is not guaranteed in general (it might, or might not, hold). For example, that every equivalence relation is symmetric, but not necessarily antisymmetric, is indicated by Y in the "Symmetric" column and ✗ in the "Antisymmetric" column, respectively. All definitions tacitly require the homogeneous relation $R$ be transitive: for all $a,b,c,$ if $aRb$ and $bRc$ then $aRc.$ A term's definition may require additional properties that are not listed in this table.

В математике бинарное отношение $R$ на съемочной площадке $X$ антисимметричен , если не существует пары различных элементов $X$ каждый из которых связан $R$другому. Более формально, $R$ антисимметричен именно тогда, когда для всех $a,b\in X,$

$${\text{if }}\,aRb\,{\text{ with }}\,a\neq b\,{\text{ then }}\,bRa\,{\text{ must not hold}},$$

или эквивалентно,

$${\text{if }}\,aRb\,{\text{ and }}\,bRa\,{\text{ then }}\,a=b.$$

Определение антисимметрии ничего не говорит о том, является ли $aRa$ на самом деле выполняется или нет для любого $a$. Антисимметричное отношение $R$ на съемочной площадке $X$ может быть рефлексивным (т. $aRa$ для всех $a\in X$), иррефлексивный (т. $aRa$ нет $a\in X$), или ни рефлексивным, ни иррефлексивным. Отношение асимметрично тогда и только тогда, когда оно одновременно антисимметрично и иррефлексивно.

Примеры

Отношение делимости натуральных чисел является важным примером антисимметричного отношения. В этом контексте антисимметрия означает, что каждое из двух чисел может делиться на другое только в том случае, если эти два числа на самом деле являются одним и тем же числом; эквивалентно, если $n$ и $m$ различны и $n$ является фактором $m,$ затем $m$ не может быть фактором $n.$ Например, 12 делится на 4, но 4 не делится на 12.

Обычное отношение порядка $\,\leq \,$ на действительные числа антисимметрична: если для двух действительных чисел $x$ и $y$ оба неравенства $x\leq y$ и $y\leq x$ держи, тогда $x$ и $y$должно быть равным. Аналогично, порядок подмножества $\,\subseteq \,$ на подмножествах любого заданного набора антисимметричен: учитывая два набора $A$ и $B,$ если каждый элемент в $A$ также находится в $B$ и каждый элемент в $B$ также находится в $A,$ затем $A$ и $B$ должен содержать все одинаковые элементы и, следовательно, быть равным:

$$A\subseteq B{\text{ and }}B\subseteq A{\text{ implies }}A=B$$

Реальный пример отношения, которое обычно является антисимметричным, - это «оплаченный счет в ресторане» (понимаемый как ограниченный конкретным случаем). Обычно некоторые люди оплачивают свои счета самостоятельно, а другие платят за своих супругов или друзей. Пока никакие два человека не оплачивают счета друг друга, отношения антисимметричны.

Свойства

Симметричные и антисимметричные отношения

Частичные и полные заказы антисимметричны по определению. Отношение может быть как симметричным , так и антисимметричным (в этом случае оно должно быть корефлексивным ), а также существуют отношения, которые не являются ни симметричными, ни антисимметричными (например, отношение «добыча» на биологические виды ).

Антисимметрия отличается от асимметрии : отношение асимметрично тогда и только тогда, когда оно антисимметрично и иррефлексивно .

См. также

• Рефлексивное отношение - бинарное отношение, которое связывает каждый элемент сам с собой.
• Симметрия в математике

Ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Антисимметричные отношения» . Математический мир .
• Липшуц, Сеймур ; Марк Ларс Липсон (1997). Теория и проблемы дискретной математики . МакГроу-Хилл. п. 33 . ISBN  0-07-038045-7 .
• Антисимметричное отношение nLab