Тангенциальная трапеция

Тангенциальная трапеция.

В евклидовой геометрии , трапеция также называемая описанной трапецией , представляет собой трапецию , все четыре стороны которой касаются окружности касательная внутри трапеции: вписанной или вписанной окружности . Это частный случай касательного четырехугольника , в котором по крайней мере одна пара противоположных сторон параллельны . Что касается других трапеций, то параллельные стороны называются основаниями , а две другие стороны — катетами . Ноги могут быть равными (см. ниже равнобедренную касательную трапецию ), но это не обязательно.

Особые случаи

Примерами тангенциальных трапеций являются ромбы и квадраты .

Характеристика

Если вписанная окружность касается сторон AB и CD в точках W и Y соответственно, то касательный четырехугольник ABCD также является трапецией с параллельными сторонами AB и CD тогда и только тогда, когда

${\overline {AW}}\cdot {\overline {DY}}={\overline {BW}}\cdot {\overline {CY}}$

а AD и BC — параллельные стороны трапеции тогда и только тогда, когда

${\overline {AW}}\cdot {\overline {BW}}={\overline {CY}}\cdot {\overline {DY}}.$

Площадь

Формулу площади трапеции можно упростить, используя теорему Пито, чтобы получить формулу площади касательной трапеции. Если основания имеют длины a, b , а любая из двух других сторон имеет длину c , то площадь K определяется по формуле (Эту формулу можно использовать только в тех случаях, когда основания параллельны.)

$K={\frac {a+b}{|b-a|}}{\sqrt {ab(a-c)(c-b)}}.$

Площадь можно выразить через касательные длины e, f, g, h как

$K={\sqrt[{4}]{efgh}}(e+f+g+h).$

Инрадиус

Используя те же обозначения, что и для площади, радиус вписанной окружности равен

$r={\frac {K}{a+b}}={\frac {\sqrt {ab(a-c)(c-b)}}{|b-a|}}.$

Диаметр . вписанной окружности равен высоте касательной трапеции

Внутренний радиус также можно выразить через касательные длины как

$r={\sqrt[{4}]{efgh}}.$

При этом, если касательные длины e, f, g, h исходят соответственно из вершин A, B, C, D и AB параллелен DC , то

$r={\sqrt {eh}}={\sqrt {fg}}.$

Свойства центра

Если вписанная окружность касается оснований в точках P, Q , то P, I, Q лежат на одной прямой , где I — вписанная окружность.

Углы ∠ AID и ∠ BIC в касательной трапеции ABCD с основаниями AB и DC являются прямыми углами .

Инцентр лежит на медиане (также называемой средним сегментом, то есть сегментом, соединяющим середины ножек).

Другая недвижимость

Медиана (средний сегмент ) касательной трапеции равна одной четверти периметра трапеции . Он также равен половине суммы оснований, как и во всех трапециях.

Если нарисованы две окружности, диаметр каждой из которых совпадает с катетами касательной трапеции, то эти две окружности касаются друг друга.

Правая касательная трапеция

Прямая касательная трапеция.

Прямая касательная трапеция — это касательная трапеция, у которой два смежных угла являются прямыми . Если основания имеют длины a, b , то внутренний радиус равен

$r={\frac {ab}{a+b}}.$

Таким образом, диаметр вписанной окружности является средним гармоническим основанием.

Правая касательная трапеция имеет площадь

$\displaystyle K=ab$

а его периметр P равен

$\displaystyle P=2(a+b).$

Равнобедренная касательная трапеция

Любая равнобедренная касательная трапеция бицентрична .

Равнобедренная касательная трапеция — это касательная трапеция, у которой катеты равны. Поскольку равнобедренная трапеция является вписанной , равнобедренная касательная трапеция является бицентрическим четырехугольником . То есть у него есть как вписанная, так и описанная окружность .

Если основания a, b , то внутренний радиус определяется выражением

$r={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {ab}}.$

Вывести эту формулу было простой задачей Сангаку из Японии . Из теоремы Пито следует, что длины катетов равны половине суммы оснований. Поскольку диаметр вписанной окружности представляет собой квадратный корень из произведения оснований, равнобедренная касательная трапеция дает хорошую геометрическую интерпретацию среднего арифметического и среднего геометрического оснований как длины катета и диаметра вписанной окружности соответственно.

Площадь K равнобедренной касательной трапеции с основаниями a, b определяется выражением

$K={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {ab}}(a+b).$