Антипараллелограмм

В геометрии антипараллелограмм — это разновидность самопересекающегося четырёхугольника . Как и параллелограмм , антипараллелограмм имеет две противоположные пары сторон одинаковой длины, но эти пары сторон, как правило, не параллельны . Вместо этого каждая пара сторон антипараллельна по отношению к другой, причем стороны более длинной пары пересекают друг друга, как в ножничном механизме . В то время как противоположные углы параллелограмма равны и ориентированы одинаково, у антипараллелограмма они равны, но ориентированы противоположно. Антипараллелограммы еще называют контрпараллелограммами. ^[1] или скрещенные параллелограммы . ^[2]

Антипараллелограммы представляют собой вершины некоторых невыпуклых однородных многогранников . В теории четырехзвенных связей рычаги, имеющие форму антипараллелограмма, называются также рычагами-бабочками или рычагами-бабочками и используются в конструкции некруглых передач . В небесной механике они встречаются в определенных семействах решений задачи четырех тел .

Каждый антипараллелограмм имеет ось симметрии , все четыре вершины которой лежат на окружности. Ее можно составить из равнобедренной трапеции, сложив две диагонали и удалив две параллельные стороны. Знаковая площадь каждого антипараллелограмма равна нулю.

Геометрические свойства [ править ]

Антипараллелограмм — это частный случай скрещенного четырехугольника с двумя парами ребер одинаковой длины. ^[3] В общем случае скрещенные четырехугольники могут иметь неравные края. ^[3] Особой формой антипараллелограмма является скрещенный прямоугольник , у которого два противоположных края параллельны. ^[4] Каждый антипараллелограмм представляет собой вписанный четырехугольник , что означает, что все его четыре вершины лежат на одной окружности . ^[3] Кроме того, четыре расширенные стороны любого антипараллелограмма являются биткасательными двух окружностей, что делает антипараллелограммы тесно связанными с касательными четырехугольниками , экс-касательными четырехугольниками и воздушными змеями (которые являются как касательными, так и экс-касательными). ^[5]

Каждый антипараллелограмм имеет ось симметрии, проходящую через точку пересечения. Благодаря этой симметрии он имеет две пары равных углов и две пары равных сторон. ^[2] Четыре середины его сторон лежат на линии, перпендикулярной оси симметрии; то есть для этого типа четырехугольника параллелограмм Вариньона представляет собой вырожденный четырехугольник нулевой площади, состоящий из четырех коллинеарных точек. ^[6]^[7] Выпуклая оболочка антипараллелограмма представляет собой равнобедренную трапецию , и каждый антипараллелограмм может быть образован из равнобедренной трапеции (или ее особых случаев, прямоугольников и квадратов) путем замены двух параллельных сторон двумя диагоналями трапеции. ^[4]

Поскольку антипараллелограмм образует две конгруэнтные треугольные области плоскости, но огибает эти две области в противоположных направлениях, его площадь со знаком представляет собой разницу между площадями областей и, следовательно, равна нулю. ^[7] Беззнаковая площадь многоугольника (общая площадь, которую он окружает) представляет собой сумму, а не разность этих площадей. Для антипараллелограмма с двумя параллельными диагоналями длин $p$ и $q$ , разделенные высотой $h$ , эта сумма $hpq/(p+q)$ . ^[4] к этим двум треугольным областям следует Из применения неравенства треугольника , что пересекающаяся пара ребер в антипараллелограмме всегда должна быть длиннее двух непересекающихся ребер. ^[8]

Приложения [ править ]

В многогранниках [ править ]

Небольшой ромбишестигранник . Отсечение вершины дает сечение антипараллелограмма в качестве фигуры вершины .

Небольшой ромбигексакрон , многогранник с антипараллелограммами (образованными парами копланарных треугольников) в качестве граней.

построенный Октаэдр Брикара, как бипирамида над антипараллелограммом.

Некоторые невыпуклые однородные многогранники , в том числе тетрагемигексаэдр , кубогемиоктаэдр , октагемиоктаэдр , малый ромбогексаэдр , малый икосихемидодекаэдр и малый додекахемидодекаэдр , имеют антипараллелограммы в качестве своих вершинных фигур , поперечных сечений, образованных путем разрезания многогранника плоскостью, проходящей вблизи вершины, перпендикулярно ось между вершиной и центром. ^[9]

Одна из форм неоднородного, но гибкого многогранника , октаэдра Брикара , может быть построена как бипирамида над антипараллелограммом. ^[10]

Четырехзвенные связи [ править ]

Антипараллелограмм использовался как форма четырехстержневого соединения , в котором четыре жесткие балки фиксированной длины (четыре стороны антипараллелограмма) могут вращаться относительно друг друга в соединениях, расположенных в четырех вершинах антипараллелограмма. В этом контексте его также называют звеном «бабочка» или «бабочка» . Как связь, у нее есть точка нестабильности, в которой она может быть преобразована в параллелограмм и наоборот, но любую из этих связей можно закрепить, чтобы предотвратить эту нестабильность. ^[12]^[11]

Как для параллелограммной, так и для антипараллелограммной связи, если одна из длинных (пересеченных) кромок связи закреплена в качестве основания, свободные шарниры движутся по равным кругам, но в параллелограмме они движутся в одном направлении с равными скоростями, находясь в антипараллелограмме, они движутся в противоположных направлениях с неодинаковыми скоростями. ^[13] Как обнаружил Джеймс Уотт , если длинная сторона антипараллелограмма зафиксирована таким образом, середина незакрепленной длинной стороны будет очерчивать лемнискату или кривую восьмерки. Для антипараллелограмма, образованного сторонами и диагоналями квадрата, это лемниската Бернулли . ^[14]^[15]

Антипараллелограмм с фиксированной длинной стороной — это вариант связи Уатта . ^[14] Антипараллелограмм является важной особенностью конструкции инвертора Харта , связи, которая (как и связь Поселье-Липкина ) может преобразовывать вращательное движение в прямолинейное движение. ^[16] Рычаг в форме антипараллелограмма также можно использовать для соединения двух осей четырехколесного транспортного средства, уменьшая радиус поворота транспортного средства по сравнению с подвеской, которая позволяет поворачивать только одну ось. ^[2] Пара вложенных антипараллелограммов использовалась в связи, определенной Альфредом Кемпе как часть теоремы Кемпе об универсальности , утверждающей, что любую алгебраическую кривую можно проследить по стыкам соответствующим образом определенной связи. Кемпе назвал связь вложенного антипараллелограмма «мультипликатором», поскольку ее можно использовать для умножения угла на целое число. ^[1] Используется в другом направлении, для разделения углов, его можно использовать для трисекции угла (хотя и не в качестве линейки и циркуля ). ^[17] Первоначальные конструкции Кемпе, использующие эту связь, не учитывали нестабильность параллелограмма-антипараллелограмма, но соединение связей исправляет его доказательство теоремы универсальности. ^[12]

Дизайн шестерен [ править ]

Фиксация короткого края связи антипараллелограмма приводит к тому, что точка пересечения образует эллипс . Эти эллипсы являются центродами связи.

Эллиптические передачи, основанные на движении антипараллелограммной рычажной передачи.

Предположим, что одно из непересекающихся ребер рычажного механизма антипараллелограмма зафиксировано на месте, а оставшееся звено свободно перемещается. По мере движения связи каждый образовавшийся антипараллелограмм можно разделить на два конгруэнтных треугольника, встречающихся в точке пересечения. В треугольнике, основанном на фиксированном ребре, длины двух движущихся сторон в сумме равны постоянной длине одного из пересекающихся ребер антипараллелограмма, и поэтому движущаяся точка пересечения очерчивает эллипс с фиксированными точками в качестве фокусов. Симметрично, второе (подвижное) непересекающееся ребро антипараллелограмма имеет своими концами фокусы второго эллипса, образованного из первого путем отражения через касательную линию, проходящую через точку пересечения. ^[2]^[18] Поскольку второй эллипс катится вокруг первого, такая конструкция эллипсов из движения антипараллелограмма может быть использована при проектировании эллиптических передач , преобразующих равномерное вращение в неравномерное или наоборот. ^[19]

Небесная механика [ править ]

В $задаче n$ тел , изучении движения точечных масс согласно закону всемирного тяготения Ньютона , важную роль играют центральные конфигурации , решения задачи n тел, в которой все тела вращаются вокруг некоторой центральной точки как если бы они были жестко связаны друг с другом. Например, для трех тел существует пять решений этого типа, заданных пятью точками Лагранжа . Для четырех тел, где две пары тел имеют равные массы (но при этом соотношение масс двух пар непрерывно меняется), числовые данные указывают на существование непрерывного семейства центральных конфигураций, связанных друг с другом движением тел. антипараллелограммная связь. ^[20]

Ссылки [ править ]

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Демейн, Эрик ; О'Рурк, Джозеф (2007), Геометрические алгоритмы складывания , Cambridge University Press, стр. 32–33, doi : 10.1017/CBO9780511735172 , ISBN 978-0-521-85757-4 , МР 2354878
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Брайант, Джон; Сангвин, Кристофер Дж. (2008), «3.3 Перекрещенный параллелограмм» , Насколько круглый ваш круг? Где встречаются инженерия и математика , Princeton University Press, стр. 54–56, ISBN 978-0-691-13118-4 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Бегалла, Энгьель; Перукка, Антонелла (2020), «Вписанные четырехугольники ABCD», Уитвискелинг , Университет Люксембурга, hdl : 10993/43232
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер Б. (2020), Рог изобилия четырехугольников , Математические описания Дольчиани, том. 55, Провиденс, Род-Айленд: MAA Press и Американское математическое общество, стр. 55. 212, ISBN 978-1-4704-5312-1 , МР 4286138
^ Уилер, Роджер Ф. (1958), «Четырехугольники», The Mathematical Gazette , 42 (342): 275–276, doi : 10.2307/3610439 , JSTOR 3610439 , S2CID 250434576
^ Мюрхед, РФ (февраль 1901 г.), «Геометрия равнобедренной трапеции и контрпараллелограмма с приложениями к геометрии эллипса», Труды Эдинбургского математического общества , 20 : 70–72, doi : 10.1017/s0013091500032892
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Де Вильерс, Майкл (2015), «Убить геометрического «монстра»: найти площадь скрещенного четырехугольника», Learning and Teaching Mathematics , 2015 (18): 23–28, hdl : 10520/EJC175721
^ Тот же аргумент доказывает в более общем плане, что в любом выпуклом четырехугольнике (например, в равнобедренной трапеции, из которой получен антипараллелограмм) сумма двух диагоналей длиннее, чем сумма любых двух противоположных сторон. В равнобедренной трапеции две диагонали равны, как и две противоположные стороны, что упрощает это неравенство. Об использовании неравенства треугольника для доказательства неравенства сумм диагоналей см., например, Demaine & O'Rourke (2007 , стр. 80).
^ Коксетер, HSM ; Лонге-Хиггинс, MS ; Миллер, JCP (1954), «Равномерные многогранники», Философские труды Лондонского королевского общества. Серия A, Математические и физические науки , 246 (916): 401–450, Bibcode : 1954RSPTA.246..401C , doi : 10.1098/rsta.1954.0003 , JSTOR 91532 , MR 0062446 , S2CID 202575183
^ Демейн и О'Рурк (2007) , Раздел 23.2, «Гибкие многогранники», стр. 345–348.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Эбботт, Тимоти Гуд (2008), «3.1.2 Контрапараллелограммы», Обобщения теоремы универсальности Кемпе (PDF) (магистерская диссертация), Массачусетский технологический институт , стр. 34–36
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Сосинский, Алексей (2016), «Конфигурационные пространства плоских связей», Справочник по теории Тейхмюллера, Vol. VI , Лекции ИРМА по математике и теоретической физике, т. 1, с. 27, Цюрих: Европейское математическое общество, стр. 335–373, MR 3618193 ; см. стр. 359
^ Нортон, Роберт Л. (2003), Проектирование машин , McGraw-Hill Professional, стр. 51, ISBN 978-0-07-121496-4
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Брайант и Сангвин (2008) , стр. 58–59.
^ Канди, Х. Мартин (март 2005 г.), «89.23 Лемниската Бернулли», The Mathematical Gazette , 89 (514): 89–93, doi : 10.1017/s0025557200176855 , S2CID 125521872
^ Дейксман, Е.А. (1976), Геометрия движения механизмов , издательство Кембриджского университета, стр. 203, ISBN 9780521208413
^ Йейтс, Роберт К. (март 1941 г.), «Проблема трисекции», National Mathematics Magazine , 15 (6): 278–293, doi : 10.2307/3028413 , JSTOR 3028413
^ ван Скутен, Франс (1646), Об органических конических сечениях в описании плоскости, Tractatus. Географы, Оптики; Особенно в «Гномонической и полезной механике». К которому прилагается Приложение «О разрешении кубических уравнений» , стр. 49–50, 69–70
^ Глейзер, Георг (2020), «Антипараллелограммы; это не всегда должно быть равномерное вращение…», Геометрия и ее применение в искусстве, природе и технологиях , Springer International Publishing, стр. 428–429, doi : 10.1007/ 978-3-030-61398-3 , ISBN 978-3-030-61397-6 , S2CID 241160811
^ Гребеников Евгений А.; Ихсанов, Ерсаин В.; Прокопеня, Александр Н. (2006), «Численно-символьные вычисления при исследовании центральных конфигураций в планарной ньютоновской задаче четырех тел», Компьютерная алгебра в научных вычислениях , Конспект лекций по Comput. наук, том. 4194, Берлин: Springer, стр. 192–204, номер документа : 10.1007/11870814_16 , MR 2279793.

Внешние ссылки [ править ]

СМИ, связанные с антипараллелограммами, на Викискладе?

[gfa-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Демейн, Эрик ; О'Рурк, Джозеф (2007), Геометрические алгоритмы складывания , Cambridge University Press, стр. 32–33, doi : 10.1017/CBO9780511735172 , ISBN 978-0-521-85757-4 , МР 2354878

[round-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Брайант, Джон; Сангвин, Кристофер Дж. (2008), «3.3 Перекрещенный параллелограмм» , Насколько круглый ваш круг? Где встречаются инженерия и математика , Princeton University Press, стр. 54–56, ISBN 978-0-691-13118-4 .

[cyclic-3] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Бегалла, Энгьель; Перукка, Антонелла (2020), «Вписанные четырехугольники ABCD», Уитвискелинг , Университет Люксембурга, hdl : 10993/43232

[cornucopia-4] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер Б. (2020), Рог изобилия четырехугольников , Математические описания Дольчиани, том. 55, Провиденс, Род-Айленд: MAA Press и Американское математическое общество, стр. 55. 212, ISBN 978-1-4704-5312-1 , МР 4286138

[wheeler-5] Уилер, Роджер Ф. (1958), «Четырехугольники», The Mathematical Gazette , 42 (342): 275–276, doi : 10.2307/3610439 , JSTOR 3610439 , S2CID 250434576

[muirhead-6] Мюрхед, РФ (февраль 1901 г.), «Геометрия равнобедренной трапеции и контрпараллелограмма с приложениями к геометрии эллипса», Труды Эдинбургского математического общества , 20 : 70–72, doi : 10.1017/s0013091500032892

[monster-7] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Де Вильерс, Майкл (2015), «Убить геометрического «монстра»: найти площадь скрещенного четырехугольника», Learning and Teaching Mathematics , 2015 (18): 23–28, hdl : 10520/EJC175721

[longcross-8] Тот же аргумент доказывает в более общем плане, что в любом выпуклом четырехугольнике (например, в равнобедренной трапеции, из которой получен антипараллелограмм) сумма двух диагоналей длиннее, чем сумма любых двух противоположных сторон. В равнобедренной трапеции две диагонали равны, как и две противоположные стороны, что упрощает это неравенство. Об использовании неравенства треугольника для доказательства неравенства сумм диагоналей см., например, Demaine & O'Rourke (2007 , стр. 80).

[clm-9] Коксетер, HSM ; Лонге-Хиггинс, MS ; Миллер, JCP (1954), «Равномерные многогранники», Философские труды Лондонского королевского общества. Серия A, Математические и физические науки , 246 (916): 401–450, Bibcode : 1954RSPTA.246..401C , doi : 10.1098/rsta.1954.0003 , JSTOR 91532 , MR 0062446 , S2CID 202575183

[gfa2-10] Демейн и О'Рурк (2007) , Раздел 23.2, «Гибкие многогранники», стр. 345–348.

[abbott-11] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Эбботт, Тимоти Гуд (2008), «3.1.2 Контрапараллелограммы», Обобщения теоремы универсальности Кемпе (PDF) (магистерская диссертация), Массачусетский технологический институт , стр. 34–36

[sossinsky-12] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Сосинский, Алексей (2016), «Конфигурационные пространства плоских связей», Справочник по теории Тейхмюллера, Vol. VI , Лекции ИРМА по математике и теоретической физике, т. 1, с. 27, Цюрих: Европейское математическое общество, стр. 335–373, MR 3618193 ; см. стр. 359

[norton-13] Нортон, Роберт Л. (2003), Проектирование машин , McGraw-Hill Professional, стр. 51, ISBN 978-0-07-121496-4

[round2-14] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Брайант и Сангвин (2008) , стр. 58–59.

[cundy-15] Канди, Х. Мартин (март 2005 г.), «89.23 Лемниската Бернулли», The Mathematical Gazette , 89 (514): 89–93, doi : 10.1017/s0025557200176855 , S2CID 125521872

[dijksman-16] Дейксман, Е.А. (1976), Геометрия движения механизмов , издательство Кембриджского университета, стр. 203, ISBN 9780521208413

[yates-17] Йейтс, Роберт К. (март 1941 г.), «Проблема трисекции», National Mathematics Magazine , 15 (6): 278–293, doi : 10.2307/3028413 , JSTOR 3028413

[vanschooten-18] ван Скутен, Франс (1646), Об органических конических сечениях в описании плоскости, Tractatus. Географы, Оптики; Особенно в «Гномонической и полезной механике». К которому прилагается Приложение «О разрешении кубических уравнений» , стр. 49–50, 69–70

[glaeser-19] Глейзер, Георг (2020), «Антипараллелограммы; это не всегда должно быть равномерное вращение…», Геометрия и ее применение в искусстве, природе и технологиях , Springer International Publishing, стр. 428–429, doi : 10.1007/ 978-3-030-61398-3 , ISBN 978-3-030-61397-6 , S2CID 241160811

[gip-20] Гребеников Евгений А.; Ихсанов, Ерсаин В.; Прокопеня, Александр Н. (2006), «Численно-символьные вычисления при исследовании центральных конфигураций в планарной ньютоновской задаче четырех тел», Компьютерная алгебра в научных вычислениях , Конспект лекций по Comput. наук, том. 4194, Берлин: Springer, стр. 192–204, номер документа : 10.1007/11870814_16 , MR 2279793.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]