Выпуклый многоугольник

В геометрии — выпуклый многоугольник это многоугольник , являющийся границей множества выпуклого . Это означает, что отрезок между двумя точками многоугольника содержится в объединении внутренней части и границы многоугольника. В частности, это простой многоугольник (не самопересекающийся ). [1] Аналогично, многоугольник является выпуклым, если каждая линия , не содержащая ребер, пересекает многоугольник не более чем в двух точках.
— Строго выпуклый многоугольник это выпуклый многоугольник, ни одна прямая которого не содержит двух его ребер. В выпуклом многоугольнике все внутренние углы меньше или равны 180 градусов, а в строго выпуклом многоугольнике все внутренние углы строго меньше 180 градусов.
Свойства [ править ]
Следующие свойства простого многоугольника эквивалентны выпуклости:
- Каждый внутренний угол меньше или равен 180 градусам .
- Каждая точка на каждом отрезке между двумя точками внутри или на границе многоугольника остается внутри или на границе.
- Многоугольник целиком содержится в замкнутой полуплоскости, определяемой каждым из его ребер.
- Для каждого ребра все внутренние точки находятся на одной стороне линии, которую определяет ребро.
- Угол при каждой вершине содержит все остальные вершины на своих ребрах и внутри.
- Многоугольник — это выпуклая оболочка его ребер.
Дополнительные свойства выпуклых многоугольников включают в себя:
- Пересечение двух выпуклых многоугольников является выпуклым многоугольником.
- Выпуклый многоугольник можно триангулировать за линейное время с помощью веерной триангуляции , состоящей в добавлении диагоналей от одной вершины ко всем остальным вершинам.
- Теорема Хелли : для каждой совокупности по крайней мере трех выпуклых многоугольников: если все пересечения всех многоугольников, кроме одного, непусты, то пересечение всех многоугольников непусто.
- Теорема Крейна-Милмана : Выпуклый многоугольник — это выпуклая оболочка его вершин. Таким образом, он полностью определяется набором своих вершин, и для восстановления всей формы многоугольника нужны только углы многоугольника.
- Теорема о разделении гиперплоскости : Любые два выпуклых многоугольника, не имеющие общих точек, имеют разделительную линию. Если многоугольники замкнутые и хотя бы один из них компактный, то существуют даже две параллельные линии-разделители (с зазором между ними).
- Свойство вписанного треугольника : из всех треугольников, содержащихся в выпуклом многоугольнике, существует треугольник максимальной площади, все вершины которого являются вершинами многоугольника. [2]
- Свойство вписывания треугольника : каждый выпуклый многоугольник с площадью можно вписать в треугольник, площадь которого не более чем равна . Равенство справедливо (исключительно) для параллелограмма . [3]
- Свойство вписанных/вписывающих прямоугольников : для каждого выпуклого тела. на плоскости можно вписать прямоугольник в такая, что гомотетичная копия из ограничено примерно а положительный коэффициент гомотетии не превышает 2 и . [4]
- Средняя ширина выпуклого многоугольника равна его периметру, разделенному на . То есть его ширина — это диаметр круга с тем же периметром, что и многоугольник. [5]
Каждый многоугольник, вписанный в окружность (такой, что все вершины многоугольника касаются окружности), если не является самопересекающимся , является выпуклым. Однако не всякий выпуклый многоугольник можно вписать в окружность.
Строгая выпуклость [ править ]
Следующие свойства простого многоугольника эквивалентны строгой выпуклости:
- Каждый внутренний угол строго меньше 180 градусов.
- Каждый отрезок линии между двумя точками внутри многоугольника или между двумя точками на границе, но не на одном и том же ребре, является строго внутренним по отношению к многоугольнику (за исключением его конечных точек, если они находятся на краях).
- Для каждого ребра внутренние точки и граничные точки, не входящие в ребро, находятся на одной стороне линии, которую определяет ребро.
- Угол при каждой вершине содержит все остальные вершины внутри себя (кроме данной вершины и двух соседних вершин).
Любой невырожденный треугольник строго выпуклый.
См. также [ править ]
- Выпуклая кривая – тип плоской кривой.
- Вогнутый многоугольник - простой невыпуклый многоугольник.
- Выпуклый многогранник - Выпуклая оболочка конечного набора точек в евклидовом пространстве.
- Циклический многоугольник — точки на общем круге.
- Неявная кривая § Гладкая аппроксимация выпуклых многоугольников
- Тангенциальный многоугольник - выпуклый многоугольник, содержащий вписанную окружность.
Ссылки [ править ]
- ^ Определение и свойства выпуклых многоугольников с интерактивной анимацией.
- ^ Чандран, Шарат; Маунт, Дэвид М. (1992). «Параллельный алгоритм для вложенных и заключающих треугольников». Международный журнал вычислительной геометрии и приложений . 2 (2): 191–214. дои : 10.1142/S0218195992000123 . МР 1168956 .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Описание треугольника» . Математический мир Вольфрама .
- ^ Лассак, М. (1993). «Приближение выпуклых тел прямоугольниками». Геометрии Дедиката . 47 : 111–117. дои : 10.1007/BF01263495 . S2CID 119508642 .
- ^ Белк, Джим. «Какова средняя ширина выпуклого многоугольника?» . Математический обмен стеками .
Внешние ссылки [ править ]

- Вайсштейн, Эрик В. «Выпуклый многоугольник» . Математический мир .
- http://www.rustycode.com/tutorials/convex.html
- Шорн, Питер; Фишер, Фредерик (1994), «I.2 Проверка выпуклости многоугольника» , Хекберт, Пол С. (редактор), Graphics Gems IV , Morgan Kaufmann (Academic Press), стр. 7–15 , ISBN 9780123361554