Симметрия
| Геометрия |
|---|
 |
|
| Геометры |
Симметрия (от древнегреческого συμμετρία ( summetria ) «согласование в размерах, пропорция, расположение») [1] в повседневной жизни означает чувство гармоничной и красивой пропорции и баланса. [2] [3] [а] В математике этот термин имеет более точное определение и обычно используется для обозначения объекта, который остается инвариантным относительно некоторых преобразований , таких как перемещение , отражение , вращение или масштабирование . Хотя эти два значения слова иногда можно разделить, они неразрывно связаны и, следовательно, обсуждаются вместе в этой статье.
Математическая симметрия может наблюдаться относительно течения времени ; как пространственные отношения ; посредством геометрических преобразований ; посредством других видов функциональных преобразований; и как аспект абстрактных объектов , включая теоретические модели , язык и музыку . [4] [б]
В данной статье симметрия описывается с трёх точек зрения: в математике , включая геометрию , наиболее знакомом многим людям типе симметрии; в науке и природе ; и в искусстве, включая архитектуру , искусство и музыку.
Противоположностью симметрии является асимметрия , которая означает отсутствие симметрии.
По математике [ править ]
В геометрии [ править ]
Геометрическая фигура или объект считается симметричным, если его можно разделить на две или более одинаковые части, расположенные организованно. [5] Это означает, что объект является симметричным, если существует преобразование, которое перемещает отдельные части объекта, но не меняет общую форму. Тип симметрии определяется способом организации фигур или типом трансформации:
- Объект обладает отражательной симметрией (линейной или зеркальной симметрией), если через него проходит линия (или в трехмерном измерении плоскость), которая делит его на две части, которые являются зеркальными отражениями друг друга. [6]
- Объект обладает вращательной симметрией , если его можно вращать вокруг фиксированной точки (или в 3D вокруг линии) без изменения общей формы. [7]
- Объект обладает трансляционной симметрией , если его можно перемещать (перемещая каждую точку объекта на одинаковое расстояние) без изменения его общей формы. [8]
- Объект обладает винтовой симметрией , если его можно одновременно перемещать и вращать в трехмерном пространстве вдоль линии, известной как винтовая ось . [9]
- Объект обладает масштабной симметрией , если он не меняет форму при расширении или сжатии. [10] Фракталы также демонстрируют форму масштабной симметрии, когда меньшие части фрактала по форме аналогичны более крупным частям. [11]
- Другие симметрии включают симметрию отражения скольжения (отражение с последующим перемещением) и симметрию роторного отражения (комбинация вращения и отражения). [12] ).
В логике [ править ]
Диадическое отношение R = S × S является симметричным, если для всех элементов a , b в S всякий раз, когда верно, что Rab , также верно, что Rba . [13] Таким образом, отношение «ровесник» симметрично, поскольку если Павел ровесник Марии, то и Мария того же возраста, что и Павел.
В логике высказываний симметричные бинарные логические связки включают и (∧, или &), или (∨, или |) и тогда и только тогда, когда (↔), тогда как связка if (→) не симметрична. [14] Другие симметричные логические связки включают nand (не-и или ⊼), xor (не-биусловный или ⊻) и nor (не-или или ⊽).
Другие области математики [ править ]
Обобщая геометрическую симметрию из предыдущего раздела, можно сказать, что объект симметричен математический относительно данной математической операции , если при применении к объекту эта операция сохраняет какое-то свойство объекта. [15] Совокупность операций, сохраняющих данное свойство объекта, образует группу .
В общем, каждая структура в математике имеет свой собственный вид симметрии. Примеры включают четные и нечетные функции в исчислении , симметрические группы в абстрактной алгебре , симметричные матрицы в линейной алгебре и группы Галуа в теории Галуа . В статистике симметрия проявляется также как симметричность распределений вероятностей и как асимметрия — асимметрия распределений. [16]
В науке и природе [ править ]
По физике [ править ]
Симметрия в физике была обобщена как означающая инвариантность — то есть отсутствие изменений — при любом виде преобразования, например, при произвольных преобразованиях координат . [17] Эта концепция стала одним из самых мощных инструментов теоретической физики , поскольку стало очевидно, что практически все законы природы возникают в симметрии. Фактически, эта роль вдохновила нобелевского лауреата П. У. Андерсона написать в своей широко читаемой статье 1972 года «Больше — другое» , что «лишь немного преувеличено, если сказать, что физика — это исследование симметрии». [18] См. теорему Нётер (которая в значительно упрощенной форме утверждает, что для каждой непрерывной математической симметрии существует соответствующая сохраняющаяся величина, такая как энергия или импульс; сохраняющийся ток на оригинальном языке Нётер); [19] а также классификация Вигнера , которая гласит, что симметрии законов физики определяют свойства частиц, встречающихся в природе. [20]
Важные симметрии в физике включают непрерывные симметрии и дискретные симметрии пространства -времени ; внутренние симметрии частиц; и суперсимметрия физических теорий.
В биологии [ править ]
В биологии понятие симметрии чаще всего используется явно для описания формы тела. Двусторонние животные , включая человека, более или менее симметричны относительно сагиттальной плоскости , разделяющей тело на левую и правую половины. [21] Животные, движущиеся в одном направлении, обязательно имеют верхнюю и нижнюю стороны, головной и хвостовой концы, а значит, левую и правую стороны. Голова становится специализированной с ртом и органами чувств, а тело становится двусторонне-симметричным для целей движения, с симметричными парами мышц и элементами скелета, хотя внутренние органы часто остаются асимметричными. [22]
Растения и сидячие (прикрепленные) животные, такие как морские анемоны, часто обладают радиальной или вращательной симметрией , которая им подходит, поскольку пища или угроза могут прийти с любого направления. Пятикратная симметрия обнаружена у иглокожих — группы, в которую входят морские звезды , морские ежи и морские лилии . [23]
В биологии понятие симметрии используется также, как и в физике, то есть для описания свойств изучаемых объектов, включая их взаимодействия. Замечательным свойством биологической эволюции являются изменения симметрии, соответствующие появлению новых частей и динамики. [24] [25]
По химии [ править ]
Симметрия важна для химии, поскольку она лежит в основе практически всех специфических взаимодействий между молекулами в природе (т. е. посредством взаимодействия природных и искусственных хиральных молекул с по своей сути хиральными биологическими системами). Контроль симметрии молекул , образующихся в современном химическом синтезе, способствует способности ученых предлагать терапевтические вмешательства с минимальными побочными эффектами . Строгое понимание симметрии объясняет фундаментальные наблюдения в квантовой химии , а также в прикладных областях спектроскопии и кристаллографии . Теория и применение симметрии в этих областях физической науки во многом опираются на математическую область теории групп . [26]
В психологии и нейробиологии [ править ]
Для человека-наблюдателя некоторые типы симметрии более заметны, чем другие, в частности, наиболее заметным является отражение с вертикальной осью, подобное тому, которое присутствует на человеческом лице. Это наблюдение сделал Эрнст Мах в своей книге «Анализ ощущений» (1897). [27] а это означает, что восприятие симметрии не является общей реакцией на все типы закономерностей. Как поведенческие, так и нейрофизиологические исследования подтвердили особую чувствительность к симметрии отражений у людей, а также у других животных. [28] Ранние исследования в рамках гештальт- традиции предположили, что двусторонняя симметрия была одним из ключевых факторов перцептивной группировки . Это известно как Закон Симметрии . Роль симметрии в группировке и организации фигуры/фона подтверждена во многих исследованиях. Например, обнаружение отражательной симметрии происходит быстрее, если это свойство одного объекта. [29] Исследования человеческого восприятия и психофизики показали, что обнаружение симметрии происходит быстро, эффективно и устойчиво к возмущениям. Например, симметрию можно обнаружить при продолжительности презентации от 100 до 150 миллисекунд. [30]
Более поздние исследования нейровизуализации документально подтвердили, какие области мозга активны во время восприятия симметрии. Сасаки и др. [31] использовали функциональную магнитно-резонансную томографию (фМРТ) для сравнения ответов на узоры с симметричными или случайными точками. Сильная активность присутствовала в экстрастриарных областях затылочной коры, но не в первичной зрительной коре. Экстрастриарные области включали V3A, V4, V7 и латеральный затылочный комплекс (LOC). Электрофизиологические исследования обнаружили позднюю заднюю негативность, исходящую из тех же областей. [32] В целом, большая часть зрительной системы, по-видимому, участвует в обработке визуальной симметрии, и эти области задействуют сети, аналогичные тем, которые отвечают за обнаружение и распознавание объектов. [33]
В социальных взаимодействиях [ править ]
Люди наблюдают симметричную природу, часто включая асимметричный баланс, социальных взаимодействий в различных контекстах. К ним относятся оценки взаимности , сопереживания , сочувствия , извинения , диалога , уважения, справедливости и мести . Рефлексивное равновесие — это баланс, которого можно достичь путем сознательного взаимного согласования общих принципов и конкретных суждений . [34] Симметричные взаимодействия посылают моральное послание «мы все одинаковые», тогда как асимметричные взаимодействия могут посылать послание «Я особенный, лучше тебя». Отношения между сверстниками, например, регулируемые золотым правилом , основаны на симметрии, тогда как властные отношения основаны на асимметрии. [35] Симметричные отношения могут в некоторой степени поддерживаться с помощью простых ( теоретико-игровых ) стратегий, наблюдаемых в симметричных играх, таких как «око за око» . [36]
В искусстве [ править ]
Существует список журналов и информационных бюллетеней, которые, как известно, посвящены, по крайней мере частично, симметрии и искусству. [37]
В архитектуре [ править ]
Симметрия находит свое применение в архитектуре любого масштаба, от общего внешнего вида зданий, таких как готические соборы и Белый дом , через планировку отдельных этажей и до дизайна отдельных элементов здания, таких как мозаика из плитки . Исламские здания, такие как Тадж-Махал и мечеть Лотфолла, тщательно используют симметрию как в своей структуре, так и в орнаменте. [38] [39] Мавританские здания, такие как Альгамбра, украшены сложными узорами, созданными с использованием поступательной и отражательной симметрии, а также вращения. [40]
Было сказано, что только плохие архитекторы полагаются на «симметричное расположение блоков, масс и конструкций»; [41] Модернистская архитектура , начиная с интернационального стиля , вместо этого опирается на «крылья и баланс масс». [41]
В глиняных и металлических сосудах [ править ]
С момента самого раннего использования гончарных кругов для формирования глиняных сосудов керамика имела тесную связь с симметрией. Керамика, созданная с помощью круга, приобретает полную вращательную симметрию в поперечном сечении, обеспечивая при этом значительную свободу формы в вертикальном направлении. Исходя из этой изначально симметричной отправной точки, гончары с древних времен добавляли узоры, которые изменяли вращательную симметрию для достижения визуальных целей.
Литым металлическим сосудам не хватало присущей керамике, изготовленной на круге, вращательной симметрии, но в остальном они давали аналогичную возможность украшать свои поверхности узорами, нравившимися тем, кто их использовал. Древние китайцы , например, использовали симметричные узоры в своих бронзовых отливках еще в 17 веке до нашей эры. Бронзовые сосуды имели как двусторонний основной мотив, так и повторяющийся переведенный рисунок границы. [42]
В коврах и ковриках [ править ]
Давняя традиция использования симметрии в узорах ковров и ковриков охватывает множество культур. Американские индейцы навахо использовали жирные диагонали и прямоугольные мотивы. Многие восточные ковры имеют замысловатые отражающиеся центры и края, которые передают узор. Неудивительно, что прямоугольные ковры обычно имеют симметрию прямоугольника , то есть мотивы , которые отражаются как по горизонтальной, так и по вертикальной осям (см. Четыре группы Кляйна § Геометрия ). [43] [44]
В одеялах [ править ]
Поскольку лоскутные одеяла состоят из квадратных блоков (обычно 9, 16 или 25 штук в блоке), причем каждый меньший кусок обычно состоит из тканевых треугольников, это ремесло легко поддается применению симметрии. [45]
В других декоративно-прикладных искусствах [ править ]
Симметрии появляются в дизайне объектов всех видов. Примеры включают вышивку бисером , мебель , картины из песка , плетение узлов , маски и музыкальные инструменты . Симметрии занимают центральное место в искусстве Эшера и во многих применениях мозаики в искусстве и ремеслах, таких как обои , керамическая плитка, например, в исламском геометрическом декоре , батик , икат , ковроделие, а также во многих видах текстиля и вышивки . [46]
Симметрия также используется при разработке логотипов. [47] Создавая логотип на сетке и используя теорию симметрии, дизайнеры могут организовать свою работу, создать симметричный или асимметричный дизайн, определить пространство между буквами, определить, сколько негативного пространства требуется в дизайне и как подчеркнуть части логотип, чтобы выделить его.
В музыке [ править ]
Симметрия не ограничивается изобразительным искусством. Его роль в истории музыки затрагивает многие аспекты создания и восприятия музыки.
Музыкальная форма [ править ]
Симметрия использовалась в качестве формального ограничения многими композиторами, например, форма арки (ABCBA), используемая Стивом Райхом , Белой Бартоком и Джеймсом Тенни . В классической музыке Бах использовал понятия симметрии перестановки и инвариантности. [48]
Структуры подачи [ править ]
Симметрия также является важным фактором при формировании гамм и аккордов , традиционная или тональная музыка состоит из несимметричных групп высот , таких как диатоническая гамма или мажорный аккорд . Говорят, что симметричные гаммы или аккорды, такие как вся шкала тонов , увеличенный аккорд или уменьшенный септаккорд (уменьшенная-уменьшенная септаккорд), лишены направления или ощущения движения вперед, неоднозначны в отношении тональности или тонального центра и имеют менее специфическая диатоническая функциональность . Однако такие композиторы, как Альбан Берг , Бела Барток и Джордж Перл , использовали оси симметрии и/или интервальные циклы аналогично клавишам или нетональным тональным центрам . [49] Джордж Перл объясняет, что «C–E, D–F♯, [и] Eb–G являются разными экземплярами одного и того же интервала … другой вид идентичности… имеет отношение к осям симметрии. C–E принадлежит семейство симметрично связанных диад следующим образом: [49]
| Д | D♯ | И | Ф | F♯ | Г | G♯ | ||||||
| Д | C♯ | С | Б | A♯ | А | G♯ |
Таким образом, C – E не только является частью семейства интервала-4, но и является частью семейства суммы-4 (с C, равным 0). [49]
| + | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | ||||||
| 2 | 1 | 0 | 11 | 10 | 9 | 8 | |||||||
| 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 |
Интервальные циклы симметричны и, следовательно, недиатоничны. Однако семитональный сегмент C5 (цикл квинт, который энгармоничен с циклом кварт) будет давать диатоническую мажорную гамму. Циклические тональные прогрессии в произведениях композиторов -романтиков, таких как Густав Малер и Рихард Вагнер, образуют связь с циклическими последовательностями тонов в атональной музыке модернистов, таких как Барток, Александр Скрябин , Эдгар Варез и венская школа. В то же время эти прогрессии сигнализируют об окончании тональности. [49] [50]
Альбана Берга Первой расширенной композицией, последовательно основанной на симметричных соотношениях высоты звука, был, вероятно, Квартет , соч. 3 (1910). [50]
Эквивалентность [ править ]
Ряды тонов или классов высоты тона наборы , которые инвариантны при ретроградном движении , горизонтально симметричны, при инверсии - вертикально. См. также Асимметричный ритм .
В эстетике [ править ]
Отношения симметрии с эстетикой сложны. Люди находят двустороннюю симметрию лиц физически привлекательной; [51] это указывает на здоровье и генетическую приспособленность. [52] [53] Противоположностью этому является тенденция к чрезмерной симметрии, которая воспринимается как скучная или неинтересная. Рудольф Арнгейм предположил, что люди предпочитают формы, обладающие некоторой симметрией и достаточной сложностью, чтобы сделать их интересными. [54]
В литературе [ править ]
Симметрию можно найти в различных формах в литературе , простым примером является палиндром , где краткий текст читается одинаково вперед или назад. Истории могут иметь симметричную структуру, например, взлет и падение Беовульфа . [55]
См. также [ править ]
- Автоморфизм
- Лемма Бернсайда
- Хиральность
- Четные и нечетные функции
- Неподвижные точки групп изометрий в евклидовом пространстве – центр симметрии
- Изотропия
- Палиндром
- Симметрии пространства-времени
- Спонтанное нарушение симметрии
- Ограничения, нарушающие симметрию
- Симметричное отношение
- Симметрии полиалмазов
- Симметрии полимино
- Группа симметрии
- Группа обоев
Пояснительные примечания [ править ]
- ^ Например, Аристотель приписывал небесным телам сферическую форму, приписывая эту формально определенную геометрическую меру симметрии естественному порядку и совершенству космоса.
- ^ Симметричные объекты могут быть материальными, такими как человек, кристалл , лоскутное одеяло , напольная плитка или молекула , или это могут быть абстрактные структуры, такие как математическое уравнение или серия тонов (музыка).
Ссылки [ править ]
- ^ Харпер, Дуглас. «симметрия» . Интернет-словарь этимологии .
- ^ Зи, А. (2007). Страшная симметрия . Принстон, Нью-Джерси : Издательство Принстонского университета . ISBN 978-0-691-13482-6 .
- ^ Хилл, Коннектикут ; Ледерман, LM (2005). Симметрия и прекрасная Вселенная . Книги Прометея .
- ^ Майнцер, Клаус (2005). Симметрия и сложность: дух и красота нелинейной науки . Всемирная научная . ISBN 981-256-192-7 .
- ^ Э. Х. Локвуд, Р. Х. Макмиллан, Геометрическая симметрия , Лондон: Cambridge Press,1978 год
- ^ Вейль, Герман (1982) [1952]. Симметрия . Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-02374-3 .
- ^ Певец, Дэвид А. (1998). Геометрия: плоскость и фантазия . Springer Science & Business Media.
- ^ Стенгер, Виктор Дж. (2000) и Махоу Широ (2007). Вечная реальность . Книги Прометея. Особенно глава 12. Нетехническая.
- ↑ Боттема О. и Б. Рот, Теоретическая кинематика, Dover Publications (сентябрь 1990 г.)
- ^ Тянь Юй Цао Концептуальные основы квантовой теории поля Издательство Кембриджского университета стр. 154-155
- ^ Гуйе, Жан-Франсуа (1996). Физика и фрактальные структуры . Париж/Нью-Йорк: Массон Спрингер. ISBN 978-0-387-94153-0 .
- ^ «Ось роторного отражения» . TheFreeDictionary.com . Проверено 12 ноября 2019 г.
- ^ Иосия Ройс, Игнас К. Скрускелис (2005) Основные сочинения Иосии Ройса: логика, лояльность и сообщество (электронная книга Google) Fordham Univ Press, стр. 790
- ^ Гао, Алиса (2019). «Пропозициональная логика: введение и синтаксис» (PDF) . Университет Ватерлоо — Школа компьютерных наук . Проверено 12 ноября 2019 г.
- ^ Кристофер Г. Моррис (1992) Академический словарь науки и технологий Gulf Professional Publishing
- ^ Петижан, М. (2003). «Меры киральности и симметрии: трансдисциплинарный обзор» . Энтропия . 5 (3): 271–312 (см. раздел 2.9). Бибкод : 2003Entrp...5..271P . дои : 10.3390/e5030271 .
- ^ Коста, Джованни; Фольи, Джанлуиджи (2012). Симметрии и теория групп в физике элементарных частиц: введение в пространство-время и внутренние симметрии . Springer Science & Business Media. п. 112.
- ^ Андерсон, PW (1972). «Больше значит другое» (PDF) . Наука . 177 (4047): 393–396. Бибкод : 1972Sci...177..393A . дои : 10.1126/science.177.4047.393 . ПМИД 17796623 . S2CID 34548824 .
- ^ Косманн-Шварцбах, Иветт (2010). Теоремы Нётер: законы инвариантности и сохранения в двадцатом веке . Источники и исследования по истории математики и физических наук. Спрингер-Верлаг . ISBN 978-0-387-87867-6 .
- ^ Вигнер, EP (1939), «Об унитарных представлениях неоднородной группы Лоренца», Annals of Mathematics , 40 (1): 149–204, Бибкод : 1939AnMat..40..149W , doi : 10.2307/1968551 , JSTOR 1968551 , МР 1503456 , S2CID 121773411
- ^ Валентайн, Джеймс В. «Билатерия» . ДоступНаука. Архивировано из оригинала 18 января 2008 года . Проверено 29 мая 2013 г.
- ^ Хикман, Кливленд П.; Робертс, Ларри С.; Ларсон, Аллан (2002). «Разнообразие животных (третье издание)» (PDF) . Глава 8: Ацеломатные двусторонние животные . МакГроу-Хилл. п. 139. Архивировано из оригинала (PDF) 17 мая 2016 года . Проверено 25 октября 2012 г.
- ^ Стюарт, Ян (2001). Какой формы снежинка? Магические числа в природе . Вайденфельд и Николсон. стр. 64–65.
- ^ Лонго, Джузеппе; Монтевиль, Маэль (2016). Перспективы организмов: биологическое время, симметрии и особенности . Спрингер. ISBN 978-3-662-51229-6 .
- ^ Монтевиль, Маэль; Моссио, Маттео; Пошевиль, Арно; Лонго, Джузеппе (2016). «Теоретические основы биологии: вариации» . Прогресс биофизики и молекулярной биологии . От века генома к веку организма: новые теоретические подходы. 122 (1): 36–50. doi : 10.1016/j.pbiomolbio.2016.08.005 . ПМИД 27530930 . S2CID 3671068 .
- ^ Лоу, Джон П; Петерсон, Кирк (2005). Квантовая химия (Третье изд.). Академическая пресса. ISBN 0-12-457551-Х .
- ^ Мах, Эрнст (1897). Симметрии и теория групп в физике элементарных частиц: введение в пространство-время и внутренние симметрии . Издательство «Открытый суд».
- ^ Вейджманс, Дж. (1997). «Характеристики и модели определения симметрии человека» . Тенденции в когнитивных науках . 1 (9): 346–352. дои : 10.1016/S1364-6613(97)01105-4 . ПМИД 21223945 . S2CID 2143353 .
- ^ Бертамини, М. (2010). «Чувствительность к размышлению и переводу модулируется объектностью». Восприятие . 39 (1): 27–40. дои : 10.1068/p6393 . ПМИД 20301844 . S2CID 22451173 .
- ^ Барлоу, HB; Ривз, Британская Колумбия (1979). «Универсальность и абсолютная эффективность обнаружения зеркальной симметрии в отображениях случайных точек». Исследование зрения . 19 (7): 783–793. дои : 10.1016/0042-6989(79)90154-8 . ПМИД 483597 . S2CID 41530752 .
- ^ Сасаки, Ю.; Вандуфель, В.; Кнутсен, Т.; Тайлер, CW; Тутелл, Р. (2005). «Симметрия активирует экстрастриатную зрительную кору у человека и приматов» . Труды Национальной академии наук США . 102 (8): 3159–3163. Бибкод : 2005PNAS..102.3159S . дои : 10.1073/pnas.0500319102 . ПМК 549500 . ПМИД 15710884 .
- ^ Макин, ADJ; Рампоне, Г.; Печиненда, А.; Бертамини, М. (2013). «Электрофизиологические реакции на зрительно-пространственную регулярность». Психофизиология . 50 (10): 1045–1055. дои : 10.1111/psyp.12082 . ПМИД 23941638 .
- ^ Бертамини, М.; Сильванто, Дж.; Норсия, AM; Макин, ADJ; Вейджманс, Дж. (2018). «Нейронная основа зрительной симметрии и ее роль в визуальной обработке среднего и высокого уровня» . Анналы Нью-Йоркской академии наук . 132 (1): 280–293. Бибкод : 2018NYASA1426..111B . дои : 10.1111/nyas.13667 . hdl : 11577/3289328 . ПМИД 29604083 .
- ^ Дэниелс, Норман (28 апреля 2003 г.). «Рефлексивное равновесие» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .
- ^ Эмоциональная компетентность : симметрия
- ^ Лутус, П. (2008). «Принцип симметрии» . Проверено 28 сентября 2015 г.
- ^ Буиссу, К.; Петижан, М. (2018). «Асимметричные обмены» . Журнал междисциплинарных методологий и проблем науки . 4 : 1–18. дои : 10.18713/JIMIS-230718-4-1 . (см. приложение 1)
- ^ Уильямс: Симметрия в архитектуре . Members.tripod.com (31 декабря 1998 г.). Проверено 16 апреля 2013 г.
- ^ Аслаксен: Математика в искусстве и архитектуре . Math.nus.edu.sg. Проверено 16 апреля 2013 г.
- ^ Дерри, Грегори Н. (2002). Что такое наука и как она работает . Издательство Принстонского университета. стр. 269–. ISBN 978-1-4008-2311-6 .
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Данлэп, Дэвид В. (31 июля 2009 г.). «За кулисами: говорит Эдгар Мартинс» . Нью-Йорк Таймс . Проверено 11 ноября 2014 г.
«Моей отправной точкой для этой конструкции было простое утверждение, которое я однажды прочитал (и которое не обязательно отражает мои личные взгляды): «Только плохой архитектор полагается на симметрию; вместо симметричного расположения блоков, масс и структур модернистская архитектура полагается на на крыльях и балансе масс».
- ^ Искусство китайской бронзы. Архивировано 11 декабря 2003 г. в Wayback Machine . Чинавок (19 ноября 2007 г.). Проверено 16 апреля 2013 г.
- ^ Текстиль Марлы Маллетт и племенные восточные ковры . Метрополитен-музей, Нью-Йорк.
- ^ Дилуччио: Коврики навахо . Navajocentral.org (26 октября 2003 г.). Проверено 16 апреля 2013 г.
- ^ Quate: Исследование геометрии с помощью лоскутных одеял. Архивировано 31 декабря 2003 г. в Wayback Machine . Это.guilford.k12.nc.us. Проверено 16 апреля 2013 г.
- ^ Какер, Фелипе (2013). Многообразные зеркала: пересекающиеся пути искусства и математики . Издательство Кембриджского университета. стр. 77–78, 83, 89, 103. ISBN. 978-0-521-72876-8 .
- ^ «Как создать идеальный логотип с сеткой и симметрией» .
- ^ см. («Фуга № 21», pdf, архивировано 13 сентября 2005 г. в Wayback Machine или Shockwave, архивировано 26 октября 2005 г. в Wayback Machine )
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б с д Перл, Джордж (1992). «Симметрия, двенадцатитоновая гамма и тональность». Обзор современной музыки . 6 (2): 81–96. дои : 10.1080/07494469200640151 .
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Перл, Джордж (1990). Слушающий композитор . Издательство Калифорнийского университета. п. 21 . ISBN 978-0-520-06991-6 .
- ^ Грэммер, К.; Торнхилл, Р. (1994). «Привлекательность лица человека (Homo sapiens) и половой отбор: роль симметрии и усреднённости». Журнал сравнительной психологии . 108 (3). Вашингтон, округ Колумбия: 233–42. дои : 10.1037/0735-7036.108.3.233 . ПМИД 7924253 . S2CID 1205083 .
- ^ Роудс, Джиллиан; Зебровиц, Лесли А. (2002). Привлекательность лица: эволюционные, когнитивные и социальные перспективы . Алекс . ISBN 1-56750-636-4 .
- ^ Джонс, BC, Литтл, AC, Тиддеман, BP, Берт, DM, и Перретт, DI (2001). Симметрия лица и суждения о внешнем здоровье Поддержка объяснения соотношения привлекательности и симметрии «хорошими генами», 22, 417–429.
- ^ Арнгейм, Рудольф (1969). Визуальное мышление . Издательство Калифорнийского университета.
- ^ Дженни Ли Боуман (2009). «Симметричная эстетика Беовульфа» . Университет Теннесси, Ноксвилл.
Дальнейшее чтение [ править ]
- Уравнение, которое невозможно было решить: как математический гений открыл язык симметрии , Марио Ливио , Сувенир Пресс , 2006, ISBN 0-285-63743-6
Внешние ссылки [ править ]
- Международная ассоциация симметрии (ISA)
- Голландский: Симметрия вокруг точки на плоскости. Архивировано 2 января 2004 г. в Wayback Machine.
- Чепмен: Эстетика симметрии
- Симметрия ISIS. Архивировано 22 сентября 2009 г. в Wayback Machine.
- Симметрия , дискуссия на BBC Radio 4 с Фэй Даукер, Маркусом дю Сотой и Яном Стюартом ( «В наше время» , 19 апреля 2007 г.)
