Вершина (геометрия)

Чтобы узнать о вершинах геометрии кривых, см. Вершину (кривую) . Чтобы узнать о других значениях этого слова, см. Вершина (значения) .

В геометрии вершина вершины ( мн.ч.: , или вершины ) — это точка две или более кривые , линии или ребра где встречаются или пересекаются . Как следствие этого определения, точка, где две линии встречаются, образуя угол , и углы многоугольников и многогранников являются вершинами. [1] [2] [3]

Определение [ править ]

Под углом [ править ]

Вершина угла — это конечная точка, где сходятся две прямые или лучи.

Вершина луча угла где соединяются или встречаются два отрезка прямой, где две прямые пересекаются ( — это точка, где начинаются или встречаются два , пересекаются), или любая подходящая комбинация лучей, отрезков и линий, в результате которой образуются две прямые «стороны». встреча в одном месте. [3] [4]

О многограннике [ править ]

Вершина — это угловая точка многоугольника , многогранника или более высокой размерности другого многогранника образованная пересечением ребер , , граней или граней объекта. [4]

В многоугольнике вершина называется « выпуклой », если внутренний угол многоугольника (т. е. угол, образованный двумя ребрами в вершине с многоугольником внутри угла) меньше π радиан (180 °, два прямых угла ); в противном случае его называют «вогнутым» или «рефлекторным». [5] В более общем смысле, вершина многогранника или многогранника является выпуклой, если пересечение многогранника или многогранника с достаточно маленькой сферой с центром в вершине выпукло, и вогнутой в противном случае.

Вершины многогранника связаны с вершинами графов тем, что 1-скелет многогранника представляет собой граф, вершины которого соответствуют вершинам многогранника, [6] и в том, что граф можно рассматривать как одномерный симплициальный комплекс, вершины которого являются вершинами графа.

Однако в теории графов вершины могут иметь менее двух инцидентных ребер, что обычно не допускается для геометрических вершин. Существует также связь между геометрическими вершинами и вершинами кривой , ее точками крайней кривизны: в некотором смысле вершины многоугольника являются точками бесконечной кривизны, и если многоугольник аппроксимировать гладкой кривой, возникнет точка крайней кривизны возле каждой вершины многоугольника. [7]

Плоской мозаики [ править ]

Вершина плоской мозаики или мозаики — это точка, где встречаются три или более плитки; [8] Обычно, но не всегда, плитки тесселяции представляют собой многоугольники, а вершины тесселяции также являются вершинами ее плиток. В более общем смысле, тесселяцию можно рассматривать как своего рода топологический комплекс ячеек , как и грани многогранника или многогранника; вершины других типов комплексов, таких как симплициальные комплексы, являются его нульмерными гранями.

Главная вершина [ править ]

Вершина B является ухом, поскольку отрезок открытой линии между C и D полностью находится внутри многоугольника. Вершина C является ртом, поскольку сегмент открытой линии между A и B полностью находится за пределами многоугольника.

Вершина многоугольника x i простого многоугольника P является вершиной главного многоугольника, если диагональ [ x (i - 1) , x (i + 1) ] пересекает границу P только в точках x (i - 1) и x (i + 1) . Существует два типа главных вершин: уши и рты . [9]

Уши [ править ]

Главная вершина x i простого многоугольника P называется ухом, если диагональ [ x (i − 1) , x (i + 1) ] , соединяющая x i, целиком лежит в P . (см. также выпуклый многоугольник ) Согласно теореме о двух ушках , каждый простой многоугольник имеет как минимум два уха. [10]

Рты [ править ]

Главная вершина x i простого многоугольника P называется устьем, если диагональ [ x (i − 1) , x (i + 1) ] лежит вне границы P .

Количество вершин многогранника [ править ]

Поверхность любого выпуклого многогранника имеет эйлерову характеристику.

где V — количество вершин, E — количество ребер , а F — количество граней . Это уравнение известно как формула многогранника Эйлера . Таким образом, количество вершин на 2 больше, чем превышение числа ребер над числом граней. Например, поскольку у куба 12 ребер и 6 граней, из формулы следует, что у него восемь вершин.

Вершины в компьютерной графике [ править ]

Основная статья: Vertex (компьютерная графика)

В компьютерной графике объекты часто представляются в виде треугольных многогранников , в которых вершины объекта связаны не только с тремя пространственными координатами, но и с другой графической информацией, необходимой для правильной визуализации объекта, такой как цвета, свойства отражения , текстуры и нормаль поверхности . [11] Эти свойства используются при рендеринге вершинным шейдером , являющимся частью вершинного конвейера .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

  1. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Вертекс» . Математический мир .
  2. ^ «Вершины, ребра и грани» . www.mathsisfun.com . Проверено 16 августа 2020 г.
  3. ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б «Что такое вершины в математике?» . Наука . Проверено 16 августа 2020 г.
  4. ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Хит, Томас Л. (1956). Тринадцать книг «Элементов Евклида» (2-е изд. [Факсимиле. Оригинальная публикация: Cambridge University Press, 1925] изд.). Нью-Йорк: Dover Publications.
    (3 тома): ISBN   0-486-60088-2 (т. 1), ISBN   0-486-60089-0 (т. 2), ISBN   0-486-60090-4 (т. 3).
  5. ^ Цзин, Ланру; Стефанссон, Уве (2007). Основы методов дискретных элементов в горных породах: теория и приложения . Эльзевир Наука.
  6. ^ Питер МакМаллен , Эгон Шульте, Абстрактные регулярные многогранники, Cambridge University Press, 2002. ISBN   0-521-81496-0 (стр. 29)
  7. ^ Бобенко, Александр I; Шредер, Питер; Салливан, Джон М .; Циглер, Гюнтер М. (2008). Дискретная дифференциальная геометрия . Биркхойзер Верлаг АГ. ISBN  978-3-7643-8620-7 .
  8. ^ М.В. Ярич, редактор, Введение в математику квазикристаллов (апериодичность и порядок, Том 2) ISBN   0-12-040602-0 , Академик Пресс, 1989.
  9. ^ Девадосс, Сатьян ; О'Рурк, Джозеф (2011). Дискретная и вычислительная геометрия . Издательство Принстонского университета . ISBN  978-0-691-14553-2 .
  10. ^ Мейстерс, GH (1975), «У полигонов есть уши», The American Mathematical Monthly , 82 (6): 648–651, doi : 10.2307/2319703 , JSTOR   2319703 , MR   0367792 .
  11. ^ Кристен, Мартин. «Учебные пособия по Clockworkcoders: атрибуты вершин» . Группа компаний «Хронос» . Архивировано из оригинала 12 апреля 2019 года . Проверено 26 января 2009 г.

Внешние ссылки [ править ]

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Vertex_(geometry)&oldid=1224909500"