Симметричное отношение

показывать Транзитивные   бинарные отношения
Symmetric Antisymmetric Connected Well-founded Has joins Has meets Reflexive Irreflexive Asymmetric Total, Semiconnex Anti- reflexive Equivalence relation Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Preorder (Quasiorder) ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Partial order ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Total preorder ✗ ✗ Y ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Total order ✗ Y Y ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Prewellordering ✗ ✗ Y Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ Well-quasi-ordering ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ Well-ordering ✗ Y Y Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ Lattice ✗ Y ✗ ✗ Y Y Y ✗ ✗ Join-semilattice ✗ Y ✗ ✗ Y ✗ Y ✗ ✗ Meet-semilattice ✗ Y ✗ ✗ ✗ Y Y ✗ ✗ Strict partial order ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y Strict weak order ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y Strict total order ✗ Y Y ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y Symmetric Antisymmetric Connected Well-founded Has joins Has meets Reflexive Irreflexive Asymmetric Definitions, for all $a,b$ and $S\neq \varnothing :$ ${\begin{aligned}&aRb\\\Rightarrow {}&bRa\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}aRb{\text{ and }}&bRa\\\Rightarrow a={}&b\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}a\neq {}&b\Rightarrow \\aRb{\text{ or }}&bRa\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}\min S\\{\text{exists}}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}a\vee b\\{\text{exists}}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}a\wedge b\\{\text{exists}}\end{aligned}}$ $aRa$ ${\text{not }}aRa$ ${\begin{aligned}aRb\Rightarrow \\{\text{not }}bRa\end{aligned}}$
Y indicates that the column's property is always true the row's term (at the very left), while ✗ indicates that the property is not guaranteed in general (it might, or might not, hold). For example, that every equivalence relation is symmetric, but not necessarily antisymmetric, is indicated by Y in the "Symmetric" column and ✗ in the "Antisymmetric" column, respectively. All definitions tacitly require the homogeneous relation $R$ be transitive: for all $a,b,c,$ if $aRb$ and $bRc$ then $aRc.$ A term's definition may require additional properties that are not listed in this table.

Симметричное отношение — это тип бинарного отношения . Примером может служить отношение «равно», поскольку если a = b истинно, то b = a также истинно. Формально бинарное отношение R над множеством X является симметричным, если:

$\forall a,b\in X(aRb\Leftrightarrow bRa),$

где обозначение aRb означает, что a , b ) ∈ R. (

Если Р ^Т представляет собой обратную R когда , то R симметричен тогда и только тогда, R = R ^Т .

Симметрия, наряду с рефлексивностью и транзитивностью , являются тремя определяющими свойствами отношения эквивалентности .

Примеры

По математике

• «равно» ( равенство ) (тогда как «меньше» не симметрично)
• « сопоставимо » для элементов частично упорядоченного множества
• "... и... странные":

Вне математики

• «женат на» (в большинстве правовых систем)
• «является полностью биологическим братом»
• "является омофоном "
• "сотрудник"
• "является товарищем по команде"

Отношение к асимметричным

Симметричные и антисимметричные отношения

По определению, непустое отношение не может быть одновременно симметричным и асимметричным (где, если a связано с b , то b не может быть связано с a (одним и тем же образом)). Однако отношение не может быть ни симметричным, ни асимметричным, как в случае с «меньше или равно» и «охотится»).

Симметричные и антисимметричные только (где a может быть связан с b, а b связан с a если a = b ) на самом деле независимы друг от друга, как показывают эти примеры.

Математические примеры

	Симметричный	Не симметрично
антисимметричный	равенство	делит , меньше или равно
Не антисимметричен	сравнение в модульной арифметике	// (целочисленное деление), большинство нетривиальных перестановок

Нематематические примеры

	Симметричный	Не симметрично
антисимметричный	тот же человек, что и женат	это множественное число слова
Не антисимметричен	является полным биологическим братом	охотится на

Свойства

• Симметричное и транзитивное отношение всегда квазирефлексивно .
• Один из способов подсчета симметричных отношений на n элементах состоит в том, что в их бинарном матричном представлении верхний правый треугольник полностью определяет отношение, и оно может быть произвольным, таким образом, существует столько симметричных отношений, сколько n × n бинарных матриц верхнего треугольника, 2 ^{п ( п +1)/2} .

Количество n -элементных бинарных отношений разных типов

Elem­ents	Любой	Переходный	Рефлексивный	Симметричный	Предварительный заказ	Частичный заказ	Общий предзаказ	Общий заказ	Отношение эквивалентности
0	1	1	1	1	1	1	1	1	1
1	2	2	1	2	1	1	1	1	1
2	16	13	4	8	4	3	3	2	2
3	512	171	64	64	29	19	13	6	5
4	65,536	3,994	4,096	1,024	355	219	75	24	15
н	2 н 2		2 п ( п -1)	2 п ( п +1)/2			∑ н к = 0 к ! С ( п , к )	н !	∑ н k =0 S ( n , k )
ОЭИС	А002416	А006905	А053763	А006125	А000798	А001035	А000670	А000142	А000110

Обратите внимание, что S ( n , k ) относится к числам Стирлинга второго рода .

См. также

• Коммутативное свойство - свойство некоторых математических операций.
• Симметрия в математике
• Симметрия - математическая инвариантность относительно преобразований.