Выпуклый многоугольник

Пример выпуклого многоугольника: правильный пятиугольник.

В геометрии — выпуклый многоугольник это многоугольник , являющийся границей выпуклого множества . Это означает, что отрезок между двумя точками многоугольника содержится в объединении внутренней части и границы многоугольника. В частности, это простой многоугольник (не самопересекающийся ). ^[1] Аналогично, многоугольник является выпуклым, если каждая линия , не содержащая ребер, пересекает многоугольник не более чем в двух точках.

— Строго выпуклый многоугольник это выпуклый многоугольник, ни одна прямая которого не содержит двух его ребер. В выпуклом многоугольнике все внутренние углы меньше или равны 180 градусов, а в строго выпуклом многоугольнике все внутренние углы строго меньше 180 градусов.

Свойства [ править ]

Следующие свойства простого многоугольника эквивалентны выпуклости:

Каждый внутренний угол меньше или равен 180 градусам .
Каждая точка на каждом отрезке между двумя точками внутри или на границе многоугольника остается внутри или на границе.
Многоугольник целиком содержится в замкнутой полуплоскости, определяемой каждым из его ребер.
Для каждого ребра все внутренние точки находятся на одной стороне линии, которую определяет ребро.
Угол при каждой вершине содержит все остальные вершины на своих ребрах и внутри.
Многоугольник — это выпуклая оболочка его ребер.

Дополнительные свойства выпуклых многоугольников включают в себя:

Пересечение двух выпуклых многоугольников является выпуклым многоугольником.
Выпуклый многоугольник можно триангулировать за линейное время с помощью веерной триангуляции , состоящей в добавлении диагоналей от одной вершины ко всем остальным вершинам.
Теорема Хелли : для каждой совокупности по крайней мере трех выпуклых многоугольников: если все пересечения всех многоугольников, кроме одного, непусты, то пересечение всех многоугольников непусто.
Теорема Крейна-Милмана : Выпуклый многоугольник — это выпуклая оболочка его вершин. Таким образом, он полностью определяется набором своих вершин, и для восстановления всей формы многоугольника нужны только углы многоугольника.
Теорема о разделении гиперплоскости : Любые два выпуклых многоугольника, не имеющие общих точек, имеют разделительную линию. Если многоугольники замкнутые и хотя бы один из них компактный, то существуют даже две параллельные линии-разделители (с зазором между ними).
Свойство вписанного треугольника : из всех треугольников, содержащихся в выпуклом многоугольнике, существует треугольник максимальной площади, все вершины которого являются вершинами многоугольника. ^[2]
Свойство вписывания треугольника : каждый выпуклый многоугольник с площадью $A$ можно вписать в треугольник, площадь которого не более чем равна $2A$ . Равенство справедливо (исключительно) для параллелограмма . ^[3]
Свойство вписанных/вписывающих прямоугольников : для каждого выпуклого тела. $C$ на плоскости можно вписать прямоугольник $r$ в $C$ такая, что гомотетичная копия $R$ из $r$ ограничено примерно $C$ а положительный коэффициент гомотетии не превышает 2 и $0.5{\text{ × Area}}(R)\leq {\text{Area}}(C)\leq 2{\text{ × Area}}(r)$ . ^[4]
Средняя ширина выпуклого многоугольника равна его периметру, разделенному на $\pi$ . То есть его ширина — это диаметр круга с тем же периметром, что и многоугольник. ^[5]

Каждый многоугольник, вписанный в окружность (такой, что все вершины многоугольника касаются окружности), если не является самопересекающимся , является выпуклым. Однако не всякий выпуклый многоугольник можно вписать в окружность.

Строгая выпуклость [ править ]

Следующие свойства простого многоугольника эквивалентны строгой выпуклости:

Каждый внутренний угол строго меньше 180 градусов.
Каждый отрезок линии между двумя точками внутри многоугольника или между двумя точками на границе, но не на одном и том же ребре, является строго внутренним по отношению к многоугольнику (за исключением его конечных точек, если они находятся на краях).
Для каждого ребра внутренние точки и граничные точки, не входящие в ребро, находятся на одной стороне линии, которую определяет ребро.
Угол при каждой вершине содержит все остальные вершины внутри себя (кроме данной вершины и двух соседних вершин).

Любой невырожденный треугольник строго выпуклый.

См. также [ править ]

Выпуклая кривая – тип плоской кривой.
Вогнутый многоугольник - простой невыпуклый многоугольник.
Выпуклый многогранник - Выпуклая оболочка конечного набора точек в евклидовом пространстве.
Циклический многоугольник — точки на общем круге.
Неявная кривая § Гладкая аппроксимация выпуклых многоугольников
Тангенциальный многоугольник - выпуклый многоугольник, содержащий вписанную окружность.

Ссылки [ править ]

^ Определение и свойства выпуклых многоугольников с интерактивной анимацией.
^ Чандран, Шарат; Маунт, Дэвид М. (1992). «Параллельный алгоритм для вложенных и заключающих треугольников». Международный журнал вычислительной геометрии и приложений . 2 (2): 191–214. дои : 10.1142/S0218195992000123 . МР 1168956 .
^ Вайсштейн, Эрик В. «Описание треугольника» . Математический мир Вольфрама .
^ Лассак, М. (1993). «Приближение выпуклых тел прямоугольниками». Геометрии посвященные . 47 : 111–117. дои : 10.1007/BF01263495 . S2CID 119508642 .
^ Белк, Джим. «Какова средняя ширина выпуклого многоугольника?» . Математический обмен стеками .

Внешние ссылки [ править ]

Вайсштейн, Эрик В. «Выпуклый многоугольник» . Математический мир .
http://www.rustycode.com/tutorials/convex.html
Шорн, Питер; Фишер, Фредерик (1994), «I.2 Проверка выпуклости многоугольника» , в Хекберте, Поле С. (редактор), Graphics Gems IV , Morgan Kaufmann (Academic Press), стр. 7–15 , ISBN 9780123361554

[1] Определение и свойства выпуклых многоугольников с интерактивной анимацией.

[2] Чандран, Шарат; Маунт, Дэвид М. (1992). «Параллельный алгоритм для вложенных и заключающих треугольников». Международный журнал вычислительной геометрии и приложений . 2 (2): 191–214. дои : 10.1142/S0218195992000123 . МР 1168956 .

[3] Вайсштейн, Эрик В. «Описание треугольника» . Математический мир Вольфрама .

[4] Лассак, М. (1993). «Приближение выпуклых тел прямоугольниками». Геометрии посвященные . 47 : 111–117. дои : 10.1007/BF01263495 . S2CID 119508642 .

[5] Белк, Джим. «Какова средняя ширина выпуклого многоугольника?» . Математический обмен стеками .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]