Икоситригон

Обычный икоситригон
Обычный икоситригон
Тип	Правильный многоугольник
Ребра и вершины	23
Символ Шлефли	{23}
Диаграммы Кокстера – Дынкина
Группа симметрии	Двугранник (Д 23 ), заказ 2х23
Внутренний угол ( градусы )	≈164.348°
Характеристики	Выпуклый , циклический , равносторонний , изогональный , изотоксальный
Двойной полигон	Себя

В геометрии икоситригон икосикаитригон (или ) или 23-угольник — это 23-сторонний многоугольник . Икоситригон отличается тем, что является наименьшим правильным многоугольником, который невозможно построить neusis .

икоситригон

икоситригон Правильный {23} обозначается символом Шлефли .

Правильный икоситригон имеет внутренние углы ${\textstyle {\frac {3780}{23}}}$ градусов, площадью ${\textstyle A={\frac {23}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{23}}=23r^{2}\tan {\frac {\pi }{23}}\simeq 41.8344\,a^{2},}$ где $a$ длина стороны и $r$ это радиус, или апофема .

Правильный икоситригон невозможно построить с помощью циркуля, линейки или трисекции угла . поскольку число 23 не является ни простым числом Ферма , ни простым числом Пьерпона . Кроме того, правильный икоситригон — это наименьший правильный многоугольник, который невозможно построить даже с помощью neusis .

Что касается неконструируемости правильного икоситригона, А. Барагар (2002) показал, что невозможно построить правильный 23-угольник, используя только циркуль и линейку с двумя надрезами, продемонстрировав, что каждая точка, которую можно построить с помощью указанного метода, лежит в башне полей. над $\mathbb {Q}$ такой, что $\mathbb {Q} =K_{0}\subset K_{1}\subset \dots \subset K_{n}=K$, представляющий собой последовательность вложенных полей, в которых степень расширения на каждом шаге равна 2, 3, 5 или 6.

Предполагать $\alpha$ в $\mathbb {C}$ можно построить с помощью циркуля и двойной надрезкилинейка. Затем $\alpha$ принадлежит полю $K$ что лежит в башне полей $\mathbb {Q} =K_{0}\subset K_{1}\subset \dots \subset K_{n}=K$для которого индекс $[K_{j}:K_{j-1}]$ на каждом шаге равно 2, 3, 5 или 6. В частности, если $N=[K:\mathbb {Q} ]$, то единственные простые числа, делящие $N$ равны 2, 3 и 5. (Теорема 5.1)

Если мы можем построить правильный p-угольник, то мы можем построить $\zeta _{p}=e^{\frac {2\pi i}{p}}$, который является корнем неприводимого многочлена степени $p-1$. По теореме 5.1 $\zeta _{p}$ лежит в поле $K$ степени $N$ над $\mathbb {Q}$, где единственные простые числа, которые делят $N$ 2, 3 и 5. Но $\mathbb {Q} [\zeta _{p}]$ является подполем $K$, так $p-1$ делит $N$. В частности, для $p=23$, $N$ должно делиться на 11, а для $p=29$, N должно делиться на 7.

Этот результат устанавливает, учитывая правильные многоугольники простой степени меньше 100-угольника, что невозможно построить 23-, 29-, 43-, 47-, 49-, 53-, 59-, 67-, 71- , 79-, 83- и 89-угольников с невисом. Но он недостаточно силен, чтобы решить случаи 11- , 25-, 31-, 41- и 61-угольника. Эллиот Бенджамин и Чип Снайдер обнаружили в 2014 году, что правильный десятиугольник (11-угольник) можно построить neusis; остальные дела все еще открыты.

Икоситригон также невозможно сконструировать в технике оригами , поскольку 23 не является простым числом Пьерпона и не является степенью двойки или тройки . Ее можно построить с помощью квадратрисы Гиппия , спирали Архимеда и других вспомогательных кривых ; однако это верно для всех правильных многоугольников.

Связанные цифры

Ниже приведена таблица из десяти правильных икоситриграмм или звездных 23-угольников, помеченных соответствующим символом Шлефли {23/q}, 2 ≤ q ≤ 11.

{23/2}	{23/3}	{23/4}	{23/5}	{23/6}
{23/7}	{23/8}	{23/9}	{23/10}	{23/11}

Внешние ссылки

• Автоматическое обнаружение интересных свойств правильных многоугольников