Список плоских групп симметрии

В данной статье обобщены классы дискретных групп симметрии евклидовой плоскости . Группы симметрии названы здесь по трем схемам именования: международная нотация , орбифолдная нотация и нотация Коксетера .Существует три вида групп симметрии плоскости:

• 2 семейства групп розеток – 2D точечные группы
• 7 групп фризов – группы 2D-линий
• 17 групп обоев – 2D- группы пространств .

Группы розеток

Существует два семейства дискретных двумерных точечных групп, и они заданы параметром n , который является порядком группы вращений в группе.

Семья	Международный ( орбифолд )	Хороший.	Гео Коксетер	Заказ	Примеры
Циклическая симметрия	н (n•)	С н	н [н] +	н	С 1 , [ ] + (•)	С 2 , [2] + (2•)	С 3 , [3] + (3•)	С 4 , [4] + (4•)	С 5 , [5] + (5•)	С 6 , [6] + (6•)
Двугранная симметрия	нм ​ (*n•)	Д н	н [н]	2 н	Д 1 , [ ] (*•)	Д 2 , [2] (*2•)	Д 3 , [3] (*3•)	Д 4 , [4] (*4•)	Д 5 , [5] (*5•)	Д 6 , [6] (*6•)

Фризовые группы

Семь групп фризов , двумерные группы линий с направлением периодичности, имеют пять обозначений. Обозначения Шёнфлиса задаются как бесконечные пределы 7 групп диэдра. Желтые области представляют бесконечную фундаментальную область в каждой.

[1,∞], МУК ( орбифолд ) Гео Шенфлис Коксетер Фундаментальный домен Пример п1м1 (*∞•) п1 C ∞v [1,∞] мы ели п1 (∞•) п 1 C ∞ [1,∞] + прыгать [2,∞ + ], МУК (орбифолд) Гео Шенфлис Коксетер Фундаментальный домен Пример п11м (∞*) п. 1 C ∞h [2,∞ + ] прыгать p11g (∞×) п. г 1 S 2∞ [2 + ,∞ + ] шаг

[2,∞], МУК (орбифолд) Гео Шенфлис Коксетер Фундаментальный домен Пример п2мм (*22∞) п2 D ∞h [2,∞] прыжок с вращением п2мг (2*∞) р2 г D ∞d [2 + ,∞] вращающаяся сторона п2 (22∞) п 2 D ∞ [2,∞] + вращающийся хоп

Группы обоев

17 групп обоев с конечными фундаментальными областями заданы международными обозначениями , орбифолдными обозначениями и обозначениями Кокстера , классифицированными по 5 решеткам Браве на плоскости: квадратная , косая (параллелограмматическая), шестиугольная (равносторонняя треугольная), прямоугольная (центрированная ромбическая). ) и ромбический (прямоугольный с центром).

Группы p1 и p2 , не обладающие отражательной симметрией, повторяются во всех классах. Соответствующая чисто отражательная группа Кокстера дана со всеми классами, кроме наклонных.

Квадрат [4,4], МУК ( Орб. ) Гео Коксетер Домен Имя Конвея п1 (°) п 1 Монотропный п2 (2222) п 2 [4,1 + ,4] + [1 + ,4,4,1 + ] + дитропный пгг (22×) п г 2 г [4 + ,4 + ] Диглийд пмм (*2222) п2 [4,1 + ,4] [1 + ,4,4,1 + ] Дискоскопический хмм (2*22) с2 [(4,4,2 + )] Диромбический п4 (442) п 4 [4,4] + тетратропный п4г (4*2) стр г 4 [4 + ,4] Тетрагиро п4м (*442) п4 [4,4] тетраскопический

Прямоугольный [∞ h ,2,∞ v ], МУК (Орб.) Гео Коксетер Домен Имя Конвея п1 (°) п 1 [∞ + ,2,∞ + ] Монотропный п2 (2222) п 2 [∞,2,∞] + дитропный пг(ч) (××) стр г 1 ч: [∞ + ,(2,∞) + ] Моноглайд пг(в) (××) стр г 1 v: [(∞,2) + ,∞ + ] Моноглайд пгм (22*) стр г 2 ч: [(∞,2) + ,∞] Дигиро пмг (22*) стр г 2 v: [∞,(2,∞) + ] Дигиро вечер(ч) (**) п1 ч: [∞ + ,2,∞] Моноскопический pm(v) (**) п1 v: [∞,2,∞ + ] Моноскопический пмм (*2222) п2 [∞,2,∞] Дискоскопический

ромбический [∞ h ,2 + ,∞ v ], МУК (Орб.) Гео Коксетер Домен Имя Конвея п1 (°) п 1 [∞ + ,2 + ,∞ + ] Монотропный п2 (2222) п 2 [∞,2 + ,∞] + дитропный см(ч) (*×) с1 ч: [∞ + ,2 + ,∞] моноромбический см(ч) (*×) с1 v: [∞,2 + ,∞ + ] моноромбический пгг (22×) п г 2 г [((∞,2) + ) [2] ] Диглийд хмм (2*22) с2 [∞,2 + ,∞] Диромбический Параллелограмматический ( косой ) п1 (°) п 1 Монотропный п2 (2222) п 2 дитропный

Шестиугольный /треугольный [6,3], / [3 [3] ], МУК (Орб.) Гео Коксетер Домен Имя Конвея п1 (°) п 1 Монотропный п2 (2222) п 2 [6,3] Д дитропный хмм (2*22) с2 [6,3] ⅄ Диромбический п3 (333) pп3 [1 + ,6,3 + ] [3 [3] ] + Тритропик п3м1 (*333) п3 [1 + ,6,3] [3 [3] ] Трископический п31м (3*3) h3 [6,3 + ] Тригиро стр.6 (632) стр. 6 [6,3] + Гексатропный п6м (*632) стр.6 [6,3] Гексаскопический

Отношения подгрупп обоев

Отношения подгрупп среди 17 групп обоев

		тот	2222	××	**	*×	22×	22*	*2222	2*22	442	4*2	*442	333	*333	3*3	632	*632
		п1	п2	стр.	вечер	см	пгг	пмг	пмм	хмм	п4	п4г	п4м	п3	п3м1	п31м	стр.6	п6м
тот	п1	2
2222	п2	2	2	2
××	стр.	2		2
**	вечер	2		2	2	2
*×	см	2		2	2	3
22×	пгг	4	2	2			3
22*	пмг	4	2	2	2	4	2	3
*2222	пмм	4	2	4	2	4	4	2	2	2
2*22	хмм	4	2	4	4	2	2	2	2	4
442	п4	4	2								2
4*2	п4г	8	4	4	8	4	2	4	4	2	2	9
*442	п4м	8	4	8	4	4	4	4	2	2	2	2	2
333	п3	3												3
*333	п3м1	6		6	6	3								2	4	3
3*3	п31м	6		6	6	3								2	3	4
632	стр.6	6	3											2			4
*632	п6м	12	6	12	12	6	6	6	6	3				4	2	2	2	3

См. также

• Список сферических групп симметрии
• Обозначение орбифолда # Гиперболическая плоскость - Гиперболические группы симметрии

Ссылки

• Симметрии вещей 2008, Джон Х. Конвей, Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус, ISBN   978-1-56881-220-5 (орбифолдное обозначение многогранников, евклидовых и гиперболических мозаик)
• О кватернионах и октонионах , 2003, Джон Хортон Конвей и Дерек А. Смит. ISBN   978-1-56881-134-5
• Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Ивик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN   978-0-471-01003-6 [2]
  • (Документ 22) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники I , [Math. Зейт. 46 (1940) 380–407, МР 2,10]
  • (Документ 23) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники II , [Math. Зейт. 188 (1985) 559–591]
  • (Документ 24) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Зейт. 200 (1988) 3–45]
• Коксетер, HSM и Мозер, WOJ (1980). Генераторы и соотношения для дискретных групп . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-09212-9 .
• Н. В. Джонсон : Геометрии и трансформации (2018) ISBN   978-1-107-10340-5 Глава 12: Группы евклидовой симметрии

Внешние ссылки

• «Рукопись Конвея» в нотации Орбифолда (обозначение изменено по сравнению с оригиналом, x теперь используется вместо открытой точки, а o используется вместо закрытой точки)
• 17 групп обоев