Трапеция

Трапеция (AmE)
Трапеция (БрЭ)
Трапеция (AmE) ; Трапеция (БрЭ)
	Трапеция или трапеция
Тип	четырехугольник
Ребра и вершины	4
Область
Характеристики	выпуклый

В геометрии трапеция ) ( / ˈ t r æ p ə z ɔɪ d / ) в североамериканском английском или трапеция ( / t r ə ˈ p iː z i ə m / в британском английском , ^[1]^[2] четырехугольник , у которого есть хотя бы одна пара параллельных сторон.

Параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются катетами (или боковыми сторонами ), если они не параллельны; в противном случае трапеция является параллелограммом и имеет две пары оснований. Разносторонняя трапеция – это трапеция, у которой нет равных сторон , ^[3] в отличие от особых случаев, описанных ниже.

Трапецией обычно считают выпуклый четырехугольник в евклидовой геометрии , но бывают и скрещенные случаи. Если ABCD — выпуклая трапеция, то ABDC — скрещенная трапеция. Метрические формулы в этой статье применимы к выпуклым трапециям.

и трапеция против трапеции Этимология

Древнегреческий математик Евклид определил пять типов четырехугольников, четыре из которых имели два набора параллельных сторон (известных на английском языке как квадрат, прямоугольник, ромб и ромб), а последний не имел двух наборов параллельных сторон – τραπέζια ( трапеция ). ^[5]буквально «стол», от τετράς ( tetrás ) «четыре» + πέζα ( péza ) «нога»; конец, граница, край»). ^[6]

Два типа трапеций были представлены Проклом (412–485 гг. н. э.) в его комментарии к первой книге « Начал» Евклида : ^[4]^[7]

одна пара параллельных сторон – трапеция (τραπέζιον), разделенная на равнобедренную (равные ножки) и разностороннюю (неравные) трапеции.
нет параллельных сторон - трапеция (τραπεζοειδή, трапеция , буквально «трапецевидный» ( εἶδος означает «похожий»), точно так же, как кубоид означает « кубообразный », а ромбоид означает « подобный ромбу »)

Все европейские языки следуют структуре Прокла. ^[7]^[8]как и английский до конца 18 века, пока влиятельный математический словарь, опубликованный Чарльзом Хаттоном в 1795 году, не поддержал без объяснения перестановку терминов. Примерно в 1875 году в британском английском это было изменено, но в американском английском оно сохраняется до сих пор. ^[4]

В следующей таблице сравниваются варианты использования: наиболее конкретные определения вверху и самые общие внизу.

Тип	Наборы параллельных сторон	Оригинальная терминология			Современная терминология
		Евклид (определение 22)	Прокл (Определения 30–34, цитирует Посидония)	Определение Евклида/Прокла	Британский английский	Американский английский
Параллелограмм	2	ромбы		равносторонний, но не прямоугольный	Ромб/Параллелограмм
Параллелограмм	2	ромбовидные мышцы		противоположные стороны и углы равны друг другу, но не равносторонние и не прямоугольные	Ромбовидный/Параллелограмм
Непараллелограмм	1	столы (трапеция)	трапециево -ионные изоскелеты	Две параллельные стороны и линия симметрии.	Равнобедренная трапеция	трапеция Равнобедренная
	1		трапеция ион скалинон	Две параллельные стороны и нет линии симметрии.	Трапеция	Трапеция оид
	0		( трапеции трапеции )	Нет параллельных сторон	/ трапеция Неправильный четырехугольник ^[9]^[10]	Трапеция

Инклюзивное и эксклюзивное определение [ править ]

Существуют некоторые разногласия по поводу того, следует ли считать параллелограммы , имеющие две пары параллельных сторон, трапециями.

Некоторые определяют трапецию как четырехугольник, имеющий только одну пару параллельных сторон (исключительное определение), тем самым исключая параллелограммы. ^[11] В некоторых источниках термин «правильная трапеция» используется для описания трапеций в соответствии с исключительным определением, аналогично использованию слова «собственная трапеция» в некоторых других математических объектах. ^[12]

Другие ^[13]^{[ не удалось пройти проверку ]} определить трапецию как четырехугольник, по крайней мере, с одной парой параллельных сторон (инклюзивное определение ^[14]), что делает параллелограмм особым типом трапеции. Последнее определение согласуется с его использованием в высшей математике, такой как исчисление . В этой статье используется инклюзивное определение и рассматриваются параллелограммы как частные случаи трапеции. Это также поддерживается в таксономии четырехугольников .

Согласно инклюзивному определению, все параллелограммы (включая ромбы , квадраты и неквадратные прямоугольники ) являются трапециями. Прямоугольники имеют зеркальную симметрию по средним краям; ромбы имеют зеркальную симметрию по вершинам, а квадраты имеют зеркальную симметрию как по средним краям, так и по вершинам.

Особые случаи [ править ]

Прямоугольная трапеция (также называемая прямоугольной трапецией ) имеет два смежных прямых угла . ^[13] Правые трапеции используются в правиле трапеций для оценки площадей под кривой.

Острая трапеция имеет два смежных острых угла на длинном основании .

в каждом С другой стороны, тупая трапеция имеет по одному острому и одному тупому углу основании .

Равнобедренная трапеция — это трапеция, углы при основании которой имеют одинаковую величину. Как следствие, две ножки также имеют одинаковую длину и обладают зеркальной симметрией . Это возможно для острых трапеций или прямых трапеций (в виде прямоугольников).

Параллелограмм — это (согласно инклюзивному определению) трапеция с двумя парами параллельных сторон. Параллелограмм имеет центральную 2-кратную вращательную симметрию (или симметрию точечного отражения ). Можно для тупых трапеций или прямых трапеций (прямоугольников).

Тангенциальная трапеция — это трапеция, имеющая вписанную окружность .

Четырехугольник Саккери подобен трапеции в гиперболической он представляет собой прямоугольник плоскости с двумя примыкающими прямыми углами, а в евклидовой плоскости . Четырехугольник Ламберта в гиперболической плоскости имеет 3 прямых угла.

Условия существования [ править ]

Четыре длины a , c , b , d могут составлять последовательные стороны трапеции, не параллелограммной с a и b, параллельными только тогда, когда ^[15]

\displaystyle |d-c|<|b-a|<d+c.

Четырехугольник является параллелограммом, если $d-c=b-a=0$ , но это экскасательный четырехугольник (который не является трапецией), когда $|d-c|=|b-a|\neq 0$ . ^[16]^{: п. 35}

Характеристики [ править ]

Для выпуклого четырехугольника следующие свойства эквивалентны, и каждое из них означает, что четырехугольник является трапецией:

Он имеет два смежных угла , которые являются дополнительными , то есть в сумме составляют 180 градусов .
Угол между стороной и диагональю равен углу между противоположной стороной и той же диагональю.
Диагонали пересекают друг друга в одинаковом отношении (это соотношение такое же, как и между длинами параллельных сторон).
Диагонали разрезают четырехугольник на четыре треугольника , из которых одна противолежащая пара имеет равные площади. ^[16]^{: Положение 5}
Произведение площадей двух треугольников, образованных одной диагональю, равно произведению площадей двух треугольников, образованных другой диагональю. ^[16]^{: Thm.6}
Площади S и T некоторых двух противоположных треугольников из четырех треугольников, образованных диагоналями, удовлетворяют уравнению

{\sqrt {K}}={\sqrt {S}}+{\sqrt {T}},

где К — площадь четырехугольника. ^[16]^{: Thm.8}

Середины двух противоположных сторон трапеции и пересечение диагоналей лежат на одной прямой . ^[16]^{: Thm.15}
Углы четырехугольника ABCD удовлетворяют условиям $\sin A\sin C=\sin B\sin D.$ ^[16]^{: п. 25}
косинусов двух соседних углов Сумма равна 0, как и косинусы двух других углов. ^[16]^{: п. 25}
Сумма котангенсов двух соседних углов равна 0, как и котангенсы двух других смежных углов. ^[16]^{: п. 26}
Одна бимедиана делит четырёхугольник на два четырёхугольника равных площадей. ^[16]^{: п. 26}
Двойная длина бимедианы, соединяющей середины двух противоположных сторон, равна сумме длин других сторон. ^[16]^{: п. 31}

Кроме того, следующие свойства эквивалентны, и каждое из них подразумевает, что противоположные стороны a и b параллельны:

Последовательные стороны a , c , b , d и диагонали p , q удовлетворяют уравнению ^[16]^{: Кор.11}

p^{2}+q^{2}=c^{2}+d^{2}+2ab.

Расстояние v между серединами диагоналей удовлетворяет уравнению ^[16]^{: Thm.12}

v={\frac {|a-b|}{2}}.

и высота Средний сегмент

Средний сегмент (также называемый медианой или средней линией) трапеции — это сегмент, который соединяет середины ног. Он параллелен основаниям. Его длина m равна среднему значению длин оснований a и b трапеции, ^[13]

m={\frac {a+b}{2}}.

Средний отрезок трапеции является одной из двух бимедиан (другая бимедиана делит трапецию на равные площади).

Высота расстояние (или высота) — это по перпендикуляру между основаниями. В случае, если два основания имеют разную длину ( a ≠ b ), высоту трапеции h можно определить по длине ее четырех сторон по формуле ^[13]

h={\frac {\sqrt {(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a-b+c-d)(a-b-c+d)}}{2|b-a|}}

где c и d — длины ног.

Площадь [ править ]

Площадь K трапеции определяется выражением ^[13]

K={\frac {a+b}{2}}\cdot h=mh

где a и b — длины параллельных сторон, h — высота (расстояние по перпендикуляру между этими сторонами), а m — среднее арифметическое длин двух параллельных сторон. В 499 году нашей эры Арьябхата , великий математик - астроном классической эпохи индийской математики и индийской астрономии , использовал этот метод в «Арьябхатии» (раздел 2.8). это дает В частном случае хорошо известную формулу площади треугольника , если рассматривать треугольник как вырожденную трапецию, в которой одна из параллельных сторон сжалась в точку.

Индийский математик VII века Бхаскара I вывел следующую формулу площади трапеции с последовательными сторонами a , c , b , d :

K={\frac {1}{2}}(a+b){\sqrt {c^{2}-{\frac {1}{4}}\left((b-a)+{\frac {c^{2}-d^{2}}{b-a}}\right)^{2}}}

где a и b параллельны и b > a . ^[17] Эту формулу можно преобразовать в более симметричную версию. ^[13]

K={\frac {a+b}{4|b-a|}}{\sqrt {(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a-b+c-d)(a-b-c+d)}}.

Когда одна из параллельных сторон сжимается до точки (скажем, a = 0), эта формула сводится к формуле Герона для площади треугольника.

Другая эквивалентная формула площади, которая больше напоминает формулу Герона: ^[13]

K={\frac {a+b}{|b-a|}}{\sqrt {(s-b)(s-a)(s-b-c)(s-b-d)}}

где $s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c+d)$ – полупериметр трапеции. (Эта формула похожа на формулу Брахмагупты , но отличается от нее тем, что трапеция может не быть вписанной (вписанной в окружность). Формула также является частным случаем формулы Бретшнейдера для общего четырехугольника ).

Из формулы Бретшнейдера следует, что

K={\sqrt {{\frac {(ab^{2}-a^{2}b-ad^{2}+bc^{2})(ab^{2}-a^{2}b-ac^{2}+bd^{2})}{4(b-a)^{2}}}-\left({\frac {c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2}}{4}}\right)^{2}}}.

Линия, соединяющая середины параллельных сторон, делит площадь пополам.

Диагонали [ править ]

Длины диагоналей равны ^[13]

p={\sqrt {\frac {ab^{2}-a^{2}b-ac^{2}+bd^{2}}{b-a}}},

q={\sqrt {\frac {ab^{2}-a^{2}b-ad^{2}+bc^{2}}{b-a}}}

где a — короткое основание, b — длинное основание, а c и d — ножки трапеции.

Если трапеция разделена на четыре треугольника своими диагоналями AC и BD (как показано справа), пересекающимися в точке O , то площадь $\triangle$ AOD равен $\triangle$ BOC и произведение площадей $\triangle$ АОД и $\triangle$ BOC равен $\triangle$ АОБ и $\triangle$ ХПК . Отношение площадей каждой пары соседних треугольников такое же, как и между длинами параллельных сторон. ^[13]

Пусть трапеция имеет вершины A , B , C и D последовательно расположенные и параллельные стороны AB и DC . Пусть E — пересечение диагоналей, F — на стороне DA , а G — на стороне BC, так что FEG параллелен AB и CD . Тогда FG — гармоническое AB и DC : среднее ^[18]

{\frac {1}{FG}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{AB}}+{\frac {1}{DC}}\right).

Линия, проходящая через точку пересечения расширенных непараллельных сторон и точку пересечения диагоналей, делит каждое основание пополам. ^[19]

Другая недвижимость [ править ]

Центр площади (центр массы однородной пластинки ) лежит вдоль отрезка, соединяющего середины параллельных сторон, на перпендикулярном расстоянии x от более длинной стороны b , определяемом выражением ^[20]

x={\frac {h}{3}}\left({\frac {2a+b}{a+b}}\right).

Центр площади делит этот отрезок в соотношении (если брать от короткой стороны к длинной) ^[21]^{: п. 862}

{\frac {a+2b}{2a+b}}.

Если биссектрисы углов A и B пересекаются в точке P , а биссектрисы углов C и D пересекаются в точке Q , то ^[19]

PQ={\frac {|AD+BC-AB-CD|}{2}}.

Приложения [ править ]

Архитектура [ править ]

В архитектуре это слово используется для обозначения симметричных дверей, окон и зданий, построенных в египетском стиле более широкими у основания и сужающимися кверху. Если они имеют прямые стороны и острые угловые углы, их форма обычно представляет собой равнобедренные трапеции . Это был стандартный стиль дверей и окон инков . ^[22]

Геометрия [ править ]

Задача о скрещенных лестницах — это задача о нахождении расстояния между параллельными сторонами прямой трапеции, зная длины диагоналей и расстояние от перпендикулярного катета до пересечения диагоналей.

Биология [ править ]

В морфологии , таксономии и других описательных дисциплинах, в которых необходим термин для обозначения таких форм, такие термины, как трапециевидная или трапециевидная, обычно полезны при описании определенных органов или форм. ^[23]

Компьютерная инженерия [ править ]

В компьютерной инженерии, особенно в цифровой логике и компьютерной архитектуре, трапеции обычно используются для обозначения мультиплексоров . Мультиплексоры — это логические элементы, которые выбирают между несколькими элементами и выдают один выходной сигнал на основе сигнала выбора. В типичных конструкциях используются трапеции без специального указания на то, что они являются мультиплексорами, поскольку они универсально эквивалентны.

См. также [ править ]

Усеченное тело — твердое тело с трапециевидными гранями.
Вежливое число , также известное как трапециевидное число.
Клин — многогранник, определяемый двумя треугольниками и тремя гранями трапеции.

Ссылки [ править ]

^ «Трапеция — определение математического слова — Открытый справочник по математике» . www.mathopenref.com . Проверено 15 мая 2024 г.
^ А.Д. Гардинер и К.Дж. Брэдли, Плоская евклидова геометрия: теория и проблемы , UKMT, 2005, стр. 34.
^ «Виды четырёхугольников» . Basic-mathematics.com .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Джеймс А. Х. Мюррей (1926). Новый английский словарь по историческим принципам: основан главным образом на материалах, собранных Филологическим обществом . Том. X. Clarendon Press в Оксфорде. п. 286 (Трапеция). У Евклида (около 300 г. до н.э.) τραπέζιον включала все четырехугольные фигуры, кроме квадрата, прямоугольника, ромба и ромбоида; в разновидности трапеций он не входил. Но Прокл, написавший «Комментарии к Первой книге «Начал» Евклида в 450 году нашей эры, сохранил название τραπέζιον только для четырехугольников, у которых две стороны параллельны, разделив их на τραπέζιον ἰσοσκελὲς, равнобедренную трапецию, имеющую две непараллельные стороны (и углы при их основания) равны, а σκαληνὸν τραπέζιον, разносторонняя трапеция, у которой эти стороны и углы неравны. Для четырехугольников, у которых нет параллельных сторон, Прокл ввел название τραπέζοειδὲς ТРАПЕЦИЯ. Эта номенклатура сохранилась во всех континентальных языках и была универсальной в Англии до конца XVIII века, когда применение терминов было перенесено, так что фигура, которую Прокл и современные геометры других наций называют именно трапецией (Ф. трапеция, нем. трапеция, Дю. трапеция, ит. трапеция) стала у большинства английских писателей трапецией, а трапеция Прокла и других народов — трапецией. Это измененное значение трапеции дано в Математическом словаре Хаттона, 1795 г., как слово «иногда» используется — он не говорит, кем; но, к сожалению, он сам принял и использовал его, и его Словарь, несомненно, был главным фактором его распространения. Однако некоторые геометры продолжали использовать эти термины в их первоначальном значении, и с 1875 года это использование стало преобладающим.
^ «Евклид, Начала, книга 1, тип Def, номер 22» . www.perseus.tufts.edu .
^ Говорят, что πέζα — это дорическая и аркадская форма πούς «ступня», но записанная только в смысле «подъём [человеческой стопы]», откуда и происходит значение «край, граница». τράπεζα «стол» — гомеровское. Генри Джордж Лидделл, Роберт Скотт, Генри Стюарт Джонс, Греко-английский лексикон , Оксфорд, Clarendon Press (1940), sv πέζα , τράπεζα .
^ Перейти обратно: ^а ^б Конвей, Джон Х.; Бургель, Хайди; Гудман-Штраус, Хаим (5 апреля 2016 г.). Симметрии вещей . ЦРК Пресс. п. 286. ИСБН 978-1-4398-6489-0 .
^ Например: Французская трапеция , Итальянская трапеция , Португальская трапеция , Испанская трапеция , Немецкая трапеция , Украинская «трапеція», напр. «Определение трапеции по Ларуссу» .
^ «chambersharrap.co.uk» . www.chambersharrap.co.uk .
^ «Американское определение трапеции 1913 года» . Интернет-словарь Мерриам-Вебстера . Проверено 10 декабря 2007 г.
^ «Определение американской школы с сайта math.com » . Проверено 14 апреля 2008 г.
^ Мишон, Жерар П. «История и номенклатура» . Проверено 9 июня 2023 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это ^ж ^г ^час ^я Вайсштейн, Эрик В. «Трапеция» . Математический мир .
^ Трапеции, [1] . Проверено 24 февраля 2012 г.
^ Спросите доктора Математика (2008), «Площадь трапеции с учетом только длин сторон» .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л Мартин Йозефссон, «Характеристики трапеций» , Forum Geometricorum, 13 (2013) 23-35.
^ Т.К. Путтасвами, Математические достижения досовременных индийских математиков , Elsevier, 2012, стр. 156.
^ «Задача 747 по геометрии математического образования: трапеция, диагонали, параллель, основания, середина, сходство, среднее гармоническое. Уровень: средняя школа, геометрия с отличием, колледж, математическое образование. Дистанционное обучение» . gogeometry.com . Проверено 15 мая 2024 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Оуэн Байер, Феликс Лазебник и Дейдра Смельцер , Методы евклидовой геометрии , Математическая ассоциация Америки, 2010, стр. 55.
^ «Центроид, площадь, моменты инерции, полярные моменты инерции и радиус вращения общей трапеции» . www.efunda.com . Проверено 15 мая 2024 г.
^ Том М. Апостол и Мамикон А. Мнацаканян (декабрь 2004 г.). «Фигуры, описывающие круги» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 111 (10): 853–863. дои : 10.2307/4145094 . JSTOR 4145094 . Проверено 06 апреля 2016 г.
^ «Мачу-Пикчу, затерянный город инков — геометрия инков» . gogeometry.com . Проверено 13 февраля 2018 г.
^ Джон Л. Капинера (11 августа 2008 г.). Энциклопедия энтомологии Springer Science & Business Media. стр. 100-1 386, 1062, 1247. ISBN. 978-1-4020-6242-1 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Д. Фрайверт, А. Сиглер и М. Ступель: Общие свойства трапеций и выпуклых четырехугольников.

Внешние ссылки [ править ]

«Трапеция» в Математической энциклопедии
Вайсштейн, Эрик В. «Правильная трапеция» . Математический мир .
Определение трапеции , Площадь трапеции , Медиана трапеции (с интерактивной анимацией)
Трапеция (Северная Америка) на elsy.at: Анимированный курс (построение, окружность, площадь)
Правило трапеции для численных методов для студентов бакалавриата
Аутар Кау и Э. Эрик Калу, Численные методы с приложениями , (2008)

[1] «Трапеция — определение математического слова — Открытый справочник по математике» . www.mathopenref.com . Проверено 15 мая 2024 г.

[2] А.Д. Гардинер и К.Дж. Брэдли, Плоская евклидова геометрия: теория и проблемы , UKMT, 2005, стр. 34.

[3] «Виды четырёхугольников» . Basic-mathematics.com .

[oed-4] Перейти обратно: ^а ^б ^с Джеймс А. Х. Мюррей (1926). Новый английский словарь по историческим принципам: основан главным образом на материалах, собранных Филологическим обществом . Том. X. Clarendon Press в Оксфорде. п. 286 (Трапеция). У Евклида (около 300 г. до н.э.) τραπέζιον включала все четырехугольные фигуры, кроме квадрата, прямоугольника, ромба и ромбоида; в разновидности трапеций он не входил. Но Прокл, написавший «Комментарии к Первой книге «Начал» Евклида в 450 году нашей эры, сохранил название τραπέζιον только для четырехугольников, у которых две стороны параллельны, разделив их на τραπέζιον ἰσοσκελὲς, равнобедренную трапецию, имеющую две непараллельные стороны (и углы при их основания) равны, а σκαληνὸν τραπέζιον, разносторонняя трапеция, у которой эти стороны и углы неравны. Для четырехугольников, у которых нет параллельных сторон, Прокл ввел название τραπέζοειδὲς ТРАПЕЦИЯ. Эта номенклатура сохранилась во всех континентальных языках и была универсальной в Англии до конца XVIII века, когда применение терминов было перенесено, так что фигура, которую Прокл и современные геометры других наций называют именно трапецией (Ф. трапеция, нем. трапеция, Дю. трапеция, ит. трапеция) стала у большинства английских писателей трапецией, а трапеция Прокла и других народов — трапецией. Это измененное значение трапеции дано в Математическом словаре Хаттона, 1795 г., как слово «иногда» используется — он не говорит, кем; но, к сожалению, он сам принял и использовал его, и его Словарь, несомненно, был главным фактором его распространения. Однако некоторые геометры продолжали использовать эти термины в их первоначальном значении, и с 1875 года это использование стало преобладающим.

[5] «Евклид, Начала, книга 1, тип Def, номер 22» . www.perseus.tufts.edu .

[6] Говорят, что πέζα — это дорическая и аркадская форма πούς «ступня», но записанная только в смысле «подъём [человеческой стопы]», откуда и происходит значение «край, граница». τράπεζα «стол» — гомеровское. Генри Джордж Лидделл, Роберт Скотт, Генри Стюарт Джонс, Греко-английский лексикон , Оксфорд, Clarendon Press (1940), sv πέζα , τράπεζα .

[ConwayBurgiel2016-7] Перейти обратно: ^а ^б Конвей, Джон Х.; Бургель, Хайди; Гудман-Штраус, Хаим (5 апреля 2016 г.). Симметрии вещей . ЦРК Пресс. п. 286. ИСБН 978-1-4398-6489-0 .

[8] Например: Французская трапеция , Итальянская трапеция , Португальская трапеция , Испанская трапеция , Немецкая трапеция , Украинская «трапеція», напр. «Определение трапеции по Ларуссу» .

[9] «chambersharrap.co.uk» . www.chambersharrap.co.uk .

[10] «Американское определение трапеции 1913 года» . Интернет-словарь Мерриам-Вебстера . Проверено 10 декабря 2007 г.

[11] «Определение американской школы с сайта math.com » . Проверено 14 апреля 2008 г.

[12] Мишон, Жерар П. «История и номенклатура» . Проверено 9 июня 2023 г.

[Mathworld-13] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это ^ж ^г ^час ^я Вайсштейн, Эрик В. «Трапеция» . Математический мир .

[14] Трапеции, [1] . Проверено 24 февраля 2012 г.

[15] Спросите доктора Математика (2008), «Площадь трапеции с учетом только длин сторон» .

[Josefsson-16] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л Мартин Йозефссон, «Характеристики трапеций» , Forum Geometricorum, 13 (2013) 23-35.

[17] Т.К. Путтасвами, Математические достижения досовременных индийских математиков , Elsevier, 2012, стр. 156.

[18] «Задача 747 по геометрии математического образования: трапеция, диагонали, параллель, основания, середина, сходство, среднее гармоническое. Уровень: средняя школа, геометрия с отличием, колледж, математическое образование. Дистанционное обучение» . gogeometry.com . Проверено 15 мая 2024 г.

[Byer-19] Перейти обратно: ^а ^б Оуэн Байер, Феликс Лазебник и Дейдра Смельцер , Методы евклидовой геометрии , Математическая ассоциация Америки, 2010, стр. 55.

[20] «Центроид, площадь, моменты инерции, полярные моменты инерции и радиус вращения общей трапеции» . www.efunda.com . Проверено 15 мая 2024 г.

[AM-21] Том М. Апостол и Мамикон А. Мнацаканян (декабрь 2004 г.). «Фигуры, описывающие круги» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 111 (10): 853–863. дои : 10.2307/4145094 . JSTOR 4145094 . Проверено 06 апреля 2016 г.

[22] «Мачу-Пикчу, затерянный город инков — геометрия инков» . gogeometry.com . Проверено 13 февраля 2018 г.

[Capinera2008-23] Джон Л. Капинера (11 августа 2008 г.). Энциклопедия энтомологии Springer Science & Business Media. стр. 100-1 386, 1062, 1247. ISBN. 978-1-4020-6242-1 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

и трапеция против трапеции ​ Этимология ​